8．4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（含解析）

8．4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识基础练　
1．异面直线是指(　　)
A．不同在任何一个平面内的两条直线
B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线
D．空间中两条不相交的直线
2．若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，那么直线a，b的位置关系是(　　)
A．不相交 B．平行
C．异面 D．相交
3．已知直线a，b，c，若a，b异面，b∥c，则a，c的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交
C．平行或异面 D．相交或异面
4．如图，长方体ABCD A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是(　　)
A.4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7
5．在三棱锥S ABC中，与SA是异面直线的是(　　)
A．SB B．SC C．BC D．AB
6．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为(　　)
A．平行 B．相交
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
7．在空间内，如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．
8．在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有________对异面直线．
关键能力综合练　
1．已知a与b相交，且b与c是异面直线，那么a与c的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交
C．平行 D．都有可能
2．若直线l不平行于平面α，且l α，则下列结论成立的是(　　)
A．α内的所有直线与l是异面直线
B．α内的所有直线与l都相交
C．α内存在唯一一条直线与l相交
D．α内存在无数条直线与l相交
3．已知直线a，b，平面α，β，且a α，b β，α∥β，则下列结论一定成立的是(　　)
A．a，b是异面直线 B．a∥b
C．α内所有直线与b平行 D．a，b没有公共点
4.三棱台ABC A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是(　　)
相交 B．平行
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
5．a，b为异面直线，且a α，b β.若α∩β＝l，则直线l必定(　　)
A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交
C．至少与a，b之一相交 D．至多与a，b之一相交
6．如图，ABCD A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线
7．已知a和l是异面直线，b和l也是异面直线，则直线a和b的位置关系是________．
8.如图，已知点P在四边形ABCD所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，那么P与四边形ABCD的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8条直线中，异面直线共有________对．
9.如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
10.
如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，M，P是直线a上的两点，N，Q分别是直线b，c上的一点，求证：MN和PQ是异面直线．
核心素养升级练　
1．正方体上的点M，N，P，Q是其所在棱的中点，则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的图形是(　　)
2．(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线BN与MB1是异面直线
C．AM与BN平行
D．直线A1M与BN共面
3．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是(　　)
A．直线CD与直线GH共面
B．直线CD与直线EF异面
C．直线AB与直线EF共面
D．直线GH与直线EF异面
参考答案
必备知识基础练
1．答案：A
解析：A.异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确；B.平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误；C.分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误；D.空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误．故选A.
2．答案：A
解析：由题，直线a，b分属两个平行的平面，可能平行，可能异面，但不可能相交．故选A.
3．答案：D
解析：
如图所示的正方体：
AB和DD1是异面直线，DD1∥BB1，AB∩BB1＝B；
AB和DD1是异面直线，DD1∥CC1，AB与CC1是异面直线．
所以两直线a与b是异面直线，b∥c，则a，c的位置关系是相交或异面．
故选D.
4．答案：C
解析：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中与棱BA1所在直线是异面直线的有DC，DA，D1C1，B1C1，DD1，CC1，共6条．
故选C.
5．答案：C
解析：
如图所示，SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，也不平行，是异面直线．
故选C.
6．答案：D
解析：如图1所示，α与β平行，a∥β，而直线a在平面α内，
　
如图2所示，α与β平行，a∥β，而a∥α.
综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内．
故选D.
7．答案：异面或平行
解析：如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是异面或平行．
8.
答案：24
解析：在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB与DD1，CC1，A1D1，B1C1构成异面直线，共构成4对异面直线，每一条棱都构成4对异面直线，长方体共有12条棱，再排除重复计算共有＝24对异面直线．
关键能力综合练
1．答案：D
解析：
如图所示：令AB＝a，BC＝b，
当DD1＝c时，a与c的位置关系是异面；
当AA1＝c时，a与c的位置关系是相交；
当C1D1＝c时，a与c的位置关系是平行．
故选D.
2．答案：D
解析：由已知直线l与平面α相交，设交点为P，则平面α内过P的所有直线与l相交，不过P的直线与l异面．只有D正确．
故选D.
3．答案：D
解析：
在长方体ABCD A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，视平面ABCD为平面α，平面A1B1C1D1为平面β，如图，
直线BC为直线a，满足a α，若直线B1C1为直线b，满足b β，显然有a∥b，A不正确；
直线BC为直线a，满足a α，若直线A1B1为直线b，满足b β，显然a，b是异面直线，B不正确；
直线B1C1为直线b，满足b β，直线AB α，而直线AB与直线b是异面直线，C不正确；
因α∥β，于是得平面α与β没有公共点，从而得a，b没有公共点，D正确．
故选D.
4．答案：A
解析：由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．故选A.
5．答案：C
解析：由题意直线l与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B错误；
但直线l不会与两条都不相交，若l与a、b都不相交，因为l与a都在α内，所以l∥a，同理l∥b，所以a∥b，这与a、b为异面直线矛盾，故直线l至少与a、b中之一相交．
故选C.
6．答案：B
解析：
∵GH∥A1B，而A1B∥D1C，∴GH∥D1C.又MN∥D1C，∴GH∥MN.
由异面直线的定义可知，GH与EF异面．
延长EF，MN，二者可以相交，故EF与MN为相交直线．
故选B.
7．答案：平行或相交或异面
解析：
长方体中，如图所示：
当a＝AA1，l＝BC，b＝D1C1时，直线a，b异面；
当a＝AA1，l＝BC，b＝DD1时，直线a，b平行；
当a＝AA1，l＝BC，b＝A1B1时，直线a，b相交．
8．答案：8
解析：
如图，已知点P在四边形ABCD所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，
那么P与四边形ABCD的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8条直线中，异面直线共有：
PA与BC，PA与CD，PB与CD，PB与AD，PC与AB，
PC与AD，PD与AB，PD与BC，共有8对．
9．解析：平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明如下：因为AB与l不平行，且AB α，l α，
所以AB与l一定相交．
设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.
又因为AB 平面ABC，l β，所以P∈平面ABC，P∈β.
所以点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与平面β的交线．即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，
所以平面ABC与平面β的交线与l相交．
10．证明：方法一：(反证法)假设MN和PQ共面，设所确定的平面为α，那么点P，Q，M，N和O都在平面α内，所以直线a，b，c都在平面α内，
这与已知a，b，c不共面矛盾，
所以假设不成立，MN和PQ是异面直线．
方法二：(直接证法)因为a∩c＝O，所以a，c确定一个平面，设为α，由已知P∈平面α，Q∈平面α，
所以PQ 平面α，又M∈平面α，且M PQ，N 平面α，所以MN和PQ是异面直线．
核心素养升级练
1．答案：B
解析：对于A，如图，连接MQ，PN，AC，因为M，N，P，Q分别是正方体的棱A1A，AB，BC，CC1的中点，所以MQ∥AC，PN∥AC，所以MQ∥PN，所以MN与PQ共面，所以A不合题意；
对于B，因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
MN 平面A1B1C1D1，PQ 平面ABCD，所以MN与PQ无公共点，因为MN与PQ不平行，所以MN与PQ是异面直线，所以B符合题意，
对于C，如图，连接PM，A1B，CD1，NQ，因为M，N，P，Q分别是正方体的棱AB，C1D1，AA1，CC1的中点，所以PM∥A1B，CD1∥NQ，因为CD1∥A1B，所以PM∥NQ，所以M，N，P，Q四点共面，所以MN与PQ不是异面直线，所以C不合题意；
对于D，如图，连接A1C1，因为M，N，P，Q分别是正方体的棱A1D1，C1D1，AA1，CC1的中点，所以MN∥A1C1，PQ∥A1C1，所以MN∥PQ，所以D不合题意．
故选B.
2．答案：BD
解析：∵A、M、C、C1四点不共面，
∴根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线，故选项A错误；
∵B、N、M、B1四点不共面，
∴根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线，故选项B正确；
取DD1的中点E，连接AE、EN，则有AB∥EN，AB＝EN，
所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，
∵AM与AE交于点A，∴AM与AE不平行，则AM与BN不平行，故选项C错误；
连接A1M、MN、NB、BA1、CD1，
因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，
所以MN∥D1C，由正方体的性质可知：BA1∥D1C，
所以MN∥A1B，∴A1、B、M、N四点共面，
∴直线A1M与BN共面，故选项D正确．
故选BD.
3．答案：ACD
解析：如图，点C与点G重合，则CD与GH相交，故A正确；
在正方体中，CE∥DF且CE＝DF，故四边形CDFE为平行四边形，∴CD∥EF，
则CD、EF共面，故B错误；
因为AB∩EF＝B，故AB、EF共面，故C正确；
由图可知，EF、GH不在同一个平面，且EF、GH既不平行也不相交，
∴EF、GH为异面直线，故D正确．
故选ACD.