(共38张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
平行四边形及其边角性质
22.1.1
C
1
2
3
4
5
A
24
6
7
50
答 案 呈 现
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10
8
C
C
9
D
10
11
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13
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如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的一点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
1
【点拨】
【答案】C
∵DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，∴图中的平行四边形有 ADEF， BEFD， DECF，共3个．
[2023·兰州]如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝______°.
50
2
【点拨】
在△DBC中，∵BD＝CD，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠C＝70°.∴∠ADB＝∠DBC＝70°.又∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°.∴∠DAE＝90°－∠ADB＝90°－70°＝20°.∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝70°－20°＝50°.
如图，在平面直角坐标系中， MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标是( )
A．(－3，－2)
B．(－3，2)
C．(－2，3)
D．(2，3)
3
A
[2023·福建]如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为________．
4
10
【点拨】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥ AB.∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O为BD的中点，∴OD＝OB.∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴DF＝BE.∴CD－DF＝AB－BE，即CF＝AE.∵AE＝10，∴CF＝10.
[2023·聊城]如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为________．
5
24
【点拨】
如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交边BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61°
B．109°
C．119°
D．122°
6
C
7
【点拨】
【答案】C
[2022·梧州]如图，在 ABCD中，点E，G，H，F分别是边AB，BC，CD，DA上的一点，且BE＝DH，AF＝CG.求证：EF＝HG.
8
在 ABCD中，∠DAB的平分线AE分边BC为3 cm和4 cm两部分，则 ABCD的周长为( )
A．20 cm B．22 cm
C．10 cm D．20 cm或22 cm
9
【点拨】
如图①，由题知BE＝3 cm，CE＝4 cm.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3 cm.
即平行四边形ABCD的周长＝(3＋3＋4)×2＝20(cm).
如图②，由题知BE＝4 cm，CE＝3 cm.
同理可得AB＝BE＝4 cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝(4＋4＋3)×2＝22(cm)．
【点易错】
【答案】D
本题用了分类讨论思想，AE把边BC分成3 cm和4 cm两部分，没有明确哪部分是3 cm，哪部分是4 cm，故分两种情况讨论．
[2023·南充]如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF.
10
求证：(1)AE＝CF；
(2)BE∥DF.
【证明】∵△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB.
∴BE∥DF.
如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
11
(1)求证：AD＝AF；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD. ∴∠CDE＝∠F.
∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.
(2)若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
【解】∵AD＝6，∴AF＝6.
∵AB＝3，∴BF＝AF－AB＝3.
如图，过点D作DH⊥FA，交FA的延
长线于点H，则∠H＝90°.
[2023·菏泽]如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
12
如图，分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都
在该平行四边形外部时，连接GF，
EF.请判断GF与EF的关系．
13
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
CD＝AB，∴易得DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，
∠CDG＝∠ADF＝∠DAF＝∠BAE＝45°.
∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，∠EAF＝360°－∠BAE－∠DAF－∠BAD＝270°－(180°－∠CDA)＝90°＋∠CDA，∴∠GDF＝∠EAF.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解】GF⊥EF，GF＝EF仍然成立．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∴∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴易得DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠DAF＝∠BAE＝45°，∴∠EAF＋∠CDF＝180°－∠BAE－∠DAF－∠ADF＝45°.(共29张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
平行四边形对角线的性质
22.1.2
D
1
2
3
4
5
B
6
7
B
答 案 呈 现
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D
8
C
9
10
11
下列说法正确的是( )
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
1
D
[2023·成都]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AC＝BD
B．OA＝OC
C．AC⊥BD
D．∠ADC＝∠BCD
B
2
(母题：教材P122习题B组T1)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：AE＝CF.
3
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则平行四边形ABCD的面积为( )
A．6
B．12
C．20
D．24
4
【点拨】
【答案】D
5
B
如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为( )
A．6
B．15
C．30
D．60
6
【点拨】
【答案】C
如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
7
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
【解】∵OE＝OF，OE＝3.5，∴EF＝2OE＝7.
又∵EF⊥AD，
∴S ABCD＝AD×EF＝63，∴AD＝9.
[2022·无锡]如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.求证：
8
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE＝BF.
【证明】∵△DOF≌△BOE，∴OF＝OE.
易证△DOE≌△BOF.∴DE＝BF.
如图，在 ABCD中，AP，BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线，已知AD＝5.
9
(1)求线段AB的长．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD.∴∠BAP＝∠DPA.
∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP.
∴∠DAP＝∠DPA.∴DP＝AD.
∵AD＝5，∴DP＝5.同理可得CP＝BC＝5，
∴CD＝CP＋DP＝10.∴AB＝10.
(2)延长AP，交BC的延长线于点Q.
①补全图形；
【解】如图所示．
②若BP＝6，求△ABQ的周长．
[2022·扬州]如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC, 交AC于点E，G.
10
(1)求证： BE∥DG, BE＝DG；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC.
∴∠DAC＝∠BCA.
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴易得∠ADG＝∠CBE.
∵∠DGE＝∠DAC＋∠ADG，∠BEG＝∠BCA＋∠CBE，
∴∠DGE＝∠BEG.∴BE∥DG.
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F. 若 ABCD的周长为56， EF＝6，求△ABC的面积．
如图，已知 ABCD．
(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)
11
【解】(答案不唯一)作图如下．
(2)由上述方法，你能得到什么结论？
【解】过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将
该平行四边形分成面积相等的两部分．
(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块地里有一口井P，如图，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(保留作图痕迹，不写作法)
【解】(答案不唯一)作图如下.(共27张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
由一组对边的关系判定平行四边形
22.2.1
D
1
2
3
4
5
D
C
6
7
B
答 案 呈 现
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B
8
2或6
9
10
11
如图，在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B．∠BAD＝∠ABC，∠BCD＝∠ADC
C．AB＝AD，CB＝CD
D．AD∥BC，AD＝BC
1
【点拨】
【答案】D
A.不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；B.不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；C.不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；D.因为AD∥BC，AD＝BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意．故选D.
(母题：教材P124例1)如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
B
2
如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件可选择的是( )
A．AD＝BC
B．CD＝BF
C．∠A＝∠C
D．∠CDF＝∠F
3
D
4
B
如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为点E，G，下列说法错误的是( )
A．l1与l2之间的距离是线段FG的
长度
B．CE＝FG
C．线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D．AC＝BD
5
C
如图，一块草地的中间有一条宽度不变的弯路，AC∥ BD，CE∥DF，请给出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变．
6
【解】(答案不唯一)如图，延长EC和FD，分别交直线AB于点G，H，即得所求新道路．
连接CD，易得CD GH，CD AB，
∴四边形CGHD和四边形CABD均为平行四边形．
∴平行四边形CGHD和平行四边形CABD的高相等．
∴平行四边形CGHD和平行四边形CABD的面积相等．
∴道路所占面积不变，即草地的种植面积保持不变．
如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥ BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)，当t＝______时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
7
2或6
【点拨】
①当点F在点C的左侧时，根据题意，得AE＝t cm，BF＝2t cm，则CF＝BC－BF＝(6－2t)cm.∵AG∥BC， ∴当AE ＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6－2t，解得t＝2；②当点F在点C的右侧时，根据题意，得AE＝ t cm，BF＝2t cm，则CF＝BF－BC＝(2t－6)cm.∵AG∥ BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t－6，解得t＝6.综上可得，当t＝2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
【点易错】
对于动点问题，要根据图形，全面分析所有可能出现的情况，不能漏解．
[2023·广安]如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且 AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．
8
已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.求证：
9
(1)△AEM≌△CFN；
(2)四边形BMDN是平行四边形．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵△AEM≌△CFN，
∴AM＝CN.∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN.
又∵BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O.
(1)△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
10
(2)若S△AOB＝21 cm2，求S△COD．
【解】∵S△ABC＝S△DBC，
∴S△ABC－S△OBC＝S△DBC－S△OBC，即S△COD＝S△AOB.
∵S△AOB＝21 cm2，∴S△COD＝21 cm2.
(3)若S△AOD＝10 cm2，且BO︰OD＝2︰1，求S△ABD .
【点方法】
由平行线间的距离处处相等，可知顶点都在两平行线上的三角形的高相等．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6厘米，AD＝9厘米，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动．当一点到达终点时，两点均停止运动．
11
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形？
【解】设经过t秒四边形ABQP为平行四边形．
根据题意，得AP＝t厘米，CQ＝2t厘米，
则BQ＝(6－2t)厘米．∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t＝6－2t，解得t＝2.
即经过2秒四边形ABQP为平行四边形．
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
【解】由(1)知，经过2秒四边形ABQP是平行四边形，设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP. 根据题意，得AP＝x厘米，CQ＝2x厘米，
则PD＝(9－x)厘米．∵AD∥BC，∴当CQ＝PD时，四边形DCQP是平行四边形，∴2x＝9－x，解得x＝3.
综上所述，经过2秒或3秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．(共29张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
由边、对角线的关系判定平行四边形
22.2.2
B
1
2
3
4
5
C
C
6
7
D
答 案 呈 现
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C
8
B
9
10
11
[2022·嘉兴]如图，在△ABC中，AB＝AC＝8.点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是( )
A．8
B．16
C．24
D．32
1
B
[2023·邵阳]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是( )
A．AD＝BC
B．∠ABD＝∠BDC
C．AB＝AD
D．∠A＝∠C
2
【点拨】
【答案】D
A.由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形．B．∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.∴不能判定四边形ABCD为平行四边形．C．由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形．D．∵AB∥ CD，∴∠ABC＋∠C＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠ABC＋∠A＝180°，∴AD∥BC.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．故选D.
如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
3
C
如图，E是 ABCD的边AD延长线上的一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A．∠ABD＝∠DCE
B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD
D．∠AEC＝∠CBD
4
C
如图，在 ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6 cm，BF＝12 cm，∠FBM＝∠CBM，E是BC的中点．若点P以1 cm/s的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2 cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到点F时停止运动，点Q也同时停止运动，若以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则点P运动的时间为( )
A．3 s B．5 s
C．3 s或5 s D．3 s或4 s
5
【点拨】
【答案】C
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE.
6
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若∠DAC＝60°，∠ADB＝∠EOD＝15°，AC＝6，则AD的长为________．
【点拨】
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：
①OE＝OF；②DE＝BF；
③∠ADE＝∠CBF；
④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7
B
[2023·娄底三中期中]如图，在四边形ABCD中，AB∥ CD，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，且BD＝DE，∠E＝∠ADB．求证：四边形ABCD为平行四边形.
8
【证明】∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE.
∵∠E＝∠ADB，∴∠ADB＝∠DBE，∴AD∥BC.
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
9
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO.
又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF.
10
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．
11
(1)求证：四边形AFCE为平行四边形．
(2)若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的 周长．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA.
∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA.
∴∠DCA＝∠DAC，即AD＝CD.
∵OA＝OC，∴OE⊥AC.
∴OE是AC的垂直平分线．∴AE＝CE.
∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形．
∴AE＝CE＝AC＝2OA.
又∵OA＝5 cm，∴AE＝CE＝10 cm.
由(1)可知，四边形AFCE为平行四边形，
∴AE＝CF＝10 cm，CE＝AF＝10 cm.
∴C四边形AECF＝2(AE＋CE)＝2×(10＋10)＝40(cm)．(共38张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
矩形及其性质
22.4.1
B
1
2
3
4
5
D
6
7
C
答 案 呈 现
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8
4或1
9
10
11
12
[2022·无锡]雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为( )
A．扇形 B．平行四边形
C．等边三角形 D．矩形
1
B
[2022·安徽]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( )
A．α－90°
B．α－45°
C．180°－α
D．270°－α
2
【点拨】
【答案】C
如图，
∵∠1＝90°＋∠3，∠1＝α，
∴∠3＝α－90°.
又∵∠3＋∠2＝90°，
∴∠2＝90°－∠3＝90°－(α－90°)＝90°－α＋90°＝180°－α.
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN. 若PM＋PN＝4，则线段PC的长为________．
3
[2022·湘西州]如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F.
4
(1)求证：△AEF≌△BEC；
【证明】证法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴易得∠B＝∠FAE＝90°.∵E是AB中点，∴AE＝EB.
∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC(ASA)．
证法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD.∴∠AFE＝∠BCE.∵E是AB中点，
∴AE＝EB.∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC(AAS).
(2)若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．
【解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°.∵CD＝4，∠F＝30°，
∴CF＝2CD＝2×4＝8，即CF的长为8.
5
【点拨】
【答案】D
出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．
6
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥ BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝________．
【点拨】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO.
7
(1)求∠AOB的度数；
【解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB.
∵AE⊥BD，AE平分∠BAO，
∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.
(2)若AB＝2 cm，求矩形ABCD的面积．
在矩形ABCD中，BC＝4，E为AD的中点，点F在射线AB上，BF＝3，过点E作EG⊥CF于点G，EF平分∠AEG，则AB的长为________.
8
4或1
【点拨】
Ⅱ.当点F在AB的延长线上时，如图②，连接EC.
同Ⅰ可得CD＝AB，AF＝FG，CG＝CD，CF＝5.
设AF＝FG＝y，则CD＝CG＝CF－FG＝5－y，
CD＝AB＝AF－BF＝y－3，
∴y－3＝5－y，
解得y＝4，∴AB＝4－3＝1.
综上所述，AB的长为4或1.
【点易错】
点F在射线AB上，分点F在线段AB上和点F在AB的延长线上两种情况．分别画出两种情况的示意图，根据矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质及勾股定理等知识解决问题．
[2022·鄂州]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD．
9
(1)求证：DF＝CF；
(2)若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
[2022·苏州]如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
10
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．
[2022·山西]如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)；
【解】如图所示．
11
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
12
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
【解】如图，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠CED＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA＝90°，
AB＝CD＝4, AD＝BC＝6.
∴∠CDE＋∠ADO＝90°.
(3)当点A移动到某一位置时，点C与点O的距离有最大值，请直接写出最大值．
【解】点C与点O的距离的最大值为8.(共29张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
矩形的判定
22.4.2
D
1
2
3
4
5
D
6
7
答 案 呈 现
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C
8
D
C
C
9
10
11
12
下列四边形是矩形的为( )
A．有两个角为直角的四边形
B．对角线互相平分的四边形
C．对角线互相垂直的四边形
D．四个角都相等的四边形
1
D
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝∠B，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是____________．
∠A＝90°
(答案不唯一)
2
如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4.选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是________(填序号)；
3
①
(答案不唯一)
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.∴∠ABC＋∠DCB＝180°.
∵BM＝CM，∴∠3＝∠4.
∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠DCB.
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，即 ABCD为矩形．
[2022·聊城]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
4
【点拨】
【答案】C
A.根据两条对角线相等不能判定四边形为平行四边形，更不可能判定其为矩形；B.根据两个角为直角不能判定四边形为矩形；C.根据两条对角线相等且互相平分可以判定四边形为矩形；D.根据两组对边分别相等可以判定四边形为平行四边形，但不能判定其为矩形．故选C.
[2022·陕西]在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AB＝AC D．AC＝BD
5
D
如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加的条件是( )
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°
D．∠1＝∠2
6
C
[2023·唐山友谊中学模拟]如图，在 ABCD中，AE⊥ BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是( )
A．EF＝AD
B．∠AEB＝∠DFC
C．BE＝CF
D．∠DAE＝∠AEF
7
D
[2023·上海]在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．
下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB∥CD B．AD＝BC
C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
8
【点拨】
A.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意．B．∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意．
【答案】C
C．∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°.∴AB⊥AD，AB⊥BC.∴AB的长为AD与BC间的距离．∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC.∴ ∠C＝∠D＝90°.∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意．D．∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°.∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C.∵AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意．故选C.
[2023·内江]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
9
(1)求证：FA＝BD；
【证明】∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.
又∵E为AD的中点，∴AE＝DE.
∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.
又∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝BD.
(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
【解】由(1)知AF＝BD，且AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴四边形ADBF是矩形．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，
则可证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，
则可证明CE＝DE.
10
(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；
【解】选择一位同学的说法即可(答案不唯一)．
选择小星，证明如下：如图①，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形．∴AE＝BD.
∵BD＝BC，∴AE＝BC.又∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形．∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形．∴∠EBC＝90°.∴BE⊥CD.
选择小红，证明如下：如图②，连接BE.
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE＝BD，AB＝DE.∵BD＝BC，∴AE＝BC.
∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形．
∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形．
∴AB＝CE.∴DE＝CE.
如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
(1)求证：BE＝DF.
11
如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.
12
(1)求证：OE＝OF.
【证明】如图所示．
由题意知∠2＝∠5，∠4＝∠6.
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴OE＝OC，OF＝OC.∴OE＝OF.
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长．
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形．(共39张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
菱形及其性质
22.5.1
10
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答 案 呈 现
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B
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[2023·福建]如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为________．
1
10
【点拨】
由菱形的性质得到AB＝BC，又∵∠B＝60°，因此△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝10.
2
【点拨】
【答案】D
[2023·衡水五中模拟]如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AF
D．∠AEB＝∠AFD
3
【点拨】
【答案】C
由四边形ABCD是菱形可知AB＝AD，∠B＝∠D.添加BE＝DF，可利用SAS证明三角形全等；添加∠BAE＝∠DAF，可利用ASA证明三角形全等；添加AE＝AF，不能证明三角形全等；添加∠AEB＝∠AFD，可利用AAS证明三角形全等．故选C.
[2022·济南]如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE. 求证：AE＝CF.
4
[2023·湘潭]如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．20°
B．60°
C．70°
D．80°
5
【点拨】
【答案】C
设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴∠DCO＝∠1＝20°，∠COD＝90°.∴∠2＝90°－∠DCO＝70°
6
【点拨】
【答案】D
7
【点拨】
【答案】B
8
【点拨】
【答案】C
9
【点拨】
如图，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得到AD∥BC，BC＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，由E为AD边的中点，得AE＝DE＝2.
【答案】B
10
【点拨】
如图，取AD的中点M ′，连接M′N，M′P，则有MP＝M′P.所以MP＋PN的最小值为线段M′N的长，即菱形的边长．
【点易错】
【答案】B
解这类问题同学们往往不会利用菱形的轴对称性．利用对称找点是解题的关键，将线段和的最小值转化为一条线段的长是解题通法．
. . . .
[2023·嘉兴]如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
11
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
【解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.
又∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAE＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF.∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝120°－30°－
30°＝60°.由(1)知AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°.
将两个完全相同的含有30°角的直角三角尺在同一平面内按如图所示位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF，CD．
12
(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；
【证明】由题知△ACB≌△DFE，
∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE.
∴AC∥DF.
∴四边形AFDC是平行四边形．
(2)已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为________cm.
18
[2022·张家界]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
13
(1)求证：△ODE≌△FCE；
(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
【解】四边形ODFC为矩形．证明如下：
由(1)知△ODE≌△FCE，∴OE＝FE.
又∵CE＝DE，∴四边形ODFC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.
∴四边形ODFC为矩形．
如图，菱形ABCD的一个内角∠B＝60°，E为BC的中点，F为CD的中点，连接AE，AF，EF.
14
(1)△AEF的形状如何？请证明．
【解】△AEF为等边三角形．证明如下：
连接AC，如图①所示．
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形．
∴AB＝AC＝AD，∠BAC＝∠DAC＝60°.
又∵E，F分别是边BC，CD的中点，
∴AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，AE⊥BC，AF⊥CD.
∴∠CAE＝∠CAF＝30°.
∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝60°.
∵菱形ABCD的面积为BC·AE＝CD·AF，BC＝CD，
∴AE＝AF.∴△AEF为等边三角形．
(2)若E为BC上的任意一点，F为CD上的任意一点，且∠EAF＝60°，△AEF的形状如何？请证明．
【解】△AEF为等边三角形．证明如下：
连接AC，如图②所示．
由(1)知△ABC和△ADC是等边三角形，
∴∠B＝60°＝∠ACD，AB＝AC.(共33张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
菱形的判定
22.5.2
B
1
2
3
4
5
6
7
A
答 案 呈 现
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A
8
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如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
1
【点拨】
【答案】B
易证得四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CE＝4时， ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.
2
【点拨】
【答案】A
[2023·沈阳]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形．
3
【证明】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分线段BC.∴EB＝EC，FB＝FC.
∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD.
易知DB＝DC，
∴△EBD≌△FCD(AAS)．∴BE＝CF.
∴EB＝BF＝FC＝EC，∴四边形BECF是菱形．
【点方法】
判定菱形的方法
1．若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
2．若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.
[2023·娄底一中模拟]下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．有一个角是直角
4
A
[2023·怀化]如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.
5
(1)求证：△BOF≌△DOE；
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO.
∵O是BD的中点，∴DO＝BO.
又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE(ASA)．
(2)连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
【证明】由(1)知△BOF≌△DOE，∴BF＝DE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF.
∴四边形EBFD是平行四边形．
易知EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．
[2023·齐齐哈尔]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：_________________，使四边形ABCD成为菱形．
6
AD∥BC
(答案不唯一)
[2023·随州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
7
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积．
[2023·云南]如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E，F分别在边BC，AD上，AE＝AF.
8
(1)求证：四边形AECF是菱形；
【解】如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝EB.
[2022·广元]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE.
9
(1)求证：四边形AECD为菱形；
【证明】∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝2BE.
∵AB＝2CD，∴CD＝AE.
又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC.
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠EAC，
∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD.
∴四边形AECD是菱形．
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【解】∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，DC＝2，
∴AD＝AE＝CE＝DC＝2，∠AEC＝∠D＝120°.
∴∠CEB＝180°－∠AEC＝60°.
∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝2.
∴AB＝AE＋BE＝4.
【点方法】
(1)由一组对边平行且相等可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证AD＝CD，可得结论．
(2)由菱形的性质和中点的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质等可求BC，AC的长，即可求解．
如图，在 ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
10
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
【解】四边形AECF是菱形．理由如下：
设AC，EF交于点O，如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠OAF＝∠OCE.
(2)求证：AE⊥DE.(共45张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
正方形及其性质
22.6.1
1
2
3
4
5
A
C
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B
答 案 呈 现
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D
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C
A
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12
D
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ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得 ABCD为正方形．
1
AC＝BD
(答案不唯一)
【点拨】
根据题意可知 ABCD为菱形，要使菱形ABCD为正方形，添加的条件为AB⊥AD，AC＝BD等．
2
【点拨】
【答案】B
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( )
A．2α
B．90°－2α
C．45°－α
D．90°－α
3
【点拨】
在正方形ABCD中，
AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，
得△ABG，如图所示．
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝∠BAE＋∠BAG＝45°.
∴∠GAE＝∠FAE＝45°.
【答案】A
4
【点拨】
【答案】D
连接AF，根据正方形ABCD及已知得到AB＝BC＝BE，∠ABC＝90°，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，求得∠BFE＝45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF的长度．
[2023·常德]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥ AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，
则∠AED的度数为( )
A．80° B．90°
C．105° D．115°
5
【点拨】
∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，EF∥ BC.∵EF∥ BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°. ∴∠OEF＝∠OFE＝45°.∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF.∵OA＝OD，∴AE＝DF.
【答案】C
又∵EF＝FE，∴△AEF≌ △DFE(SAS)．∴∠FDE＝∠CAF＝15°. ∴∠ADE＝∠ODA－∠FDE＝45°－15°＝30°. ∴∠AED＝180°－∠OAD－∠ADE＝180°－45°－30°＝105°.
[2022·重庆B卷]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，
则∠CBE的度数为( )
A．50° B．55°
C．65° D．70°
6
【点拨】
【答案】C
由正方形的性质可得AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，易得∠AFO＝70°，利用全等三角形的判定和性质得∠BEO＝∠AFO＝70°.从而可求出∠CBE的度数．
如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是________．
7
【点拨】
设B1C1与CD交于点E，连接AE.利用作差法求出AE一侧的阴影部分的面积，再利用对称性即可得解．
[2023·绍兴]如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.
8
点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( )
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【点拨】
如图①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
∴∠BDC＝∠ABD＝60°.
∴∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°.
∵OE＝OF，OB＝OD，
∴DF＝EB.
由题意得DF＝DF2，DE＝DE1，BF＝BF1，BE＝BE2，∠F2DC＝∠CDF＝60°，∠EDA＝∠E1DA＝30°.
∴∠E1DB＝60°.易得E1F2＝E2F1.
同理∠F1BD＝60°.∴DE1∥BF1.
又∵E1F2＝E2F1，
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形．
如图②，当E，F，O三点重合时，
易知DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2.
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
【答案】A
如图④，当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形 E1E2F1F2是菱形．∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选A.
如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________.
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【点拨】
【点易错】
本题容易错在不会利用正方形的轴对称性，将两条线段的和转化为一条线段．由于E，F是固定的点，因此可以作点E或点F关于AC所在直线的对称点，利用勾股定理求解．
. . . .
[2022·随州]如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
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(1)求证：AE＝CF；
【证明】∵四边形BEDF为正方形，
∴EB＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.∴AE＝CF.
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长.
【解】∵四边形BEDF为正方形，
∴DE＝EB，DE⊥AB.
∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，
∴DE＝EB＝4.∴AE＝AB－EB＝5－4＝1.
由(1)知AE＝CF，∴CF＝1.
[2023·绍兴]如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
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(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
【证明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE＝∠GEC＝90°.
∴AD∥GE.∴∠DAG＝∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
【解】AH⊥EF.理由如下：
如图，连接GC与EF交于点O.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ECF＝90°.
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°.
又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)．
∴∠DAG＝∠DCG.
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠ECF＝90°，
∴四边形FCEG为矩形．∴OE＝OC.
∴∠OEC＝∠OCE.∴∠DAG＝∠OEC.
由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC.
∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°.
∴∠GHE＝90°.∴AH⊥EF.
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【点拨】
如图，作EP⊥BC，EQ⊥CD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°.
又∵∠EPM＝∠EQC＝90°，
∴四边形PCQE为矩形．
∴∠PEQ＝90°.
∴∠PEM＋∠MEQ＝90°.
∵△FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°.
∴∠PEM＝∠NEQ.
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形．
∴△EPM≌△EQN(SAS)．∴S△EQN＝S△EPM.
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积．
【答案】D
如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.
(1)猜想图①中线段BG，线段DE的长度
关系及所在直线的位置关系，并说明
理由．
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【解】BG＝DE，BG⊥DE.理由如下：
如图①，延长BG交DE于点H.
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE.
∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE，∠1＝∠2.
∵∠1＋∠CGB＝90°，∠1＝∠2，∠CGB＝∠DGH，
∴∠2＋∠DGH＝90°.∴∠DHG＝90°.
∴BH⊥DE，即BG⊥DE.
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断．
【解】BG＝DE，BG⊥DE仍然成立．
证明：如图②，设BG与DE相交于点O，
DC与BG相交于点H.∵四边形ABCD、
四边形CEFG都是正方形，∴BC＝CD，
CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°.∴∠BCG＝∠DCE. ∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.
又∵∠BHC＝∠DHO，∠CBG＋∠BHC＝90°，
∴∠CDE＋∠DHO＝90°.∴∠DOH＝90°.∴BG⊥DE.
