(共35张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
正方形的判定
22.6.2
B
1
2
3
4
5
C
A
6
7
A
答 案 呈 现
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①②③④
8
C
A
9
10
在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是( )
A．AB＝AD B．AB⊥BC
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
1
【点拨】
【答案】B
在菱形ABCD中，AB⊥BC，可根据有一个角是直角的菱形是正方形得菱形ABCD是正方形；而添加AB＝AD或AC⊥BD或AC平分∠BAD都不能判定菱形ABCD是正方形．
2
【点拨】
如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作GH⊥BC于点H，交AD的延长线于点G，则∠AFC＝∠CHE＝90°，
∴AF∥GH.
∵AD∥BC，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHG是矩形．
∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝
∠FAG＝90°.
【答案】A
如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列4种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；②存
在无数个矩形MENF；③存在无数个
菱形MENF；④存在无数个正方形
MENF.其中正确的有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3
【点拨】
连接AC，MN，AC交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.当MN过点O时，易证OM＝ON，∴四边形MENF为平行四边形．∵点E，F，M，N是动点，∴存在无数个平行四边形MENF；当MN过点O，MN＝EF时，四边形MENF是矩形，∵点E，F，M，N是动点，∴存在无数个矩形MENF；
【答案】C
当MN过点O，MN⊥EF时，四边形MENF是菱形，∵点E，F是动点，∴存在无数个菱形MENF；当MN过点O， MN＝EF且MN⊥EF时，四边形MENF是正方形，符合要求的正方形只有一个，故①②③正确，④错误．
[2022·攀枝花]如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边三角形ACD、等边三角形ABE、等边三角形BCF，且点A在△BCF内部，给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；②当
∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有____________(填序号)．
4
①②③④
【点拨】
①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．
如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中正
确的个数是( )
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
5
【点拨】
【答案】A
中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系．两条对角线垂直→中点四边形是矩形，两条对角线相等→中点四边形是菱形．
如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是( )
A．AB＝CD，AB⊥CD
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD
D．AB＝CD，AD∥BC
6
【点拨】
【答案】A
如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d；
②b→d→c；③a→b→c，则正确的是( )
A．① B．③ C．①② D．②③
7
【点拨】
①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c得到一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d得到有一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d得到有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c得到一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c得到一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确．
【点易错】
【答案】C
由矩形和菱形判定正方形，容易混淆二者需要添加的条件．由矩形到正方形只需一组邻边相等，由菱形到正方形只需一个角是直角．
8
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形．
将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图①，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD>OC．在两个三角板所在平面内，将三角板
DOE绕点O顺时针方向旋转α
(0°<α<90°)到三角形D1OE1
的位置，使OD1∥AC，
如图②.
9
(1)求α的值；
【解】∵OD1∥AC，∠A＝30°，
∴∠AOD1＝∠A＝30°.
∵将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°<α<90°)
到三角形D1OE1的位置，
∴α＝∠AOD1＝30°.
(2)如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转 (DE＜AB)，∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF.
(1)如图①，求证：△ADE≌△CDF.
10
(2)直线AE与CF相交于点G.
Ⅰ.如图②，BM⊥AG于点M，BN⊥CF交FC的延长线于点N，证明四边形BMGN是正方形；
【证明】如图①中，设AG与CD相交于点P，
∵∠ADP＝90°，
∴∠DAP＋∠DPA＝90°.
∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF.
∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE＋∠DPA＝∠GPC＋∠GCP＝90°.
∴∠PGN＝90°.
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，∠AMB＝90°.
∴∠MBN＝90°，∠BNG＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°.∴∠ABM＝∠CBN.
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△AMB≌△CNB.
∴MB＝NB. ∴矩形BMGN是正方形．
Ⅱ.如图③，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
【点拨】
如图②，作DH⊥AG于点H，作BM⊥AG于点M，易得△AMB≌△DHA，∴BM＝AH.(共30张PPT)
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第二十二章 四边形
多边形及其内角和
22.7.1
C
1
2
3
4
5
C
B
6
7
C
答 案 呈 现
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540
8
C
D
C
9
A
10
11
12
D
C
13
14
15
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下列图形中不是凸多边形的是( )
1
C
[2023·株洲二中模拟]在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，观察探索凸十边形的对角线有( )
A．29条 B．32条
C．35条 D．38条
C
2
[2023·廊坊四中模拟]从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( )
A．4，3 B．3，3
C．3，4 D．4，4
3
C
[2023·云南]五边形的内角和是________度．
4
540
【点拨】
根据n边形内角和为(n－2)×180°求解，五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°.
[2023·湘西州]一个七边形的内角和是( )
A．1 080° B．900°
C．720° D．540°
5
B
下列多边形中，内角和最大的是( )
6
D
[2023·湖南师大附中模拟]若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( )
A．7 B．10
C．35 D．70
7
C
[2022·南充]如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正三角形ABF，则下列结论错误的是( )
A．AE＝AF
B．∠EAF＝∠CBF
C．∠F＝∠EAF
D．∠C＝∠E
8
【点拨】
【答案】C
∵AB＝AE，AB＝AF，∴AE＝AF.故A选项正确；∵∠F＝60°，∠EAF＝48°，∴∠F≠∠EAF.故C选项错误．故选C.
把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数不可能是( )
A．16 B．17
C．18 D．19
9
【点拨】
【答案】A
一个多边形剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．即一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或(n＋1)边形或(n－1)边形．故选A.
如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则 a＋b不可能是( )
A．360° B．540°
C．630° D．720°
10
【点拨】
【答案】C
一条直线将矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，只有630°不能被180°整除，所以a＋b不可能是630°，故选C.
一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为( )
A．7 B．7或8
C．8或9 D．7或8或9
11
【点拨】
【答案】D
设内角和为1 080°的多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.一个多边形切去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，也可能不变，所以原多边形的边数为7或8或9.
12
(1)一个n边形，除了一个内角外，其余(n－1)个内角的和为2 770°，求这个内角的度数；
【解】设这个内角的度数为x，
则(n－2)×180°－x＝2 770°，
即180°·n＝3 130°＋x.
∵n为正整数，0°＜x＜180°，∴n＝18.∴这个内
角的度数为180°×(18－2)－2 770°＝110°.
13
(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少度？
【解】设多加的这个内角度数为α，则(n－2)·180°＝1 380°－α. ∵1 380°＝7×180°＋120°，多边形的内角和应是180°的倍数，∴n＝9，α＝120°.
答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°.
在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
14
(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．
【解】∵BE∥AD，∠D＝80°，∠A＝140°，
∴∠BEC＝∠D＝80°，
∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80°＝
60°.
(1)如图①，O为四边形ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
【解】可以得到4个三角形，
与边数相等．
15
(2)如图②，点O在五边形ABCDE的边AB上，连接OC，OD，OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
【解】可以得到4个三角形，
与边数的关系为边数减1.
(3)如图③，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
【解】可以得到4个三角形，
与边数的关系为边数减2.(共19张PPT)
冀教版 八年级下
第二十二章 四边形
多边形的外角和
22.7.2
B
1
2
3
4
5
C
48
6
7
C
答 案 呈 现
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B
8
B
正五边形的外角和为( )
A．180° B．360°
C．540° D．720°
1
B
[2023·北京]十二边形的外角和为( )
A．30° B．150°
C．360° D．1 800°
C
2
(母题：教材P152例2)如图，小明从A点出发，沿直线前进8 m后向左转45°，再沿直线前进8 m，又向左转45°，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，共走的路程为( )
A．80 m B．96 m
C．64 m D．48 m
3
C
[2023·枣庄]如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为( )
A．14°
B．16°
C．24°
D．26°
4
【点拨】
【答案】B
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1＝44°，∴∠3＝∠1＝44°.
∴∠5＝∠3＋∠4＝104°.
∴∠2＝120°－∠5＝16°.
故选B.
[2022·株洲]如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝__________度．
5
48
【点拨】
[2023·山东实验中学月考]小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( )
6
【点拨】
【答案】B
由新多边形的内角和是其外角和的2倍，可得新多边形内角和为360°×2＝720°，进而得到新多边形的边数为6.对照各选项进行判断即可．
多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.
(1)求此多边形的边数．
7
(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？
【解】由(1)知此多边形确定的内角的度数为
180°－90°＝90°.
(1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
8
【解】设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.
∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
(2)请你用文字描述上述关系；
【解】在一个四边形中，两个外角的和等于与它们不
相邻的两个内角的和．
(3)用你发现的结论解决问题：如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．(共43张PPT)
冀教版 八年级下
多边形的内角和与外角和
测素质
第二十二章 四边形
A
1
2
3
4
5
D
D
6
7
C
答 案 呈 现
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A
8
B
B
A
9
60°
10
11
12
120°
12
27
45
13
14
15
16
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17
18
19
一、选择题(每题4分，共32分)
下列选项中的图形，不是凸多边形的是( )
1
A
已知过一个多边形的某一个顶点共可作2 024条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．2 025 B．2 026
C．2 027 D．2 028
C
2
多边形的内角和不可能为( )
A．180° B．540°
C．1 080° D．1 200°
3
D
[2023·兰州]如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝( )
A．45° B．60°
C．110° D．135°
4
【点拨】
【答案】A
∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷8＝45°.故选A.
第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案(如图)，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是( )
A．9 B．10
C．11 D．12
5
【点拨】
【答案】D
如图，小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→ D→E的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是( )
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
6
【点拨】
【答案】B
∵多边形的外角和等于360°，∴他每跑完一圈，身体转过的角度之和是360°.
如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为( )
A．28°
B．36°
C．45°
D．72°
7
【点拨】
【答案】B
[2023·福州四十中学月考]若对图①中星形截去一个角，如图②；再对图②中的∠A，∠B，∠E，∠F如法进一步截去，如图③.则图中的∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝( )
A．1 080°
B．1 260°
C．12 00°
D．900°
8
【点拨】
如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋ (∠C＋∠E)＋(∠B＋∠D)＝∠A＋∠1＋∠2＝180°；如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋
∠E＋∠F＝(∠A＋
∠E)＋(∠B＋∠F)＋
∠C＋∠D＝∠1＋∠2＋
∠C＋∠D＝360°.
【答案】A
观察图①到图②，可以发现每截去一个角相应的角度和会增加180°，∴当截去5个角时相应的角度和增加了180°×5＝900°.∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝180°＋900°＝1 080°.故选A.
二、填空题(每题4分，共24分)
(母题：教材P152做一做)如图，六边形ABCDEF是正六边形，那么∠α的度数是________．
9
60°
如图是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为________．
12
10
【点拨】
[2023·湖南师大附中模拟]如图，五边形ABCDE的外角中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，则∠A的度数是________．
120°
11
从多边形的一个顶点所引的对角线把这个多边形分成7个三角形，则这个多边形共有________条对角线．
27
12
【点拨】
如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为________度．
45
13
【点拨】
从如图的五边形ABCDE纸片中剪去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和是____________________．
360° 或540°或720°
14
【点拨】
从一个五边形
中剪去一个三角
形，如图，得到的
多边形可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形，分三种情况：①若剩余部分的多边形是四边形，则内角和为360°；②若剩余部分的多边形是五边形，则内角和为(5－2)×180°＝540°；③若剩余部分的多边形是六边形，则内角和为(6－2)×180°＝720°.
三、解答题(共44分)
(7分)已知一个多边形的内角和与外角和的和为1 080°，且这个多边形的各个内角都相等，求这个多边形每个外角的度数．
15
【解】设这个多边形是n边形．
根据题意得(n－2)×180°＋360°＝1 080°，解得n＝6.由这个多边形的各个内角都相等，可得每个外角都相等，为360°÷6＝60°，即这个多边形每个外角的度数都是60°.
(7分)[2023·邯郸育华中学月考]如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝100°，∠B＝120°.
16
(1)若∠D＝110°，求∠E的度数；
【解】∵AE∥CD，∴∠D＋∠E＝180°.
∴∠E＝180°－∠D＝180°－110°＝70°.
(2)试求出∠C的度数．
【解】五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝(5－2)×180°＝540°，
∵∠D＋∠E＝180°，∠A＝100°，∠B＝120°，
∴∠C＝540°－(∠D＋∠E)－∠A－∠B＝140°.
(10分)如图是两个小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形的内角和，少加的内角为多少度？
17
【解】1 140°÷180°＝6……60°，
则边数是6＋1＋2＝9.
所以他们是在求九边形的内角和．
180°－60°＝120°，
所以少加的内角为120°.
(10分)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
18
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
【解】依题意得(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×
180°，解得x＝2.
(10分)在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝36°，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，点P是一动点，设∠DPE＝∠α，∠PDB＝∠1，∠PEC＝∠2.
(1)若点P在边BC上，如图①，∠α＝40°，计算∠1＋∠2的度数；
19
【解】∵在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝104°.
∵∠1＋∠ADP＝∠2＋∠AEP＝180°，
∴∠1＋∠ADP＋∠2＋∠AEP＝360°.
∵∠A＋∠α＋∠ADP＋∠AEP＝360°，
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠α.
∵∠α＝40°，∴∠1＋∠2＝144°.
(2)若点P运动到△ABC外，请在图②中标出∠α，∠1，∠2，探究∠α，∠1，∠2之间的等量关系，并说明理由；
【解】如图①，标出∠α，∠1，∠2.
∵在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝104°.
∵∠1＋∠ADP＝∠2＋∠AEP＝180°，
∴∠1＋∠ADP＋∠2＋∠AEP＝360°.
∵∠A＋∠α＋∠ADP＋∠AEP＝360°，
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠α，即∠1＋∠2＝∠α＋104°.
(3)若点P运动到△ABC外，请分别在图③图④中标出∠α，∠1，∠2，并直接写出相应的∠α，∠1，∠2之间的等量关系．
【解】如图②，标注∠α，∠1，∠2.
此时∠1－∠2＝∠α＋104°.
如图③，标注∠α，∠1，∠2.
此时∠2－∠1＝104°－∠α.(共42张PPT)
冀教版 八年级下
平行四边形的性质和判定
测素质
第二十二章 四边形
D
1
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3
4
5
C
B
6
7
B
答 案 呈 现
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A
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A
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7
(4，2)
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13
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15
16
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17
一、选择题(每题4分，共32分)
[2023·秦皇岛十中模拟]在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝110°，则∠A的度数为( )
A．40° B．110°
C．55° D．125°
1
D
[2022·内江]如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
2
【点拨】
【答案】B
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12， BC＝AD＝8，AB∥CD.∴∠ABM＝∠CMB.∵BM是∠ABC的平分线．∴∠ABM＝∠CBM.∴∠CBM＝∠CMB. ∴MC＝BC＝8.∴DM＝CD－MC＝12－8＝4.故选B.
[2023·衡阳]如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．
添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AD＝BC
B．AB∥DC
C．AB＝DC
D．∠A＝∠C
3
【点拨】
A.∵AD∥BC，AD＝BC，∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形；B．∵AD∥BC，AB∥DC，∴由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形；C．AB＝DC，但AB和DC不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形；
【答案】C
D．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.又∵∠A＝∠C，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(AAS)，∴AD＝CB，∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形．故选C.
如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．8 cm
4
A
[2023·云南]如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设AC，BC的中点分别为M，N.若MN＝3米，则AB＝( )
A．4米
B．6米
C．8米
D．10米
5
B
如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为( )
A．108°
B．109°
C．110°
D．111°
6
【点拨】
【答案】C
7
A
如图，△ABC和△ACD是两个完全相同的三角形， AB＝CD，BC＝AD，将△ACD沿直线l向右平移到△EFG的位置，点A对应点E，且点E，C不重合，连接BE，CG，有下列结论：结论1：以点B，E，C，G为顶点的四边形总是平行四边形；
结论2：当BE最短时，BC⊥CG.
8
下列判断正确的是( )
A．只有结论1正确
B．只有结论2正确
C．结论1、结论2都正确
D．结论1、结论2都不正确
【点拨】
∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.由平移的性质得到EG∥AD，EG＝AD，∴EG∥BC，EG＝BC，∴以点B，E，C，G为顶点的四边形总是平行四边形．∴结论1正确．
【答案】A
当BE最短时，∴BE⊥AC.∴∠BEC＝90°.∵四边形BEGC是平行四边形，∴∠BCG＝∠BEG＝∠BEC＋∠CEG> 90°.∴BC与CG只相交不垂直．∴结论2不正确．综上，只有结论1正确，故A正确．故选A.
二、填空题(每题4分，共20分)
如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为______．
9
5
[2023·凉山州]如图， ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是________．
(4，2)
10
【点拨】
如图，延长BC交y轴于点D.
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA.
∵OA⊥y轴，∴BC⊥y轴．
∵A(3，0)，C(1，2)，
∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2.
∴BD＝CD＋BC＝1＋3＝4.∴B(4，2)．
[2023·长沙雅礼中学期末]如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，点F在DE上，连接BF，且BF平分∠ABC，若AB＝5，EF＝1，则BC的长为________．
7
11
【点拨】
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O且AB＝12，AC＝10，BD＝26，则 ABCD的面积为________．
120
12
[2023·西安西工大附中模拟]如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠DAB＝60°，DF⊥AB，BE⊥CD，垂足分别为点F，E，点G和点H分别是DF和BE上的动点，GH∥AB，则AG＋GH＋CH的最小值为________．
13
【点拨】
∵DF⊥AB，BE⊥CD，∴GF∥BH.
∵GH∥AB，∴四边形GHBF为平行四边形，
∴GH＝BF＝2.同理可得出BF＝DE＝2.
∵AB∥DE，AD∥EI，∴四边形ADEI为平行四边形．
∴AI＝DE＝2＝GH.
又∵AI∥GH，∴四边形AGHI为平行四边形．
∴AG＝HI.∴AG＋GH＋CH＝HI＋2＋CH.
∴当HI＋CH最小时，AG＋GH＋CH最小．
∵当点I，H，C三点共线时，HI＋CH最小，
三、解答题(共48分)
(10分)如图，E为 ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，AC与BD交于点O，连接OF.求证：CE＝2OF.
14
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AB∥CD.
∴∠FAB＝∠FEC，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC，∴AB＝CE.
∴△ABF≌△ECF(ASA)．∴AF＝EF.∴F为AE的中点．
∵OA＝OC，∴OF为△AEC的中位线．∴CE＝2OF.
(10分)[2022·株洲]如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE.
15
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【证明】由(1)知△AEF≌△DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，∴AB∥CD.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．
(14分)[2023·无锡]如图，△ABC 中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，求证：
16
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
【解】由(1)证得△AED≌△CEF，
∴∠A＝∠FCE.∴BD∥CF.
易知DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
(14分)问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2.
17
探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
【解】如图(a)所示．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD.∴∠DEA＝∠BAE.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠DEA＝∠DAE.∴DE＝AD＝5.
同理可得CF＝BC＝5.
∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10.
②当点E与点C重合时，求EF的长．
【解】如图(b)所示．
同①方法可得DE＝AD＝5.∵点E与点C重合，
∴DE＝DC＝5.
同①方法可得CF＝BC＝5，
∴CF＝CD.
∴点F与点D重合．∴EF＝DC＝5.(共46张PPT)
冀教版 八年级下
特殊平行四边形
测素质
第二十二章 四边形
C
1
2
3
4
5
B
C
6
7
B
答 案 呈 现
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C
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C
C
C
9
10
11
12
6.8
52
①②④
13
14
15
16
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一、选择题(每题4分，共32分)
在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
1
【点拨】
【答案】C
平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2
【点拨】
【答案】B
[2023·武汉黄陂区期末]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A(0，1)，B(2，0)均在坐标轴上，则点C的坐标是( )
A．(1，3)
B．(3，2)
C．(2，3)
D．(2，4)
3
【点拨】
【答案】B
如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.∵四边形ABCD是正方形，点A(0，1)，B(2，0)，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AO＝1，OB＝2.易得∠AOB＝∠BEC＝
90°，∠ABO＝∠BCE＝90°－∠CBE.
∴△AOB≌△BEC(AAS)．∴BE＝AO＝1，
EC＝OB＝2.∴OE＝OB＋BE＝2＋1＝3.
∴点C(3，2)．故选B.
[2023·宁波]如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连接AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S－S1－S2的值，只需知道( )
A．△ABE的面积
B．△ACD的面积
C．△ABC的面积
D．矩形BCDE的面积
4
【点拨】
如图，作AG⊥ED于点G，交BC于点F.
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，
BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD.
∴四边形BFGE是矩形，
∠AFB＝∠FGE＝90°.
【答案】C
如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EP∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.
若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为( )
A．10
B．12
C．16
D．18
5
【点拨】
【答案】C
过点P作GH∥AB，分别交AD，BC于点G，H.则四边形AEPG，四边形DFPG，四边形EBHP，四边形PHCF都是矩形．利用矩形的一条对角线将面积平分可得S△BEP＝S△DGP，从而S阴影＝S矩形DGPF＝16.
[2023·广东实验中学期中]如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB＝DC
6
【点拨】
【答案】C
依题意知四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形，根据三角形的中位线定理，易得EF∥AC∥GH，EH∥BD∥FG，从而可判定四边形EFGH为平行四边形．当AC⊥BD时，易得∠FEH＝90°，从而可得四边形EFGH为矩形，故选C.
7
C
七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，
8
【点拨】
①如图，连接PC，∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF为△CBD的中位线．∴EF∥BD.
∵AP⊥EF，∴AP⊥BD.
∵四边形ABCD为正方形，
∴A，O，P，C在同一条直线上，即
点O为对角线AC，BD的交点，由正方形的
性质和中位线的性质可得题图中的三角形都是等腰直角三角形．故①正确．
【答案】C
二、填空题(每题5分，共20分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.试添加一个条件：________________，使得矩形ABCD为正方形．
9
AB＝AD
(答案不唯一)
[2022·达州]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为________．
52
10
【点拨】
如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10.当折痕GH最长时，线段BH的长为________．
6.8
11
【点拨】
由题易知，当点E与点D重合时，GH最长，此时 CE＝6.设BH＝x，则CH＝10－x，EH＝x.在Rt△CEH中，由勾股定理得CH2＋CE2＝EH2，即(10－x)2＋62＝x2，解得x＝6.8.故当折痕GH最长时，BH的长为6.8.
①②④
12
【点拨】
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∴∠BAF＋∠DAF＝90°.∵EA⊥AF，∴∠EAB＋∠BAF＝90°.∴∠EAB＝∠FAD.又∵AE＝AF，∴△AEB≌△AFD(SAS)．故①正确．∵△AFD≌△AEB，∴∠AFD＝∠AEB.∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝45°.∴∠AEB＝∠AFD＝180°－∠AFE＝135°.∴∠BEF＝∠AEB－∠AEF＝135°－45°＝90°.∴EB⊥ED.故②正确．
三、解答题(共48分)
(10分)[2022·巴中]如图， ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG，DE，FG.
13
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【证明】∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.∴DC＝CF.
又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形．
∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG.
又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD＋CF＝2CD＝2AB，
∴DF＝EG.∴四边形DEFG是矩形．
(10分)如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF.
14
(1)求证：BE＝CF；
【证明】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵BG⊥AE，∴∠BGE＝90°.∴∠AEB＋∠EBG＝90°.
∴∠BAE＝∠EBG.∴△ABE≌△BCF(ASA)．
∴BE＝CF.
(2)若正方形ABCD的边长是5，BE＝2，求AF的长．
(12分)[2022·遂宁]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.
15
(1)求证：△AOE≌△DFE；
【证明】∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.
∵DF∥AC，∴∠OAE＝∠FDE.
又∵∠AEO＝∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．
(2)判断四边形AODF的形状，并说明理由．
【解】四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO＝DF.
又∵DF∥AC，∴四边形AODF为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.
∴平行四边形AODF为矩形．
16
(1)求证：BE＝DF.
(2)当t为何值时，四边形BEFD为菱形？说明理由．
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？说明理由．(共21张PPT)
冀教版 八年级下
1.构造三角形中位线的常用方法
练素养
第二十二章 四边形
1
2
3
4
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如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，求DG的长．
1
如图，在△ABC中，AD是中线，AE是∠BAC的平分线，CF⊥AE于点F，连接DF，若AB＝10，AC＝6.求DF的长．
2
【解】延长CF交AB于点G，交AD于点H.
∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF.
∵AF⊥CG，∴∠AFG＝90°＝∠AFC.
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥ AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.证明：
3
(1)△BEF是等腰三角形；
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°＝∠ABC.
∴∠BEF＝90°－∠ECB＝67.5°，∠CFD＝90°－
∠DCF＝67.5°.
∴∠BEF＝∠CFD.
又∵∠BFE＝∠CFD，∴∠BEF＝∠BFE.
∴BE＝BF，即△BEF是等腰三角形．
(1)用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM；
4
(2)用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM＝∠F；
【证明】由(1)知PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的
中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD.
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM.
由(1)知∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F.
(3)用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC
【点方法】
本题考查了三角形中位线定理及平行线的性质，巧妙构造三角形的中位线是解此题的关键．(共16张PPT)
冀教版 八年级下
1.矩形的性质和判定的应用
练素养
第二十二章 四边形
1
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4
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如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E，F在对角线BD上，点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
1
(1)求证：四边形AECF为平行四边形．
(2)当t为何值时，四边形AECF为矩形？
【点方法】
解决动态条件问题的几何题，常用逆向思维来做，即交换问题中的条件与结论的呈现方式进行解答，如将“当t为何值时，四边形AECF为矩形”改为“当四边形AECF为矩形时，t的值是多少”求出t的值即可．
. . . .
[2023·华南师大附中期中]如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
2
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵CF＝AE，∴AB－AE＝CD－CF.∴BE＝DF.
∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴四边形BFDE是矩形．
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝6，求 ABCD的面积．
[2023·新疆]如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点．
3
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．
[2022·云南]如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.
4
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.(共23张PPT)
冀教版 八年级下
2.判定平行四边形的五种常用方法
练素养
第二十二章 四边形
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8
[2023·宁夏]如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形．
1
【证明】∵EF∥AC，∴∠EDC＋∠C＝180°.
又∵∠EDC＝∠CBE，∴∠CBE＋∠C＝180°.
∴EB∥DC.
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形．
如图，在 ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于点M，DF与CE相交于点N. 求证：四边形FMEN为平行四边形．
2
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，
∴DE∥BF.∴四边形BFDE为平行四边形．∴BE∥DF.
同理可得AF∥CE.∴四边形FMEN为平行四边形．
如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．
3
【证明】∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，
∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，AF＝AC，
∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，即∠ABC＝∠DBE.
∴△ABC≌△DBE(SAS)．∴AC＝DE.∴AF＝DE.
同理可证△ABC≌△FEC，∴AB＝FE.∴AD＝EF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
4
【点方法】
平行四边形的性质定理与判定定理是互逆的，综合考查时衔接点都是边和角．
如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证：
5
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【证明】由(1)可知△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD，
即∠AEF＝∠CFE.∴AE∥CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
如图，在 ABCD中，如果BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
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如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上．
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(1)给出以下条件：①OB＝OD；②∠1＝∠2；③OE＝OF.请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO.
(2)在(1)中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【证明】由(1)知△BEO≌△DFO，∴EO＝FO.
∵AE＝CF，∴AE＋EO＝CF＋FO，即AO＝CO.
又∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
如图①，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
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(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形(四边形AGHD除外)．
【解】与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有
GBCH， ABFE， EFCD， EGFH.(共36张PPT)
冀教版 八年级下
2.特殊平行四边形间的关系的综合应用
练素养
第二十二章 四边形
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[2023·鄂州]如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
(1)尺规作图：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF(保留作图痕迹，不写作法)；
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【解】作图如图所示：
(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
【证明】四边形AEFD是菱形，理由如下：
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFE.
∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF.
∴∠EFA＝∠EAF.∴AE＝EF.∵AE＝AD，∴AD＝EF.
∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形．
又∵AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形．
[2023·厦门双十中学期中]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E.
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(1)求证：四边形AODE是矩形；
【证明】∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.
∴平行四边形AODE为矩形．
(2)若AB＝2，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积．
如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ.
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(1)求证：四边形BPEQ是菱形；
(2)若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长．
[2022·遵义]将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
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(1)求证：△ADE≌△CDG；
(2)若AE＝BE＝2，求BF的长．
【解】如图，过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝
AE＋BE＝2＋2＝4，
∠EBQ＝∠CBD＝45°.
∴∠QEB＝45°＝∠EBQ.
∴EQ＝BQ.
如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F，判定四边形MEBF的形状，并证明你的结论．
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【解】四边形MEBF是正方形．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB＝∠MFB＝90°.
∴四边形MEBF是矩形．
又∵BM是∠ABC的平分线，
∴ME＝MF.∴矩形MEBF是正方形．
(1)如图①，矩形ABEF，点D在AF上，将矩形ABEF沿BD折叠，点A的对应点C落在BE上．求证：四边形ABCD为正方形；
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【证明】∵四边形ABEF是矩形，
∴∠A＝∠ABE＝90°.
∵将矩形ABEF沿BD折叠，点A的对应点C落在BE上，
∴∠BCD＝∠A＝90°，AD＝DC.
∴四边形ABCD是正方形．
(2)如图②，正方形ABCD中，点G在AD上，点H在CD上，∠GBH＝45°，连接GH，求证：GH＝AG＋CH；
【证明】 如图①，在正方形ABCD中，将△ABG绕点B顺时针旋转90°，得到△CBL，则L在DC的延长线上，CL＝AG，BG＝BL，∠CBL＝∠ABG.
∵∠ABC＝90°，∠GBH＝45°，
∴∠LBH＝∠CBL＋∠CBH＝∠ABG＋∠CBH＝90°－45°＝45°.
∴∠GBH＝∠LBH.
又∵BG＝BL，BH＝BH，∴△GBH≌△LBH (SAS) .
∴GH＝LH.
∵LH＝CL＋CH＝AG＋CH，∴GH＝AG＋CH.
(3)如图③，在(2)的条件中，连接AC分别交BG，BH于点T，K，连接GK，若AK︰KC＝2︰1，△GKH的面积为20时，求TK的长．
【解】如图②，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，过K作MN∥BC分别交AB，DC于点M，点N，过K作KI⊥ AD于点I.易得四边形AMKI，四边形IKND，四边形BCNM均为矩形．
如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.连接BE，AE，AF.
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(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明．
【解】OE＝OF.证明如下：
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.
∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF.
(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．
【解】不能为菱形．理由如下：
如图，连接BF，交EC于点G.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形．
(4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
【解】当点O运动到AC的中点，且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵MN∥BC，∴当∠ACB＝90°时，∠AOE＝∠ACB＝90°.∴AC⊥EF.∴矩形AECF是正方形．
【点方法】
解决条件探索题，先将结论作为条件去分析此结论成立时应具备的条件，然后补充此条件，推理证明此结论成立．