图形的相似全章学案
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图形相似学案
第1课时：相似图形
出示大小不一样的照片两张，及大小不同的世界图片，供学生观察，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢？
图24.1.1
这些图片虽然大小不一样，但形状相同．
由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的、也有2寸的、也有更大的，这些大小不一样的相片其形状是相同的.
大小不同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，它们被印制成大小不一样的图片.
日常生活中我们会碰到很多这样形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形（similar figures）.
例1 如图所示是一些相似的图形.
图24.1.3
例2 (1)放大镜下的图像与原来的图形相似吗？
(2)你看过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
答 (1) (2).
例3 下图中的三组图形，看起来每组中的两个有点相像，但它们不是相似形.
图24.1.4
如下图所示，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，和你的伙伴交流一下，看谁的方法又快又好.
练习
1.观察你周围的一切，举出几个相似图形的例子.
2.你看到过你在水中的倒影吗？倒影中的形象与你本人相似吗？（注意分多种情况）
3.图中的三个边长不等的等边三角形是相似的图形吗？
课时作业：
1.观察你周围的事物，并举出几个相似图形的例子．
2.试着用所给的格点图把下面的图形放大．
3.观察下面的图形(a)~(g)，其中哪些是与图形(1)、(2)或(3)相似的？
第2课时：成比例线段
投影两幅大小不一样的中国地图，问：
1、这两张图形有什么联系？
它们是平面图形，它们的开关相同，大小不相同，是相似形。
2、这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。
探索：
1、试一试：由下面的格点图可知，＝_________，＝________，这样与之间有关系_______________．
2、概括：像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）．此时也称这四条线段成比例．
3、例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
解：（1）
（2）
4、练习：判断下列线段是否是成比例线段：
（1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；
（2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
5、新结论：
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么．
以上结论称为比例的基本性质．
6、思考：请试着证明这两个结论。这两个命题间有什么关系？
7、练习：（1）、如果，那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成 。
（2）、已知： 线段a、b、c满足关系式，且b＝4，那么ac＝______．
8、例2 证明：（1）如果，那么；
（2） 如果，那么．
证明（1）
（2）
9、练习：已知，那么、各等于多少？
10、想一想：根据比例的基本性质，由，你还可以得到其他哪些类似的结论？
课时作业：
1、 在比例尺为1：8000的校地图上，矩形运动场的图上尺寸是，矩形运动场的实际尺寸是多少？
2、 在比例尺不同的城市两张地图中，量得A、B、C三地的图上距离，第一张地图中量AB=3.6cm，AC=3cm，在第二张地图上量得AB=6cm，那么第二张地图中量得AC为多少？
3、早上8点和中午12点，某地一根高30cm的旗杆的影长分别为40cm和10cm，相应时刻旗杆的高与其影长的比各是多少？
4、判断下列各组线段是否是成比例线段：
（1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；
（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米；
（3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米；
（4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
5、已知：，求的值．
6、 已知：，则___________．
7、 已知：（x、y、z均不为零），则__________．
8、已知（b±d≠0），求证：．
第3课时：相似图形的性质
一、提出问题
1、 怎样的图形是相似图形？
2、 怎样的四条线段是成比例线段？
3、两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？
做一做：
图24．2．2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形．设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地图中A（A′）与B（B′）两地之间的图上距离、B（B′）与C（C′）两地之间的图上距离．
图24.2.2
AB＝______cm， BC＝______cm；
A′B′＝______cm， B′C′＝______cm．
显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了．
计算可得：
＝________，＝________．
我们能发现＝．
上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段是成比例线段．实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的．
这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？
二、自主探究、猜想
1、 动手实验，直观探索
图18.2.2中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否为比例线段的关系呢？对应角之间又有什么关系？
图18.2.2
提示：为了验证你的猜测是否正确，可以用刻度尺和量角器量量看。
再看看图18.2.3中两个相似的五边形，是否与你观察图18.2.2所得到的结果一样？
图18.2.3
2、 交流合作，大胆猜想
在独立动手的基础上，进行交流与合作，并大胆地猜想结果。
3、概括总结，确认猜想
概 括：
由此可以得到两个相似多边形的特征：
对应边成比例，对应角相等。
实际上这也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果_____________
____________________________，那么这两个多边形相似。
提醒：这就是我们判定两个多边形是否相似的判定方法。
想一想：如果两个多边形的边数不同呢？
三、范例讲解
1、例：在图18.2.4所示的相似四边形中，求未知边x、 y的长度和角度a的大小。
图18.2.4
解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以
解得 x ＝ 31.5， y ＝ 27．
a ＝ a360°－（77°＋ 83°＋ 117°）＝ 83°．
注意:利用相似多边形的性质时,必须分清对应边和对应角.
2、变式拓展，优化认知
思 考：
（1）两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？
（2）所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？所有的正方形呢？
四、练习
1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由。
(第1题)
2．如图，正方形的边长a = 10，菱形的边长b = 5，它们相似吗？请说明理由。
(第2题)
课时作业：
1．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？
2．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？
3．如图所示的两个矩形是否相似？为什么
（第3题）
4．在下面的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形．
5、如图，四边形ABCD与四边形A`B`C`D`是相似的，且C`D`⊥B`C`，根据图中的条件，求出未知的x,y及角α。
6、 已知矩形ABCD与矩形A`B`C`D`中，AB=16，AD=12，A`D`=6，矩形A`B`C`D`的面积为48，这两个矩形相似吗？为什么？
7、 如图矩形ABCD，AB=10cm，AD=25cm，要剪出一个矩形ABEF，并且使得矩形ABEF与原矩形ABCD相似，那么BE应剪多少？这样的矩形可剪几个？边角料还能剪成与原矩形相似的矩形吗？试一试。
8、如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比（矩形DMNC与矩形ABCD的对应边之比）
第4课时：相似三角形
一、复习： 什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？相似三角形有什么特征呢？（三组对应角相等，三组对应边成比例）
二、探索
1、充分思考，并与伙伴交流后，解决以下具体的问题。
△ABC与△A′B′C′相似，让学生写出它的对应边和对应角的关系。
2、相似三角形的记法。△ABC∽△A′B′C′ （注意：书写两个三角形相似时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。）
试问：（1）全等的两个三角形一定相似吗？
（2）相似的两个三角形会全等吗？
3、练习：（1）1．如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．
（2）判断下面两个三角形是否相似，简单说明理由：
4、相似三角形的相似比．让学生知道相似比是有顺序关系的。
如果记＝k，那么这个比值k就表示△ABC与△A′B′C′的相似比。
①说明：相似三角形对应边的比可以反映两个三角形的大小关系，所以给它起个名字，叫相似比，也叫相似系数。相似三角形对应边的比叫相似比。
②我们一起探究相似比中需要注意的问题：ΔA B C和ΔA′B′C′的相似比为2，则ΔA′B′C′和ΔA B C的相似比是多少？说明两个相似三角形的相似比具有顺序性。一般来说，ΔA B C和ΔA′B′C′的相似比为K1 ，ΔA′B′C′和ΔA B C的相似比为K2 ，则K1= 1 K2 ，且K1 ≠K2 ，当且仅当它们全等时，才有K1= K2=1
5、观察并思考：在图24.3.2中，DE∥BC，则ΔADE与ΔABC相似吗？能否加以证明 (根据定义）
6、让自己尝试把这一命题归纳成定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或者两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
7、练习：（1）已知：D、E分别是ΔA B C的边AB、AC边上的中点，问△ADE和ΔABC相似吗？为什么？如果相似，请求出ΔABC∽△ADE的相似比。
（2）如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？
分析：其相似三角形的对应边是哪些边？相似比是多少？一个三角形较大？要计算出它的周长还需求什么？根据什么来求？
三、课堂练习：
1、 如图(1)，DE//BC,用刻度尺量一量线段AB,AC,BC,AD,AE,DE的长，判断△ABC与△ ADE相似吗？如果相似，写出它们的对应边的比例式。
2、 如图(2)，已知△ABC∽△ACD，
（1） 指出它们的对应角，对应边，写出对应边的比例式。
（2） 若AC=6,AD=4,BD=5.4,你还能算出哪些线段的长？请算一算。
（3）、 右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案．
（第3题）
课时作业：
1、如图，DE∥BC，且AD＝1，AE＝1.5，DB＝2，EC＝3，DE＝2，BC＝6，试说明△ADE∽△ABC，并指出它们的相似比。
2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠A＝60°，且AC＝2，CD＝，CB＝，AD＝1，BD＝3.试找出图中各对相似的三角形，并指出它们的相似比。
3、如图，点D、E分别是AB、AC上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△ADE∽△ABC，求AE的长。
第5课时：相似三角形的判定（1）
一、复习引入：
1、两个矩形一定会相似吗？为什么？
2、如何判断两个三角形是否相似？
3、如图（准备好教具：两个相似三角形）问是否存在识别两个三
角形相似的简便方法？本节课就是探索这方面的识别两个三角形
相似的方法。
二、探索
1、观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）让学生充分思考，并与伙伴交流后，它们相似吗？
2、探 索：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？
3、任意画两个三角形（可以画在下面的格点图上），使其三对角对应相等．用刻度尺量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？
图24.1.5
（如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．）
4、小组讨论。师总结：得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
5、思 考：如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？举例说明。（你所用的两块不一样的直角三角尺）
6、例1 如图24．3．4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．
证明:
7、练习：
（1）、△ABC和△中，∠ A＝40°，∠B＝80°，∠＝80°，∠＝60°.
则△ABC与△相似吗？为什么
（2）、找出图中所有的相似三角形.
8、例2 如图18.3.5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明:△ADE∽△EFC.
（注意：推理必须步步有据）
解:
9、练习：
（1）.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线交AC于D，
证明：△ABC∽△BDC.
（2）.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.⑴试说明：CD2＝AD·BD；⑵找出图中所有的相似三角形.
课时作业：
1.如图，找出下列图形中的相似图形，并说明理由.
⑴AB∥CD ⑵∠ADE＝∠C ⑶①∠1＝∠2； ②∠2＝∠B； ③DE∥BC.
答：（1） （2） （3）
2、课本练习（2）.图中DG∥EH∥FI∥BC,找出图中所有的相似三角形.
(第2题)
3、判断正误
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似。( )
（1）有一个角相等的两个等腰三角形相似。( )
4、 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） 如图，DE∥BC，△ABC与△ADE；（2） 如图，∠AED＝∠C，△ABC与△ADE．
（第4题）
5、如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。求证： △ABC∽△FDE
第2题
6、如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F。在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形，并说明理由。
尖子生：
（一）、能力拓展：
例3.如图，∠1＝∠2，∠D＝∠A，证明：△ABC∽△DBE.
解
练习：1、如图，∠1＝∠2＝∠3，写出图中所有的相似三角形，并说明理由.
2、如图，沿AP折叠矩形ABCD，使顶点B落在CD上的点E处，证明：△ADE∽△ECP.
第6课时：相似三角形的判定（2）
同学们现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？
有两种方法（1）是根据定义；（2）是有两个角对应相等的两个三角形相似。
一、探索
1、观察图18.3.6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
图18.3.6
通过量角或量线段计算之后，得出△ADE∽△ABC。
分析题目条件：（1）有一个公共角∠A,(2)AD=AB, AE=AC,
结论：△ADE∽△ABC
探 索： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
2、总结另一个判断相似的方法：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
符号语言：
∵，
∴△ABC ∽△.
3、课本例题。例3 判断图18.3.7中△AEB和△FEC是否相似？
证明：
注意：自己的书写，体现思考问题的逻辑性。
练习：下列各组条件中，不能确定△ABC∽△的是 .
⑴∠A＝∠A′＝80°，∠B＝40°，∠C′＝60°；
⑵∠A＝∠A′，AB＝12，AC＝15，A′B′＝16，A′C′＝20；
⑶∠A＝∠A′，AB＝15，BC＝10，A′B′＝18，B′C′＝12.
4、探 索：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？完成下面的做一做，再讨论总结判断另一个相似的方法。
做一做：在图24．3．8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
图24.3.8
图24.3.8
我们可以发现这两个三角形相似．即：
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
5、例4 在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm， A′C′＝30 cm．试判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．（小组讨论完成）
证明:
练习：1.如图，若，则∠BAC＝∠ ，∠ADC＝∠ .
2.如图，，则∠BAD＝∠ .
第1题图： 第二题图：
课时作业：
1、依据下列各组条件,判定△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.
（1）AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A′B′=16cm, B′C′=12.8cm, A′C′=25.6cm;
（2）∠A=80°, ∠C=60°, ∠A′=80°, ∠B′=40°;
（3）∠A=40°,AB=8,AC=15, ∠A′=40°, A′B′=16, A′C′=30.
2、下列判断两个三角形相似，你认为错误的个数有（ ）
（1）全等三角形一定是相似三角形。
（2）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形。
（3）三角形的一内角平分线把它分成两个相似的三角形。
3、两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？这样的△ADE有几个？
图24.3.6
4、如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，FC＝BC，试说明：△ADE∽△ECF.
5、如图，E是四边形ABCD的对角线上一点，且，∠1＝∠2.
试说明：∠ABC＝∠AED.
尖子生：
1、如图，AD·AB＝AF·AC.试说明：△DEB∽△FEC.
2、如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？（注意:分类讨论的数学思想方法.）
3、如图，AD是△ABC的BC边上的中线，是△的边上的中线，.试说明：△ABC∽△.
变式：若图中AD、是角平分线，且，试说明△ABC∽△.
4、一个钢筋三角架三边分别为20cm，50cm，60cm.现在要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两种钢筋，要求其中的一根为边，从另一根上截下两端(允许有余料)作为另两边，看一看，有几种不同的截法？
5、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边分别为4cm，5cm，6cm.现有一根2cm长的木棒，问：如何选择剩下的两段？有几种选法？
第7课时：相似三角形的性质
一．提出问题
1、识别两个三角形相似的简便方法有哪些？
二.新课:上述两个三角形会相似，它们对应边的比就是相似比，∽，相似比为：
两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图18.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、 A′D′之间有什么关系？
△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么
由此可以得出结论： 相似三角形对应高的比等于相似比．
图18.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
图 18.3.9
与（1）的相似比＝________________，
（2）与（1）的面积比＝________________;
（3）与（1）的相似比＝________________，
（3） （3）与（1）的面积比＝________________.
从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝k2．数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系．
由此可以得出结论： 相似三角形的面积比等于________________________．
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象．’相似三角形面积的比，等于相似比的平方．’
例5 已知：△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、 A′D′分别是△ABC、 △A′B′C′对应边BC、 B′C′上的高，求证：．
证明：
思 考：图18.3.11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上
的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
可以得到的结论是_________________________________．
想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？
可以得到的结论是___________________________________．
相似三角形周长的比等于相似比．
注：(1)在应用性质时要注意由相似比求面积比要平方，这一点同学容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，同学往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．
(2)在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是,它们的面积之比不一定是,因为没有明确指出这两个三角形是否相似，因此要认真审题．
例1 已知：如图5-48，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC、AB、A′B′、A′C′．
此题一般不会感到有困难．
补充例题 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．
上述的解法是用语言叙述的，不易掌握，提供另外一种解法．
解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2．
练 习:
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于多少
2.相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为___________,对应角的角平分线的比为__________,周长的比为___________,面积的比为_____________.
3.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗 如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
课时作业：
1、∽，相似比是3：2，则其对应中线的比等于________
对应高的比等于________,对应的面积比等于__________
2、相似三角形的对应角平分线比为，则相似比是__________,周长比为______
面积比为__________
3、∽。相似比为，已知的面积为18cm,那么
的面积是___________.
3、 在自己画的网格上画出两个三角形，使得它们相似，且面积的4倍。
第8课时：相似三角形的应用（1）
一．复习
1、相似三角形有哪些性质？
2、如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC//DF，
（1）△DEF和△ABC相似吗？为什么？
（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？
二.新课.
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长，古人也懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例一．古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一个已知长度的木棒OB
比较棒子的影长与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果 OB=1，=2，AB=274，求金字塔的高度OB。
（分析：我们要知道在同一时刻太阳光是平行光线，所以这实际上与第二题问题是一样的。同学们自己独立思考，然后完成并同组讨论核对答案. 师最后讲评并板演）
例二. 我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标E，使ECBC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，就能算出两岸间的大致距离AB
(自己思考，小组讨论，到黑板上演示，在核对）
巩固练习:
1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
课时作业：
1、小张身高172cm,在某个时刻他量得自己的影长约为86cm，此刻有益建筑物的影长约为6没，那么这一建筑物的高度大致是多少？
2、 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．
3、如图所示，路边有两根电线杆相距4m，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高。
4、(方案设计问题)有一块直角三角形木板如图所示，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm。根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长。
第9课时：相似三角形的应用（2）
一．复习引入
1、第一节我们学习了利用相似三角形的知识来计算那些不能直接测量到的物体的高度和宽度，认识到数学知识在实践中是应用广泛的，那么这节课，我们接着来学相似三角形的另一个应用：等分线段。
2、请同学们画出过直线外一点C且平行于直线AB的直线CD。
二.讲解新课.
将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分．
你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．
如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情．
图1
图2
图2
如图2，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再过、、、分别画的平行线，这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等分．
你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了．（引导学生利用相似三角形的性质说明理由）
现在，你会画了吗？想想，要把线段AB分成2：3的两部分，能画吗？
巩固练习：利用刚才学的方法把线段AB七等分。
例1、如图24．3．14，已知： D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．求证： AD·AB＝AE·AC．
图24.3.14
课时作业：
1、 在离某建筑物4米处有一棵树，在某时刻，1.2 m长的竹竿直立于地面，影长为2 m,此时树的影子照射到地面，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影长为2 m，那么这棵树高约多少米？
2．如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长．
第10课时：中位线
在前面，我们曾解决过如下的问题：
如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点．
现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
猜想:从画出的图形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC．
证明:
概括:我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．
求证： AE、DF互相平分．
证明 连结DE、EF．因为
AD＝DB，BE＝EC，
所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．
同理EF∥AB．
所以四边形ADEF是平行四边形．
因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．
例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．
求证： ．
证明:
拓展:
如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的．
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．
已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．
求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．
分析 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．
图24.4.6
思考:如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为:．其中、分别为梯形的两底边的长，h为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？
练习
1． 如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB＝6，BC＝10，AC＝8．试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF的大小．
2． 如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．
3． 求证： 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．
课时作业:
1． 三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．
2． 梯形中位线长为12cm，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之差是多少？
3． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点．求证： 四边形EGFH是矩形．
4． 已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
第11课时：画相似图形
（一）位似
相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变．
下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．
现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5．我们可以按下列步骤画出图18.4.1:
1. 任取一点O；
2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；
3. 分别在射线OA、OB、OC、… 上，取点A′、B′、 C′、…，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1.5；
4. 连结A′B′、B′C′、…，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．
做一做: 用刻度尺和量角器量一量,看看上面的两个多边形是否相似
图18.4.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像
这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心.放电影时，胶片和屏幕
上的画面就形成了一种位似关系．
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．
要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图18.4.2，作直线OA、OB、OC、OD在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′:OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．
实际上，如图18.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一
个多边形放大或缩小，而且较为简便．
（二）例题分析
例1 如图18—66，请用位似的方法把下面的图形放大一倍．
思路与技巧 依据位似的概念，先确定位似中心，再依据相似形的性质，把对应线段放大一倍.
解答 如图18—67．
1．任取一点O；
2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD；
3．分别在射线OA、OB、OC、OD上，取点使；
4．连结，得到所要画的多边形．
例2 利用位似的方法把图18—68缩小一倍，要求所作的图形在原图内部．
思路与技巧 利用位似的方法作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确定位似中心，本题的位似中心必须取在原图的内部．
解答 如图18—69．
1．在五边形ABCDE内部任取一点O．
2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE．
3．分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上，取点，使．
4．连结，得到所要画的多边形
例3 如图18—70，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH∥ AD，HG∥ DC，GF∥ BC．试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由．
思路与技巧 通过观察，我们可以猜想出四边形EFGH∽ 四边形ABCD，关键是如何说明两者是相似的．三角形相似只要有两对对应角相等或对应边成比例，而要说明多边形相似，则要同时满足两个条件：既要所有的对应角相等，又要所有的对应边成比例，二者缺一不可．从EH∥ AD、HG∥ DC、GF∥ BC可得三对相似三角形，再找出角的关系，则能证明猜想．
解答 四边形EFGH∽四边形ABCD．
理由：因为EH∥AD，所以△OEH∽△OAD，所以∠ 1=∠ A，∠ 2=∠ 3，，
又因为HG∥ CD，所以△ OHG∽ △ ODC，所以∠ 4＝∠ 5，∠ 6＝∠ 7，，所以∠ 2+∠4 ＝∠ 3+∠ 5，即∠ EHG＝∠ ADC．
因为GF∥ BC，所以△ OFG∽ △ OBC，所以∠ 8＝∠ 9，∠ 10＝∠ B，，所以∠ 6十∠ 8＝∠ 7+∠ 9，即∠ HGF＝∠ DCB，所以，
所以OE＝k·OA，OF=K·OB ，所以
所以∠ 1＝∠ A，∠ EHG＝∠ ADC，∠ HGF＝∠ DCB，∠ 10＝∠ B，．
所以四边形EFGH∽ 四边形ABCD．
（三）探究:提出问题 你会确定位似图形的位似中心吗
探究准备 如图18—71，现有的位似图形(1)、(2)、(3)．
探究过程 对于图形(1)、(2)、(3)来说，要确定位似中心，关键是搞清位似中心的特征，位似中心是位似图形对应顶点的连线的交点，所以只要用直尺把位似图形中的对应顶点连线的交点找出来，即是位似中心．如图18—72所示．
探究评析 事实上，要找位似图形的位似中心，并不需要把所有对应顶点的连线都画出来，只要作出其中两条，即可得到交点，确定位似中心．
例4 请用位似的方法把图18—73放大1倍，要求位似中心在AB边上．
思路与技巧 要求位似中心在AB边上，且要放大1倍，则对应的边应为2倍，即相似比是K＝2．
解答 如图18—74．
1、 课时作业：任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形．
（1） 相似比为；（2） 相似比为2．5．
第12课时：用坐标确定位置
一、复习
1．什么是平面直角坐标系 建立了平面直角坐标系后，平面的点可以用什么来描述
平面上画两条互相垂直的数轴，就组成了平面直角坐标系；坐标平面上的点用有序实数对来描述它的位置，有序实数对就是我们常说的点的坐标。
2．画一个直角坐标系，并描出点A(1，2)，B(－3， 5)，C(4，5)，D(0，3)的位置。
3．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角；坐标系，用点的坐标来表示各点的位置。
选择的原点不同，所得到的坐标也不一样。
如以A为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为 y轴，建立直角坐标系，可以得到点A(0，0)，B(－2，－ 4)，C(2，－5)，D(4，0)。
二、新课讲解
在地图上，应用直角坐标系确定一些建筑物的位置，用坐标来表示，就能比较容易地找出目的地。
在一张地图上，画一个直角坐标系，作为定向标记，有四座农舍的坐标是(1，2)，(－3，5)，(4，5)，(0，3)，并且知道目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和第二与第四座农舍的直线的交点，请大家在课本上找出这个目的地所处的位置，你能估计出这个位置的坐标是什么吗
先确定出四座农舍的位置(即复习中(2)的A、B、C、D四个点)，过A、C作直线，过B、D作直线，两直线的交点P是目的地，确定点P的坐标，过P作x轴垂线，垂足坐标是1、2，过P作y轴垂线，垂足坐标为2.2，所以目的地P的坐标为(1.2 ，2.2)。
试一试：图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：
在方格图中，选定一个确定的点为坐标原点，横线所在直线为x轴，建立直角坐标系，如以王马村希望小学为原点，则各点位置的坐标是：希望小学的坐标(0，0)、大山镇是(0，3)、＿＿＿乡(2，5)、小学是(4，7)、爱心中学(6，7)、马村是(5，2)、映月湖为(6，1)，同学们互相对照一下，建立的直角坐标系是否相同呢 选定的坐标单位会一样吗 各点的坐标是否一样 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置，平面直角坐标系中，用一对有顺序关系实数来描述一个点的位置，在现实生活中，我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的座号用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等。
除了用坐标形式表示物体的位置之外，我们还经常用到的还有用一个方向的角度和距离来表示一个点的位置。
如小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道，“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此地3千米的地方，根据这个角度和距离，我们可以画出这个工厂与现在所处位置的图形。
以小明现在的位置为O，东西方向线是水平的，南北方向线一般画竖直方向，画出北偏东30°的方向线，在这方向线(射线帜)上，按比例尺的要求确定出“悠悠日用化工品厂”所处的位置点A。
同学们也按此方法，在同图中确定出“明天调味品厂”的位置 B，“321号水库”的位置。
三、练习 ：小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）．试借助刻度尺、量角器解决下列问题．
（1） 建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；
（2） 填空：
九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；
喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米．
2、 课时作业：
1．已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），
（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．
（第1题）
第13课时：图形的变换与坐标
一、复习
1．△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。
2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗 请画一个以直线BG为对称轴的三角形。
二、新课讲解
如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少 (画成与厚纸片相符)
1．把厚纸片的三角形向右边移动3个单位，问：
(1)这时三角形的位置发生了什么变化
向右平移3个单位。
(2)这时三角形的三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时的三个顶点坐标。
(3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处
相应顶点的横坐标都增加了3个单位，而纵坐标都不变。
2．把纸片三角形向左平移4个单位，后以同样的问题回答。
发现相应顶点横坐标有变化，减少了4个单位，纵坐标不变。
3．把纸片三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点的坐标的变化。
问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标，横坐标各有什么变化
它们的纵坐标都不变，横坐标有变化。向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位；向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位。
4．若把这个三角形沿y轴上、下平移呢
思考：△AOB关于x轴的轴对称图形△OA′B，对应顶点的坐标有什么变化呢
关于x轴对称，由于O、B在对称轴上，其坐标不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标是互为相反数，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
△AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化
得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：
关于x轴对称的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称的对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
课本91面图18．5，7，△AOB的各顶点坐标是什么 0(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD，各顶点的坐标是什么呢 O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有什么呢 它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相似比有什么关系呢
三、练习
1.线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。
(1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。
(2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。
(3)把线段AB向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。
2．试一试：请在图24．6．6的直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出这个四边形关于x轴的对称图形，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化．
课时作业：
2．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1） 沿y轴正向平移2个单位；
（2） 关于y轴对称；
（3） 以点B为位似中心，放大到2倍．
（第2题）
复习题
A组
1． 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1∶1000000，那么两地间的实际距离是____________米．
2． 已知：，则___________．
3． 如果在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AB＝5，BC＝12，AC＝13，那么△DEF的周长＝__________，面积＝__________．
4． 在右边的网格纸中描出左边图形的放大图形．
(第4题)
5． 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？
6． 所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？
7． 如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是多少？
8． 判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） 在△ABC中，∠B是直角，∠A＝30°；在△A′B′C′中，∠B′是直角，∠C′＝60°．
（2） △ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8；△A′B′C′中，A′C′＝16，B′C′＝14，A′B′＝10．
9． 如图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍位置？
（第9题）
10． 如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，试求的值，以及AC、EC的长度．
（第10题）
B组
11． 已知：（x、y、z均不为零），则__________．
12． 平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，已知AB＝5，对应边，平行四边形ABCD的面积为10，求平行四边形A′B′C′D′的面积．
13． 将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(第13题)
14． 在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请在方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形．再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标．
15． 如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？
（第14题）
16． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证： 四边形ADEF是菱形．
（第16题）
（第17题）
（第17题）
C组
17． 三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：
如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD＝1000步，D、B、H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从G看A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步．结果用里和步来表示）
18． 如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝8．线段BC所在直线以每秒2个单位的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行．记x秒时，该直线在△ABC内的部分的长度为y．试写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出这一函数的图象．
（第18题）
19． 阅读以下内容： 如图（1），在△ABC中，由DE∥BC，我们可以得到△ADE∽△ABC，
从而有 ，
即AD·AC＝AE·AB，于是
AD·（AE＋EC）＝AE·（AD＋DB），
AD·EC＝AE·DB，
从而，即△ABC中BC的平行线DE将另两条边AB、AC分割为成比例的线段．
我们已经知道，如果D是AB的中点，则E是AC的中点．
现在请你回答下列问题，并说说你的理由：
（1） 如图（2），DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，那么AE、EG、GC有什么关系？
（2） 如图（3），DE∥FG∥BC，DF＝FB，那么EG与GC有什么关系？
（第19题）
20． （1） 已知，如图甲，MN是?ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证： AA′＋CC′＝BB′＋DD′．
（2） 若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图乙），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明．
（第20题）
B
C
D
A
650
21
α
15
y
A`
D`
B`
C`
x
12
10
1200
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
A
B
C
D
F
图18.4.3
PAGE
5
第1课时：相似图形
出示大小不一样的照片两张，及大小不同的世界图片，供学生观察，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢？
图24.1.1
这些图片虽然大小不一样，但形状相同．
由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的、也有2寸的、也有更大的，这些大小不一样的相片其形状是相同的.
大小不同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，它们被印制成大小不一样的图片.
日常生活中我们会碰到很多这样形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形（similar figures）.
例1 如图所示是一些相似的图形.
图24.1.3
例2 (1)放大镜下的图像与原来的图形相似吗？
(2)你看过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
答 (1) (2).
例3 下图中的三组图形，看起来每组中的两个有点相像，但它们不是相似形.
图24.1.4
如下图所示，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，和你的伙伴交流一下，看谁的方法又快又好.
练习
1.观察你周围的一切，举出几个相似图形的例子.
2.你看到过你在水中的倒影吗？倒影中的形象与你本人相似吗？（注意分多种情况）
3.图中的三个边长不等的等边三角形是相似的图形吗？
课时作业：
1.观察你周围的事物，并举出几个相似图形的例子．
2.试着用所给的格点图把下面的图形放大．
3.观察下面的图形(a)~(g)，其中哪些是与图形(1)、(2)或(3)相似的？
第2课时：成比例线段
投影两幅大小不一样的中国地图，问：
1、这两张图形有什么联系？
它们是平面图形，它们的开关相同，大小不相同，是相似形。
2、这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。
探索：
1、试一试：由下面的格点图可知，＝_________，＝________，这样与之间有关系_______________．
2、概括：像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）．此时也称这四条线段成比例．
3、例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
解：（1）
（2）
4、练习：判断下列线段是否是成比例线段：
（1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；
（2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
5、新结论：
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么．
以上结论称为比例的基本性质．
6、思考：请试着证明这两个结论。这两个命题间有什么关系？
7、练习：（1）、如果，那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成 。
（2）、已知： 线段a、b、c满足关系式，且b＝4，那么ac＝______．
8、例2 证明：（1）如果，那么；
（2） 如果，那么．
证明（1）
（2）
9、练习：已知，那么、各等于多少？
10、想一想：根据比例的基本性质，由，你还可以得到其他哪些类似的结论？
课时作业：
1、 在比例尺为1：8000的校地图上，矩形运动场的图上尺寸是，矩形运动场的实际尺寸是多少？
2、 在比例尺不同的城市两张地图中，量得A、B、C三地的图上距离，第一张地图中量AB=3.6cm，AC=3cm，在第二张地图上量得AB=6cm，那么第二张地图中量得AC为多少？
3、早上8点和中午12点，某地一根高30cm的旗杆的影长分别为40cm和10cm，相应时刻旗杆的高与其影长的比各是多少？
4、判断下列各组线段是否是成比例线段：
（1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；
（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米；
（3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米；
（4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
5、已知：，求的值．
6、 已知：，则___________．
7、 已知：（x、y、z均不为零），则__________．
8、已知（b±d≠0），求证：．
第3课时：相似图形的性质
一、提出问题
1、 怎样的图形是相似图形？
2、 怎样的四条线段是成比例线段？
3、两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？
做一做：
图24．2．2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形．设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地图中A（A′）与B（B′）两地之间的图上距离、B（B′）与C（C′）两地之间的图上距离．
图24.2.2
AB＝______cm， BC＝______cm；
A′B′＝______cm， B′C′＝______cm．
显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了．
计算可得：
＝________，＝________．
我们能发现＝．
上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段是成比例线段．实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的．
这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？
二、自主探究、猜想
1、 动手实验，直观探索
图18.2.2中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否为比例线段的关系呢？对应角之间又有什么关系？
图18.2.2
提示：为了验证你的猜测是否正确，可以用刻度尺和量角器量量看。
再看看图18.2.3中两个相似的五边形，是否与你观察图18.2.2所得到的结果一样？
图18.2.3
2、 交流合作，大胆猜想
在独立动手的基础上，进行交流与合作，并大胆地猜想结果。
3、概括总结，确认猜想
概 括：
由此可以得到两个相似多边形的特征：
对应边成比例，对应角相等。
实际上这也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果_____________
____________________________，那么这两个多边形相似。
提醒：这就是我们判定两个多边形是否相似的判定方法。
想一想：如果两个多边形的边数不同呢？
三、范例讲解
1、例：在图18.2.4所示的相似四边形中，求未知边x、 y的长度和角度a的大小。
图18.2.4
解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以
解得 x ＝ 31.5， y ＝ 27．
a ＝ a360°－（77°＋ 83°＋ 117°）＝ 83°．
注意:利用相似多边形的性质时,必须分清对应边和对应角.
2、变式拓展，优化认知
思 考：
（1）两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？
（2）所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？所有的正方形呢？
四、练习
1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由。
(第1题)
2．如图，正方形的边长a = 10，菱形的边长b = 5，它们相似吗？请说明理由。
(第2题)
课时作业：
1．所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？
2．两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？
3．如图所示的两个矩形是否相似？为什么
（第3题）
4．在下面的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形．
5、如图，四边形ABCD与四边形A`B`C`D`是相似的，且C`D`⊥B`C`，根据图中的条件，求出未知的x,y及角α。
6、 已知矩形ABCD与矩形A`B`C`D`中，AB=16，AD=12，A`D`=6，矩形A`B`C`D`的面积为48，这两个矩形相似吗？为什么？
7、 如图矩形ABCD，AB=10cm，AD=25cm，要剪出一个矩形ABEF，并且使得矩形ABEF与原矩形ABCD相似，那么BE应剪多少？这样的矩形可剪几个？边角料还能剪成与原矩形相似的矩形吗？试一试。
8、如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比（矩形DMNC与矩形ABCD的对应边之比）
第4课时：相似三角形
一、复习： 什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？相似三角形有什么特征呢？（三组对应角相等，三组对应边成比例）
二、探索
1、充分思考，并与伙伴交流后，解决以下具体的问题。
△ABC与△A′B′C′相似，让学生写出它的对应边和对应角的关系。
2、相似三角形的记法。△ABC∽△A′B′C′ （注意：书写两个三角形相似时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。）
试问：（1）全等的两个三角形一定相似吗？
（2）相似的两个三角形会全等吗？
3、练习：（1）1．如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形．
（2）判断下面两个三角形是否相似，简单说明理由：
4、相似三角形的相似比．让学生知道相似比是有顺序关系的。
如果记＝k，那么这个比值k就表示△ABC与△A′B′C′的相似比。
①说明：相似三角形对应边的比可以反映两个三角形的大小关系，所以给它起个名字，叫相似比，也叫相似系数。相似三角形对应边的比叫相似比。
②我们一起探究相似比中需要注意的问题：ΔA B C和ΔA′B′C′的相似比为2，则ΔA′B′C′和ΔA B C的相似比是多少？说明两个相似三角形的相似比具有顺序性。一般来说，ΔA B C和ΔA′B′C′的相似比为K1 ，ΔA′B′C′和ΔA B C的相似比为K2 ，则K1= 1 K2 ，且K1 ≠K2 ，当且仅当它们全等时，才有K1= K2=1
5、观察并思考：在图24.3.2中，DE∥BC，则ΔADE与ΔABC相似吗？能否加以证明 (根据定义）
6、让自己尝试把这一命题归纳成定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或者两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
7、练习：（1）已知：D、E分别是ΔA B C的边AB、AC边上的中点，问△ADE和ΔABC相似吗？为什么？如果相似，请求出ΔABC∽△ADE的相似比。
（2）如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？
分析：其相似三角形的对应边是哪些边？相似比是多少？一个三角形较大？要计算出它的周长还需求什么？根据什么来求？
三、课堂练习：
1、 如图(1)，DE//BC,用刻度尺量一量线段AB,AC,BC,AD,AE,DE的长，判断△ABC与△ ADE相似吗？如果相似，写出它们的对应边的比例式。
2、 如图(2)，已知△ABC∽△ACD，
（1） 指出它们的对应角，对应边，写出对应边的比例式。
（2） 若AC=6,AD=4,BD=5.4,你还能算出哪些线段的长？请算一算。
（3）、 右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案．
（第3题）
课时作业：
1、如图，DE∥BC，且AD＝1，AE＝1.5，DB＝2，EC＝3，DE＝2，BC＝6，试说明△ADE∽△ABC，并指出它们的相似比。
2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠A＝60°，且AC＝2，CD＝，CB＝，AD＝1，BD＝3.试找出图中各对相似的三角形，并指出它们的相似比。
3、如图，点D、E分别是AB、AC上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△ADE∽△ABC，求AE的长。
第5课时：相似三角形的判定（1）
一、复习引入：
1、两个矩形一定会相似吗？为什么？
2、如何判断两个三角形是否相似？
3、如图（准备好教具：两个相似三角形）问是否存在识别两个三
角形相似的简便方法？本节课就是探索这方面的识别两个三角形
相似的方法。
二、探索
1、观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）让学生充分思考，并与伙伴交流后，它们相似吗？
2、探 索：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？
3、任意画两个三角形（可以画在下面的格点图上），使其三对角对应相等．用刻度尺量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？
图24.1.5
（如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．）
4、小组讨论。师总结：得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
5、思 考：如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？举例说明。（你所用的两块不一样的直角三角尺）
6、例1 如图24．3．4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．
证明:
7、练习：
（1）、△ABC和△中，∠ A＝40°，∠B＝80°，∠＝80°，∠＝60°.
则△ABC与△相似吗？为什么
（2）、找出图中所有的相似三角形.
8、例2 如图18.3.5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明:△ADE∽△EFC.
（注意：推理必须步步有据）
解:
9、练习：
（1）.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线交AC于D，
证明：△ABC∽△BDC.
（2）.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.⑴试说明：CD2＝AD·BD；⑵找出图中所有的相似三角形.
课时作业：
1.如图，找出下列图形中的相似图形，并说明理由.
⑴AB∥CD ⑵∠ADE＝∠C ⑶①∠1＝∠2； ②∠2＝∠B； ③DE∥BC.
答：（1） （2） （3）
2、课本练习（2）.图中DG∥EH∥FI∥BC,找出图中所有的相似三角形.
(第2题)
3、判断正误
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似。( )
（1）有一个角相等的两个等腰三角形相似。( )
4、 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） 如图，DE∥BC，△ABC与△ADE；（2） 如图，∠AED＝∠C，△ABC与△ADE．
（第4题）
5、如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。求证： △ABC∽△FDE
第2题
6、如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F。在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形，并说明理由。
尖子生：
（一）、能力拓展：
例3.如图，∠1＝∠2，∠D＝∠A，证明：△ABC∽△DBE.
解
练习：1、如图，∠1＝∠2＝∠3，写出图中所有的相似三角形，并说明理由.
2、如图，沿AP折叠矩形ABCD，使顶点B落在CD上的点E处，证明：△ADE∽△ECP.
第6课时：相似三角形的判定（2）
同学们现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？
有两种方法（1）是根据定义；（2）是有两个角对应相等的两个三角形相似。
一、探索
1、观察图18.3.6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
图18.3.6
通过量角或量线段计算之后，得出△ADE∽△ABC。
分析题目条件：（1）有一个公共角∠A,(2)AD=AB, AE=AC,
结论：△ADE∽△ABC
探 索： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
2、总结另一个判断相似的方法：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
符号语言：
∵，
∴△ABC ∽△.
3、课本例题。例3 判断图18.3.7中△AEB和△FEC是否相似？
证明：
注意：自己的书写，体现思考问题的逻辑性。
练习：下列各组条件中，不能确定△ABC∽△的是 .
⑴∠A＝∠A′＝80°，∠B＝40°，∠C′＝60°；
⑵∠A＝∠A′，AB＝12，AC＝15，A′B′＝16，A′C′＝20；
⑶∠A＝∠A′，AB＝15，BC＝10，A′B′＝18，B′C′＝12.
4、探 索：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？完成下面的做一做，再讨论总结判断另一个相似的方法。
做一做：在图24．3．8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
图24.3.8
图24.3.8
我们可以发现这两个三角形相似．即：
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
5、例4 在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm， A′C′＝30 cm．试判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．（小组讨论完成）
证明:
练习：1.如图，若，则∠BAC＝∠ ，∠ADC＝∠ .
2.如图，，则∠BAD＝∠ .
第1题图： 第二题图：
课时作业：
1、依据下列各组条件,判定△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.
（1）AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A′B′=16cm, B′C′=12.8cm, A′C′=25.6cm;
（2）∠A=80°, ∠C=60°, ∠A′=80°, ∠B′=40°;
（3）∠A=40°,AB=8,AC=15, ∠A′=40°, A′B′=16, A′C′=30.
2、下列判断两个三角形相似，你认为错误的个数有（ ）
（1）全等三角形一定是相似三角形。
（2）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形。
（3）三角形的一内角平分线把它分成两个相似的三角形。
3、两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？这样的△ADE有几个？
图24.3.6
4、如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，FC＝BC，试说明：△ADE∽△ECF.
5、如图，E是四边形ABCD的对角线上一点，且，∠1＝∠2.
试说明：∠ABC＝∠AED.
尖子生：
1、如图，AD·AB＝AF·AC.试说明：△DEB∽△FEC.
2、如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？（注意:分类讨论的数学思想方法.）
3、如图，AD是△ABC的BC边上的中线，是△的边上的中线，.试说明：△ABC∽△.
变式：若图中AD、是角平分线，且，试说明△ABC∽△.
4、一个钢筋三角架三边分别为20cm，50cm，60cm.现在要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两种钢筋，要求其中的一根为边，从另一根上截下两端(允许有余料)作为另两边，看一看，有几种不同的截法？
5、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边分别为4cm，5cm，6cm.现有一根2cm长的木棒，问：如何选择剩下的两段？有几种选法？
第7课时：相似三角形的性质
一．提出问题
1、识别两个三角形相似的简便方法有哪些？
二.新课:上述两个三角形会相似，它们对应边的比就是相似比，∽，相似比为：
两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图18.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、 A′D′之间有什么关系？
△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么
由此可以得出结论： 相似三角形对应高的比等于相似比．
图18.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
图 18.3.9
与（1）的相似比＝________________，
（2）与（1）的面积比＝________________;
（3）与（1）的相似比＝________________，
（3） （3）与（1）的面积比＝________________.
从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝k2．数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系．
由此可以得出结论： 相似三角形的面积比等于________________________．
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象．’相似三角形面积的比，等于相似比的平方．’
例5 已知：△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、 A′D′分别是△ABC、 △A′B′C′对应边BC、 B′C′上的高，求证：．
证明：
思 考：图18.3.11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上
的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
可以得到的结论是_________________________________．
想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？
可以得到的结论是___________________________________．
相似三角形周长的比等于相似比．
注：(1)在应用性质时要注意由相似比求面积比要平方，这一点同学容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，同学往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．
(2)在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是,它们的面积之比不一定是,因为没有明确指出这两个三角形是否相似，因此要认真审题．
例1 已知：如图5-48，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC、AB、A′B′、A′C′．
此题一般不会感到有困难．
补充例题 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．
上述的解法是用语言叙述的，不易掌握，提供另外一种解法．
解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2．
练 习:
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于多少
2.相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为___________,对应角的角平分线的比为__________,周长的比为___________,面积的比为_____________.
3.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗 如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
课时作业：
1、∽，相似比是3：2，则其对应中线的比等于________
对应高的比等于________,对应的面积比等于__________
2、相似三角形的对应角平分线比为，则相似比是__________,周长比为______
面积比为__________
3、∽。相似比为，已知的面积为18cm,那么
的面积是___________.
3、 在自己画的网格上画出两个三角形，使得它们相似，且面积的4倍。
第8课时：相似三角形的应用（1）
一．复习
1、相似三角形有哪些性质？
2、如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC//DF，
（1）△DEF和△ABC相似吗？为什么？
（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？
二.新课.
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长，古人也懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例一．古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一个已知长度的木棒OB
比较棒子的影长与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果 OB=1，=2，AB=274，求金字塔的高度OB。
（分析：我们要知道在同一时刻太阳光是平行光线，所以这实际上与第二题问题是一样的。同学们自己独立思考，然后完成并同组讨论核对答案. 师最后讲评并板演）
例二. 我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标E，使ECBC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，就能算出两岸间的大致距离AB
(自己思考，小组讨论，到黑板上演示，在核对）
巩固练习:
1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
课时作业：
1、小张身高172cm,在某个时刻他量得自己的影长约为86cm，此刻有益建筑物的影长约为6没，那么这一建筑物的高度大致是多少？
2、 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．
3、如图所示，路边有两根电线杆相距4m，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高。
4、(方案设计问题)有一块直角三角形木板如图所示，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm。根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长。
第9课时：相似三角形的应用（2）
一．复习引入
1、第一节我们学习了利用相似三角形的知识来计算那些不能直接测量到的物体的高度和宽度，认识到数学知识在实践中是应用广泛的，那么这节课，我们接着来学相似三角形的另一个应用：等分线段。
2、请同学们画出过直线外一点C且平行于直线AB的直线CD。
二.讲解新课.
将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分．
你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．
如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情．
图1
图2
图2
如图2，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再过、、、分别画的平行线，这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等分．
你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了．（引导学生利用相似三角形的性质说明理由）
现在，你会画了吗？想想，要把线段AB分成2：3的两部分，能画吗？
巩固练习：利用刚才学的方法把线段AB七等分。
例1、如图24．3．14，已知： D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．求证： AD·AB＝AE·AC．
图24.3.14
课时作业：
1、 在离某建筑物4米处有一棵树，在某时刻，1.2 m长的竹竿直立于地面，影长为2 m,此时树的影子照射到地面，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影长为2 m，那么这棵树高约多少米？
2．如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的3倍，求DE的长．
第10课时：中位线
在前面，我们曾解决过如下的问题：
如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点．
现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
猜想:从画出的图形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC．
证明:
概括:我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．
求证： AE、DF互相平分．
证明 连结DE、EF．因为
AD＝DB，BE＝EC，
所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．
同理EF∥AB．
所以四边形ADEF是平行四边形．
因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．
例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．
求证： ．
证明:
拓展:
如果在图24．4．4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的．
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．
已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．
求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．
分析 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．
图24.4.6
思考:如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为:．其中、分别为梯形的两底边的长，h为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？
练习
1． 如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB＝6，BC＝10，AC＝8．试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF的大小．
2． 如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′，AB＝BC＝CD＝DE，A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，AA′＝0．5m，EE′＝0．8m．求BB′、CC′、DD′的长．
3． 求证： 顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形．
课时作业:
1． 三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．
2． 梯形中位线长为12cm，上、下底的比是1∶3，那么梯形下底与上底之差是多少？
3． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点．求证： 四边形EGFH是矩形．
4． 已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
第11课时：画相似图形
（一）位似
相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变．
下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法．
现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5．我们可以按下列步骤画出图18.4.1:
1. 任取一点O；
2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；
3. 分别在射线OA、OB、OC、… 上，取点A′、B′、 C′、…，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1.5；
4. 连结A′B′、B′C′、…，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．
做一做: 用刻度尺和量角器量一量,看看上面的两个多边形是否相似
图18.4.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像
这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心.放电影时，胶片和屏幕
上的画面就形成了一种位似关系．
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．
要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图18.4.2，作直线OA、OB、OC、OD在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′:OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．
实际上，如图18.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一
个多边形放大或缩小，而且较为简便．
（二）例题分析
例1 如图18—66，请用位似的方法把下面的图形放大一倍．
思路与技巧 依据位似的概念，先确定位似中心，再依据相似形的性质，把对应线段放大一倍.
解答 如图18—67．
1．任取一点O；
2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD；
3．分别在射线OA、OB、OC、OD上，取点使；
4．连结，得到所要画的多边形．
例2 利用位似的方法把图18—68缩小一倍，要求所作的图形在原图内部．
思路与技巧 利用位似的方法作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确定位似中心，本题的位似中心必须取在原图的内部．
解答 如图18—69．
1．在五边形ABCDE内部任取一点O．
2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE．
3．分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上，取点，使．
4．连结，得到所要画的多边形
例3 如图18—70，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH∥ AD，HG∥ DC，GF∥ BC．试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由．
思路与技巧 通过观察，我们可以猜想出四边形EFGH∽ 四边形ABCD，关键是如何说明两者是相似的．三角形相似只要有两对对应角相等或对应边成比例，而要说明多边形相似，则要同时满足两个条件：既要所有的对应角相等，又要所有的对应边成比例，二者缺一不可．从EH∥ AD、HG∥ DC、GF∥ BC可得三对相似三角形，再找出角的关系，则能证明猜想．
解答 四边形EFGH∽四边形ABCD．
理由：因为EH∥AD，所以△OEH∽△OAD，所以∠ 1=∠ A，∠ 2=∠ 3，，
又因为HG∥ CD，所以△ OHG∽ △ ODC，所以∠ 4＝∠ 5，∠ 6＝∠ 7，，所以∠ 2+∠4 ＝∠ 3+∠ 5，即∠ EHG＝∠ ADC．
因为GF∥ BC，所以△ OFG∽ △ OBC，所以∠ 8＝∠ 9，∠ 10＝∠ B，，所以∠ 6十∠ 8＝∠ 7+∠ 9，即∠ HGF＝∠ DCB，所以，
所以OE＝k·OA，OF=K·OB ，所以
所以∠ 1＝∠ A，∠ EHG＝∠ ADC，∠ HGF＝∠ DCB，∠ 10＝∠ B，．
所以四边形EFGH∽ 四边形ABCD．
（三）探究:提出问题 你会确定位似图形的位似中心吗
探究准备 如图18—71，现有的位似图形(1)、(2)、(3)．
探究过程 对于图形(1)、(2)、(3)来说，要确定位似中心，关键是搞清位似中心的特征，位似中心是位似图形对应顶点的连线的交点，所以只要用直尺把位似图形中的对应顶点连线的交点找出来，即是位似中心．如图18—72所示．
探究评析 事实上，要找位似图形的位似中心，并不需要把所有对应顶点的连线都画出来，只要作出其中两条，即可得到交点，确定位似中心．
例4 请用位似的方法把图18—73放大1倍，要求位似中心在AB边上．
思路与技巧 要求位似中心在AB边上，且要放大1倍，则对应的边应为2倍，即相似比是K＝2．
解答 如图18—74．
1、 课时作业：任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形．
（1） 相似比为；（2） 相似比为2．5．
第12课时：用坐标确定位置
一、复习
1．什么是平面直角坐标系 建立了平面直角坐标系后，平面的点可以用什么来描述
平面上画两条互相垂直的数轴，就组成了平面直角坐标系；坐标平面上的点用有序实数对来描述它的位置，有序实数对就是我们常说的点的坐标。
2．画一个直角坐标系，并描出点A(1，2)，B(－3， 5)，C(4，5)，D(0，3)的位置。
3．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角；坐标系，用点的坐标来表示各点的位置。
选择的原点不同，所得到的坐标也不一样。
如以A为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为 y轴，建立直角坐标系，可以得到点A(0，0)，B(－2，－ 4)，C(2，－5)，D(4，0)。
二、新课讲解
在地图上，应用直角坐标系确定一些建筑物的位置，用坐标来表示，就能比较容易地找出目的地。
在一张地图上，画一个直角坐标系，作为定向标记，有四座农舍的坐标是(1，2)，(－3，5)，(4，5)，(0，3)，并且知道目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和第二与第四座农舍的直线的交点，请大家在课本上找出这个目的地所处的位置，你能估计出这个位置的坐标是什么吗
先确定出四座农舍的位置(即复习中(2)的A、B、C、D四个点)，过A、C作直线，过B、D作直线，两直线的交点P是目的地，确定点P的坐标，过P作x轴垂线，垂足坐标是1、2，过P作y轴垂线，垂足坐标为2.2，所以目的地P的坐标为(1.2 ，2.2)。
试一试：图24．6．2是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：
在方格图中，选定一个确定的点为坐标原点，横线所在直线为x轴，建立直角坐标系，如以王马村希望小学为原点，则各点位置的坐标是：希望小学的坐标(0，0)、大山镇是(0，3)、＿＿＿乡(2，5)、小学是(4，7)、爱心中学(6，7)、马村是(5，2)、映月湖为(6，1)，同学们互相对照一下，建立的直角坐标系是否相同呢 选定的坐标单位会一样吗 各点的坐标是否一样 有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置，平面直角坐标系中，用一对有顺序关系实数来描述一个点的位置，在现实生活中，我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的座号用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等。
除了用坐标形式表示物体的位置之外，我们还经常用到的还有用一个方向的角度和距离来表示一个点的位置。
如小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道，“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此地3千米的地方，根据这个角度和距离，我们可以画出这个工厂与现在所处位置的图形。
以小明现在的位置为O，东西方向线是水平的，南北方向线一般画竖直方向，画出北偏东30°的方向线，在这方向线(射线帜)上，按比例尺的要求确定出“悠悠日用化工品厂”所处的位置点A。
同学们也按此方法，在同图中确定出“明天调味品厂”的位置 B，“321号水库”的位置。
三、练习 ：小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）．试借助刻度尺、量角器解决下列问题．
（1） 建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；
（2） 填空：
九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；
喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米．
2、 课时作业：
1．已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），
（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．
（第1题）
第13课时：图形的变换与坐标
一、复习
1．△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。
2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗 请画一个以直线BG为对称轴的三角形。
二、新课讲解
如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少 (画成与厚纸片相符)
1．把厚纸片的三角形向右边移动3个单位，问：
(1)这时三角形的位置发生了什么变化
向右平移3个单位。
(2)这时三角形的三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时的三个顶点坐标。
(3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处
相应顶点的横坐标都增加了3个单位，而纵坐标都不变。
2．把纸片三角形向左平移4个单位，后以同样的问题回答。
发现相应顶点横坐标有变化，减少了4个单位，纵坐标不变。
3．把纸片三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点的坐标的变化。
问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标，横坐标各有什么变化
它们的纵坐标都不变，横坐标有变化。向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位；向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位。
4．若把这个三角形沿y轴上、下平移呢
思考：△AOB关于x轴的轴对称图形△OA′B，对应顶点的坐标有什么变化呢
关于x轴对称，由于O、B在对称轴上，其坐标不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标是互为相反数，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
△AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化
得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：
关于x轴对称的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称的对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
课本91面图18．5，7，△AOB的各顶点坐标是什么 0(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD，各顶点的坐标是什么呢 O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有什么呢 它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相似比有什么关系呢
三、练习
1.线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。
(1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。
(2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。
(3)把线段AB向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。
2．试一试：请在图24．6．6的直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出这个四边形关于x轴的对称图形，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化．
课时作业：
2．将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1） 沿y轴正向平移2个单位；
（2） 关于y轴对称；
（3） 以点B为位似中心，放大到2倍．
（第2题）
复习题
A组
1． 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1∶1000000，那么两地间的实际距离是____________米．
2． 已知：，则___________．
3． 如果在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AB＝5，BC＝12，AC＝13，那么△DEF的周长＝__________，面积＝__________．
4． 在右边的网格纸中描出左边图形的放大图形．
(第4题)
5． 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？
6． 所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？
7． 如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是多少？
8． 判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程．
（1） 在△ABC中，∠B是直角，∠A＝30°；在△A′B′C′中，∠B′是直角，∠C′＝60°．
（2） △ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8；△A′B′C′中，A′C′＝16，B′C′＝14，A′B′＝10．
9． 如图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍位置？
（第9题）
10． 如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，试求的值，以及AC、EC的长度．
（第10题）
B组
11． 已知：（x、y、z均不为零），则__________．
12． 平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，已知AB＝5，对应边，平行四边形ABCD的面积为10，求平行四边形A′B′C′D′的面积．
13． 将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(第13题)
14． 在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请在方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形．再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标．
15． 如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？
（第14题）
16． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证： 四边形ADEF是菱形．
（第16题）
（第17题）
（第17题）
C组
17． 三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：
如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD＝1000步，D、B、H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从G看A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步．结果用里和步来表示）
18． 如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝8．线段BC所在直线以每秒2个单位的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行．记x秒时，该直线在△ABC内的部分的长度为y．试写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出这一函数的图象．
（第18题）
19． 阅读以下内容： 如图（1），在△ABC中，由DE∥BC，我们可以得到△ADE∽△ABC，
从而有 ，
即AD·AC＝AE·AB，于是
AD·（AE＋EC）＝AE·（AD＋DB），
AD·EC＝AE·DB，
从而，即△ABC中BC的平行线DE将另两条边AB、AC分割为成比例的线段．
我们已经知道，如果D是AB的中点，则E是AC的中点．
现在请你回答下列问题，并说说你的理由：
（1） 如图（2），DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，那么AE、EG、GC有什么关系？
（2） 如图（3），DE∥FG∥BC，DF＝FB，那么EG与GC有什么关系？
（第19题）
20． （1） 已知，如图甲，MN是?ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证： AA′＋CC′＝BB′＋DD′．
（2） 若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图乙），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明．
（第20题）
B
C
D
A
650
21
α
15
y
A`
D`
B`
C`
x
12
10
1200
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
A
B
C
D
F
图18.4.3
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