初中数学人教版八年级下册 第十八章平行四边形综合检测 含解析
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册 第十八章平行四边形综合检测 含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 448.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-24 11:20:37 | ||
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文档简介
第十八章平行四边形综合检测
综合考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
2．下列命题不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．正方形的对角线相等且互相垂直
3．如图，在菱形中，，，则（ ）
A． B．4 C．8 D．
4．如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，若，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图①，正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿 的路径运动，到点C停止．过点P作 与边AD（或边CD）交于点 的长度 与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动3秒时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下列不属于菱形性质的是（ ）．
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等
9．如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是（ ）
A．∠D的度数为α
B．a∶b＝CD∶BC
C．若α＝60°，则平行四边形ABCD的周长为
D．若α＝60°，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
阅卷人 二、填空题
得分
11．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为8cm，则平行四边形ABCD的周长为 cm
12．平行四边形中，对角线、交于点O，点E是的中点．若，则的长为 ．
13．已知正方形 的边长为4，E为 边的延长线上一点， ，连接 ，与 交于点F，连接 并延长与线段 交于点G，则 的长为 .
14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为 ．
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．如图，在 ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
17．过 对角线AC、BD的交点O作一条直线，分别交AB和DC于E、F两点，交CB和AD的延长线于G、H两点。
求证：OG＝OH。
18．如图，四边形 和四边形 都是平行四边形.
求证：四边形 是平行四边形.
19．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的直角三角形纸片和，将固定不动，绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点．如图，当点落在边上时，连结，求的长．
（1）数学思考：
请你解答老师提出的问题．
（2）深入探究：
老师将图2中的绕点C继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题
①“善思小组”提出问题：如图3，当点落在的延长线上时，连结，求的长；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当点落在的延长线上时，连结，求的长．
20．等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接CE，取CE中点G，连接BG，DG，探索BG，DG的关系．
21． 如图，在 中，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动点不与点、、重合在点的运动过程中，过点作所在直线的垂线，交边或边于点，以为一边作矩形，且，与在的同侧设点的运动时间为秒．
（1）的值为 ．
（2）直接写出线段的长用含的代数式表示
（3）当的面积等于时，求的值．
（4）连接，当将矩形分成的两部分的面积比为：时，直接写出的值．
阅卷人 四、实践探究题
得分
22．综合探究
（一）新知学习：
人教版数学九年级上教材第119页《探究四点共圆的条件》发现，圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边新内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知的半径为2，是的直径，P是上任意一点，过点P分别作的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径（如图1），在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，的长是否为定值，若是，请并求出其定值；若不是，请说明理由．
（2）若直径与相交成角，当点P（不与B、C重合）从B点运动到C的过程中（如图2），证明的长为定值．
（3）试问当直径与相交成多少度角时，的长取最大值，并写出其最大值．
23．
（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：．
（2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接．
①[思考探究]如图2，当时，求的长．
②[拓展延伸]如图3，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=110°，
∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°-∠DOE=20°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°；
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分得OC=OD，由邻补角得∠DOE=70°，由等边对等角得∠ODC=∠OCD，进而根据三角形的内角和定理可得∠ODC=55°，∠ODE=90°-∠DOE=20°，最后根据角的和差，由∠CDE=∠ODC-∠ODE即可算出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角相等，所以A选项的说法不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项的说法符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项的说法不符合题意；
D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以D选项的说法不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定及正方形的性质逐项判断即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】四边形ABCD是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先利用，求出，再结合菱形的性质可得。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：
∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，
故答案为：C．
【分析】连接OP，根据矩形的性质可得OP=AB，再结合圆的半径OP的长不变可得答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：
A、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，B不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定结合题意即可求解。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点G处，点B落在点H处，
，，
，，
，
，
，
由折叠的性质得，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据矩形以及折叠的性质可得∠C=∠D=∠EGH=90°，AD∥BC，由直角三角形的两锐角互余得∠1+∠CGH=90°，又∠CGH+∠DGE=90°，则∠DGE=∠1=50°，∠DEG=40°，∠AEG=140°，由折叠的性质得∠AEF=∠GEF=70°，由平行线的性质可得∠2+∠AEF=180°，据此计算.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由图②知，运动2秒时， ， 的值最大，
此时，点P与点B重合，则 ，
∵四边形 为正方形，
则 ，
∴ ，
由题可得：点P运动3秒时，则P点运动了 6cm，
此时，点P在BC上，如图：
∴ cm，
∴点P为BC的中点，
∵PQ∥BD，
∴点Q为DC的中点，
∴
．
故答案为：B．
【分析】由图②知，运动2秒时， ，距离最长，再根据运动速度乘以时间求得路程，可得点P的位置，根据线段的和差，可得CP的长，最后由 即可求得答案．
8．【答案】D
【解析】【解答】
A：菱形的两组对边分别平行，描述正确，不选
B：菱形的两组对边分别相等，描述正确，不选
C：菱形的每条对角线平分一组内角，描述正确，不选
D：矩形的两条对角线相等，不属于菱形的性质
故答案为：D.
【分析】通过对比准确记忆平行四边形、矩形、菱形等图形的性质。
9．【答案】C
【解析】【解答】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= AB，
∵AD= AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，
∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：C．
【分析】利用△ABE是等腰直角三角形，AD= AB可证得△ABE≌△AHD，进而可证△BEH≌△HDF得出结论.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=AB，AB2=BE2+AE2，
即AB2=（AB）2+a2，
解得：AB=a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=AD，AD2=DF2+AF2，
即AD2=（AD）2+b2，
解得：AD=b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=a，AD=b，
∴BE=a，DF=b，
∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2，
S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2，
∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF，
=ab-a2-b2，
故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.根据垂直定义和四边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；
B. 由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；
C.由A知∠B=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=a，AD=b，
根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=（a+b），故正确；
D.由C知AB=a，AD=b，从而可得BE=a，DF=b，根据三角形面积 公式分别求得
S△ABE=a2，S△ADF=b2，由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=ab-a2-b2，故错误.
11．【答案】16
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为8cm，
即CD+DE+EC=8cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×8=16cm.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为8cm，即可求得平行四边形ABCD的周长.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴OC＝OA，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB＝2=6．
故答案为：6．
【分析】根据平行四边形的性质可得点Ｏ为ＡＣ的中点，再结合点Ｅ为ＢＣ的中点，利用三角形中位线的性质可得AB＝2OE=6。
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点C作CP∥BG，交DE于点P.
∵BC=CE=4，
∴CP是△BEG的中位线.
∴P为EG的中点.
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS）.
∴CF=DF.
又∵CP∥FG，
∴FG是△DCP的中位线.
∴G为DP的中点.
∵CD=CE=4，
∴DE= .
∴ .
∵AD=AB=4，
∴BD= ，
连接BD，
易知∠BDC=∠EDC=45°，
∴∠BDE=90°.
又∵BD=
∴ .
故答案为： .
【分析】利用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF，进而得出FG是△DCP的中位线，得出 ，再利用勾股定理得出BG的长即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF= x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE= ，AB=2，
∴BE=1，
∴ME= ，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴ ，
∴ ，
解得：x=
∴AF=
故答案为： ．
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，根据矩形的性质得出∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NF= x，AN=4﹣x，根据中点定义得出AM=BM=1，根据勾股定理得出BE=1，ME=，然后判断出△AME∽△FNA，根据相似三角形对应边成比例得出AM ∶FN=ME∶AN，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，根据勾股定理得出AF的长。
15．【答案】13
【解析】【解答】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
在 中，由勾股定理得
故答案为：13．
【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可．
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，所以∠ABE=∠CDF，用角角边可证得△ABE≌△CDF，则AE=CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，所以由平行四边形的性质可得AF=CE．
17．【答案】解： 四边形ABCD是平行四边形， OB＝OD。 。在 与 中 。
【解析】【分析】 在平行四边形ABCD中OD=OB，AD∥BC，从而由两直线平行内错角相等可得∠H=∠G，从而可由AAS证得△ODH≌△OBG，从而可得OH=OG.
18．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
【解析】【分析】首先根据平行四边形的对边平行且相等得出 ， ，然后结合 ， ，得出 ， ，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论.
19．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，．
由旋转的性质，得．
∴．
在中，根据勾股定理，得；
（2）解：①．
如图，当点落在的延长线上时，过点作于点H，交于点G，
四边形是矩形，
，，，，
，
四边形是矩形，
，，
由旋转的性质，得，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
②如解图，连结，过点作于点，过点作于点，则．
由旋转的性质，得，，．
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
解得，．
∴．
在中，根据勾股定理，得．
【解析】【分析】（1）根据矩形和旋转的性质，得，根据勾股定理可得；
（2）①当点落在的延长线上时，过点作于点，交于点，得四边形是矩形，由旋转的性质，得，，求出
，，根据勾股定理可得的长；
②连接，过点作于点，过点作于点，证明，再证明，得，，，根据勾股定理可得的长．
20．【答案】解：BG＝DG且BG⊥GD，理由如下：
取AC的中点为M，AE的中点为N，连接BM，MG，GN，DN，GD与AE相交于点P．
∵M是AC的中点，G是CD的中点．
∴MG是三角形的中位线．
∴MG∥AE，MG＝AE．
∴∠CMG＝∠CAE．
∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线，AB＝BC．
∴BM＝AC．∠BMA＝90°．
同理可得GN∥AC，NG＝AC，∠DNA＝90°，∠ENG＝∠CAE，DN＝AE．
∴BM＝NG，MG＝DN，∠CMG＝∠ENG．
∴∠AMG＝∠ANG．
∴∠BMG＝∠DNG．
∴△BMG≌△GND（SAS）．
∴BG＝DG，∠MGB＝∠GDN
∵MG∥AE．
∴∠MGD＝∠GPE．
∴∠MGB+∠BGD＝∠PND+∠GDN．
∴∠BGD＝∠AND＝90°，即BG⊥GD．
∴BG＝DG且BG⊥GD．
【解析】【分析】关系：BG＝DG且BG⊥GD，理由如下：取AC的中点为M，AE的中点为N，连接BM，MG，GN，DN，GD与AE相交于点P；结合已知由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”可得MG∥AE，MG＝AE，GN∥AC，NG＝AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AC，DN=AE，于是BM＝NG，MG＝DN，∠CMG＝∠ENG，用边角边可证△BMG≌△GND，由全等三角形的性质可得BG＝DG，∠MGB＝∠GDN，结合平行线的性质易得∠BGD＝∠AND＝90°，再由垂线的定义可得BG⊥DG.
21．【答案】（1）
（2）解：．
（3）解：四边形是平行四边形，
，，
当点在边上时，，则，如图，
，
，
由题意得，
解得：；
当点在边上时，，如图，，
，
，
，即，
，
，
由题意得，
解得：；
综上所述，当的面积等于时，的值为或．
（4）解：的值为或．
22．【答案】（1）如图1，
，即，
，
四边形是矩形，
，
的长为定值，该定值为2；
（2）设四边形的外接圆为，连接并延长，
交于点，连接，如图3，
则有，，
在中，，
，
，
是定值．
（3）由（2）得．
当直径与相交成角时，，取得最大值2．
【解析】【分析】（1）由题意得四边形是矩形，根据矩形的性质得，即可得解；
（2）设四边形的外接圆为，连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理可得，由圆内接四边形对角互补得，在中运用三角函数可得：，即可得解；
（3）由（2）中已得结论可知，当时，最大，即与相交成角时， 的长取最大值， 即可得解.
23．【答案】（1）证明∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①取中点F，连接，
∵，
∴，，
∵E为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴
解得，（舍去），
∴．
②取中点F，连接，过点E作，垂足为G，设，
∵为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，．
∴，
解得，（舍去）．
∴．
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠ACD=∠ABC，由图形可得∠A=∠A，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）①取AD的中点F，连接EF，易得AC、AB的值，根据中位线的性质可得EF=AC，EF∥AC，根据平行线的性质可得∠DEF=∠ACD，结合已知条件可得∠DBE=∠DEF，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△FED∽△FBE，由相似三角形的性质可得EF2=FD·FB，设AF=FD=x，则FB=4-x，代入求解即可；
②取AD的中点F，连接EF，过点E作EG⊥AB，垂足为G，设AF=FD=x，根据中位线的性质可得EF∥AC，由平行线的性质可得∠EFB=∠A=30°，进而推出∠DEB=∠EFB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△BEF，由相似三角形的性质可得BE2=BD·FB，易得EG、FG、BG，由勾股定理可得BE2，据此求解.
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综合考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
2．下列命题不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．正方形的对角线相等且互相垂直
3．如图，在菱形中，，，则（ ）
A． B．4 C．8 D．
4．如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，若，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图①，正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿 的路径运动，到点C停止．过点P作 与边AD（或边CD）交于点 的长度 与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动3秒时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下列不属于菱形性质的是（ ）．
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等
9．如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是（ ）
A．∠D的度数为α
B．a∶b＝CD∶BC
C．若α＝60°，则平行四边形ABCD的周长为
D．若α＝60°，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
阅卷人 二、填空题
得分
11．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为8cm，则平行四边形ABCD的周长为 cm
12．平行四边形中，对角线、交于点O，点E是的中点．若，则的长为 ．
13．已知正方形 的边长为4，E为 边的延长线上一点， ，连接 ，与 交于点F，连接 并延长与线段 交于点G，则 的长为 .
14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为 ．
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．如图，在 ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
17．过 对角线AC、BD的交点O作一条直线，分别交AB和DC于E、F两点，交CB和AD的延长线于G、H两点。
求证：OG＝OH。
18．如图，四边形 和四边形 都是平行四边形.
求证：四边形 是平行四边形.
19．综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的直角三角形纸片和，将固定不动，绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点．如图，当点落在边上时，连结，求的长．
（1）数学思考：
请你解答老师提出的问题．
（2）深入探究：
老师将图2中的绕点C继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题
①“善思小组”提出问题：如图3，当点落在的延长线上时，连结，求的长；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当点落在的延长线上时，连结，求的长．
20．等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接CE，取CE中点G，连接BG，DG，探索BG，DG的关系．
21． 如图，在 中，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动点不与点、、重合在点的运动过程中，过点作所在直线的垂线，交边或边于点，以为一边作矩形，且，与在的同侧设点的运动时间为秒．
（1）的值为 ．
（2）直接写出线段的长用含的代数式表示
（3）当的面积等于时，求的值．
（4）连接，当将矩形分成的两部分的面积比为：时，直接写出的值．
阅卷人 四、实践探究题
得分
22．综合探究
（一）新知学习：
人教版数学九年级上教材第119页《探究四点共圆的条件》发现，圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边新内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知的半径为2，是的直径，P是上任意一点，过点P分别作的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径（如图1），在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，的长是否为定值，若是，请并求出其定值；若不是，请说明理由．
（2）若直径与相交成角，当点P（不与B、C重合）从B点运动到C的过程中（如图2），证明的长为定值．
（3）试问当直径与相交成多少度角时，的长取最大值，并写出其最大值．
23．
（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：．
（2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接．
①[思考探究]如图2，当时，求的长．
②[拓展延伸]如图3，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=110°，
∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°-∠DOE=20°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°；
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分得OC=OD，由邻补角得∠DOE=70°，由等边对等角得∠ODC=∠OCD，进而根据三角形的内角和定理可得∠ODC=55°，∠ODE=90°-∠DOE=20°，最后根据角的和差，由∠CDE=∠ODC-∠ODE即可算出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角相等，所以A选项的说法不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项的说法符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项的说法不符合题意；
D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以D选项的说法不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定及正方形的性质逐项判断即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】四边形ABCD是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先利用，求出，再结合菱形的性质可得。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：
∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，
故答案为：C．
【分析】连接OP，根据矩形的性质可得OP=AB，再结合圆的半径OP的长不变可得答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：
A、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，B不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定结合题意即可求解。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点G处，点B落在点H处，
，，
，，
，
，
，
由折叠的性质得，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据矩形以及折叠的性质可得∠C=∠D=∠EGH=90°，AD∥BC，由直角三角形的两锐角互余得∠1+∠CGH=90°，又∠CGH+∠DGE=90°，则∠DGE=∠1=50°，∠DEG=40°，∠AEG=140°，由折叠的性质得∠AEF=∠GEF=70°，由平行线的性质可得∠2+∠AEF=180°，据此计算.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由图②知，运动2秒时， ， 的值最大，
此时，点P与点B重合，则 ，
∵四边形 为正方形，
则 ，
∴ ，
由题可得：点P运动3秒时，则P点运动了 6cm，
此时，点P在BC上，如图：
∴ cm，
∴点P为BC的中点，
∵PQ∥BD，
∴点Q为DC的中点，
∴
．
故答案为：B．
【分析】由图②知，运动2秒时， ，距离最长，再根据运动速度乘以时间求得路程，可得点P的位置，根据线段的和差，可得CP的长，最后由 即可求得答案．
8．【答案】D
【解析】【解答】
A：菱形的两组对边分别平行，描述正确，不选
B：菱形的两组对边分别相等，描述正确，不选
C：菱形的每条对角线平分一组内角，描述正确，不选
D：矩形的两条对角线相等，不属于菱形的性质
故答案为：D.
【分析】通过对比准确记忆平行四边形、矩形、菱形等图形的性质。
9．【答案】C
【解析】【解答】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= AB，
∵AD= AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，
∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：C．
【分析】利用△ABE是等腰直角三角形，AD= AB可证得△ABE≌△AHD，进而可证△BEH≌△HDF得出结论.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=AB，AB2=BE2+AE2，
即AB2=（AB）2+a2，
解得：AB=a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=AD，AD2=DF2+AF2，
即AD2=（AD）2+b2，
解得：AD=b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=a，AD=b，
∴BE=a，DF=b，
∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2，
S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2，
∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF，
=ab-a2-b2，
故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.根据垂直定义和四边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；
B. 由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；
C.由A知∠B=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=a，AD=b，
根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=（a+b），故正确；
D.由C知AB=a，AD=b，从而可得BE=a，DF=b，根据三角形面积 公式分别求得
S△ABE=a2，S△ADF=b2，由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=ab-a2-b2，故错误.
11．【答案】16
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为8cm，
即CD+DE+EC=8cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×8=16cm.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为8cm，即可求得平行四边形ABCD的周长.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴OC＝OA，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB＝2=6．
故答案为：6．
【分析】根据平行四边形的性质可得点Ｏ为ＡＣ的中点，再结合点Ｅ为ＢＣ的中点，利用三角形中位线的性质可得AB＝2OE=6。
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点C作CP∥BG，交DE于点P.
∵BC=CE=4，
∴CP是△BEG的中位线.
∴P为EG的中点.
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS）.
∴CF=DF.
又∵CP∥FG，
∴FG是△DCP的中位线.
∴G为DP的中点.
∵CD=CE=4，
∴DE= .
∴ .
∵AD=AB=4，
∴BD= ，
连接BD，
易知∠BDC=∠EDC=45°，
∴∠BDE=90°.
又∵BD=
∴ .
故答案为： .
【分析】利用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF，进而得出FG是△DCP的中位线，得出 ，再利用勾股定理得出BG的长即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF= x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE= ，AB=2，
∴BE=1，
∴ME= ，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴ ，
∴ ，
解得：x=
∴AF=
故答案为： ．
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，根据矩形的性质得出∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NF= x，AN=4﹣x，根据中点定义得出AM=BM=1，根据勾股定理得出BE=1，ME=，然后判断出△AME∽△FNA，根据相似三角形对应边成比例得出AM ∶FN=ME∶AN，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，根据勾股定理得出AF的长。
15．【答案】13
【解析】【解答】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
在 中，由勾股定理得
故答案为：13．
【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可．
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，所以∠ABE=∠CDF，用角角边可证得△ABE≌△CDF，则AE=CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，所以由平行四边形的性质可得AF=CE．
17．【答案】解： 四边形ABCD是平行四边形， OB＝OD。 。在 与 中 。
【解析】【分析】 在平行四边形ABCD中OD=OB，AD∥BC，从而由两直线平行内错角相等可得∠H=∠G，从而可由AAS证得△ODH≌△OBG，从而可得OH=OG.
18．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
【解析】【分析】首先根据平行四边形的对边平行且相等得出 ， ，然后结合 ， ，得出 ， ，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论.
19．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，．
由旋转的性质，得．
∴．
在中，根据勾股定理，得；
（2）解：①．
如图，当点落在的延长线上时，过点作于点H，交于点G，
四边形是矩形，
，，，，
，
四边形是矩形，
，，
由旋转的性质，得，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
②如解图，连结，过点作于点，过点作于点，则．
由旋转的性质，得，，．
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
解得，．
∴．
在中，根据勾股定理，得．
【解析】【分析】（1）根据矩形和旋转的性质，得，根据勾股定理可得；
（2）①当点落在的延长线上时，过点作于点，交于点，得四边形是矩形，由旋转的性质，得，，求出
，，根据勾股定理可得的长；
②连接，过点作于点，过点作于点，证明，再证明，得，，，根据勾股定理可得的长．
20．【答案】解：BG＝DG且BG⊥GD，理由如下：
取AC的中点为M，AE的中点为N，连接BM，MG，GN，DN，GD与AE相交于点P．
∵M是AC的中点，G是CD的中点．
∴MG是三角形的中位线．
∴MG∥AE，MG＝AE．
∴∠CMG＝∠CAE．
∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线，AB＝BC．
∴BM＝AC．∠BMA＝90°．
同理可得GN∥AC，NG＝AC，∠DNA＝90°，∠ENG＝∠CAE，DN＝AE．
∴BM＝NG，MG＝DN，∠CMG＝∠ENG．
∴∠AMG＝∠ANG．
∴∠BMG＝∠DNG．
∴△BMG≌△GND（SAS）．
∴BG＝DG，∠MGB＝∠GDN
∵MG∥AE．
∴∠MGD＝∠GPE．
∴∠MGB+∠BGD＝∠PND+∠GDN．
∴∠BGD＝∠AND＝90°，即BG⊥GD．
∴BG＝DG且BG⊥GD．
【解析】【分析】关系：BG＝DG且BG⊥GD，理由如下：取AC的中点为M，AE的中点为N，连接BM，MG，GN，DN，GD与AE相交于点P；结合已知由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”可得MG∥AE，MG＝AE，GN∥AC，NG＝AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AC，DN=AE，于是BM＝NG，MG＝DN，∠CMG＝∠ENG，用边角边可证△BMG≌△GND，由全等三角形的性质可得BG＝DG，∠MGB＝∠GDN，结合平行线的性质易得∠BGD＝∠AND＝90°，再由垂线的定义可得BG⊥DG.
21．【答案】（1）
（2）解：．
（3）解：四边形是平行四边形，
，，
当点在边上时，，则，如图，
，
，
由题意得，
解得：；
当点在边上时，，如图，，
，
，
，即，
，
，
由题意得，
解得：；
综上所述，当的面积等于时，的值为或．
（4）解：的值为或．
22．【答案】（1）如图1，
，即，
，
四边形是矩形，
，
的长为定值，该定值为2；
（2）设四边形的外接圆为，连接并延长，
交于点，连接，如图3，
则有，，
在中，，
，
，
是定值．
（3）由（2）得．
当直径与相交成角时，，取得最大值2．
【解析】【分析】（1）由题意得四边形是矩形，根据矩形的性质得，即可得解；
（2）设四边形的外接圆为，连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理可得，由圆内接四边形对角互补得，在中运用三角函数可得：，即可得解；
（3）由（2）中已得结论可知，当时，最大，即与相交成角时， 的长取最大值， 即可得解.
23．【答案】（1）证明∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①取中点F，连接，
∵，
∴，，
∵E为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴
解得，（舍去），
∴．
②取中点F，连接，过点E作，垂足为G，设，
∵为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，．
∴，
解得，（舍去）．
∴．
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠ACD=∠ABC，由图形可得∠A=∠A，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）①取AD的中点F，连接EF，易得AC、AB的值，根据中位线的性质可得EF=AC，EF∥AC，根据平行线的性质可得∠DEF=∠ACD，结合已知条件可得∠DBE=∠DEF，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△FED∽△FBE，由相似三角形的性质可得EF2=FD·FB，设AF=FD=x，则FB=4-x，代入求解即可；
②取AD的中点F，连接EF，过点E作EG⊥AB，垂足为G，设AF=FD=x，根据中位线的性质可得EF∥AC，由平行线的性质可得∠EFB=∠A=30°，进而推出∠DEB=∠EFB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△BEF，由相似三角形的性质可得BE2=BD·FB，易得EG、FG、BG，由勾股定理可得BE2，据此求解.
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