人教版八年级下册17.1　勾股定理 课后训练题(含答案)

第十七章　勾股定理
17.1　勾股定理
一、选择题
1．下列说法正确的是 ( )
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2，则BC等于 ( )
A．1 B． C． D．
3．如图，一个圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 ( )
A．6 cm B．12 cm C．13 cm D．16 cm
4．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 ( )
A． B．3 C． D．5
5．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：如图，首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上距原点2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB长为半径作弧，与数轴右侧的交点记为点P，则点P表示的实数在 ( )
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．如图是一个圆柱饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是 ( )
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
7．如图，直线l同侧有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为 ( )
A．4 B．6 C．16 D．55
8．(2022·百色)活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形)，则满足已知条件的三角形的第三边长为 ( )
A．2 B．2－3
C．2或 D．2或2－2
9.如图，车库宽AB的长为3.2米，一辆宽为1.7米（即MN＝1.7米）的汽车正直停入车库（MN∥AB），车门长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门GH开至最大的宽度FG的长为（　　）
A.0.3米 B.米
C.米 D.米
二、填空题
10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 ____________________．
11．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 ___ 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
12．如图，在长方形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE＝2，CE＝3，则长方形的对角线AC的长为 _____．
13．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是 ________.
14．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 __________.
三、解答题
15．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．
16．如图，一架3 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.5 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？(结果保留小数点后两位)
17．(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB，对角线AC⊥CD，求CD的长；
(2)如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，求AB的长．
18．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将△BCD沿BD所在直线翻折，使点C落在点F处，BF交AD于点E，求AE的长．
19．图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A7A8＝1.细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
()2＋1＝2，S1＝；()2＋1＝3，S2＝；()2＋1＝4，S3＝……
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
(2)求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，则DF＝EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)，
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
1
参考答案
一、选择题
1．下列说法正确的是 ( D )
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2，则BC等于 ( B )
A．1 B． C． D．
3．如图，一个圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 ( C )
A．6 cm B．12 cm C．13 cm D．16 cm
4．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 ( B )
A． B．3 C． D．5
5．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：如图，首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上距原点2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB长为半径作弧，与数轴右侧的交点记为点P，则点P表示的实数在 ( C )
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．如图是一个圆柱饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是 ( A )
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
7．如图，直线l同侧有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为 ( C )
A．4 B．6 C．16 D．55
8．(2022·百色)活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形)，则满足已知条件的三角形的第三边长为 ( C )
A．2 B．2－3
C．2或 D．2或2－2
9.如图，车库宽AB的长为3.2米，一辆宽为1.7米（即MN＝1.7米）的汽车正直停入车库（MN∥AB），车门长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门GH开至最大的宽度FG的长为（　B　）
A.0.3米 B.米
C.米 D.米
二、填空题
10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 ____________________．
【答案】(x－6.8)2＋x2＝102
11．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 ___ 步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
【答案】4
12．如图，在长方形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE＝2，CE＝3，则长方形的对角线AC的长为 _____．
【答案】
13．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是 ________.
【答案】49cm2
14．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 __________.
【答案】或
三、解答题
15．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．
解：(1)a＝　(2)设a＝3x，c＝5x，∵a2＋b2＝c2，∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，∴a＝21，c＝35
16．如图，一架3 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.5 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？(结果保留小数点后两位)
解：∵在Rt△AOB中，OB2＝AB2－AO2＝32－2.52＝2.75，∴OB＝≈1.658(m)，又∵在Rt△OCD中，OD2＝CD2－CO2＝32－22＝5，∴OD＝≈2.236(m)，∴BD＝OD－OB≈2.236－1.658≈0.58(m)，则梯子底端B外移约0.58 m
17．(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB，对角线AC⊥CD，求CD的长；
解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝5，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝12
(2)如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，求AB的长．
解：延长AD，BC交于点E，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝180°－∠ADC＝90°.在Rt△CDE中，∵CD＝4，∴CE＝2CD＝8，∴BE＝BC＋CE＝6＋8＝14，设AB＝x，则有AE＝2x，根据勾股定理得x2＋142＝(2x)2，解得x＝，则AB＝
18．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将△BCD沿BD所在直线翻折，使点C落在点F处，BF交AD于点E，求AE的长．
解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，
AD＝BC＝4.设AE＝x，则DE＝AD－AE＝4－x.在Rt△ABE
中，根据勾股定理，得：BE2＝AE2＋AB2＝x2＋32＝x2＋9，
由AD∥BC得：∠EDB＝∠CBD，由折叠可知：∠FBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴BE2＝DE2，即x2＋9＝(4－x)2，解得：x＝，即AE的长是
19．图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A7A8＝1.细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
()2＋1＝2，S1＝；()2＋1＝3，S2＝；()2＋1＝4，S3＝……
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
(2)求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．
解：(1)由题意，得OAn＝，Sn＝，OA10＝
(2)S12＋S22＋S32＋…＋S102＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＝＝
20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，则DF＝EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)，
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，交DE的
延长线于点F，则BF＝b－a，∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，∴a2＋b2＝c2