初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 课后训练题 含答案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 课后训练题 含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 222.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-24 12:09:11 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题
1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 ( )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
2．下列说法正确的是 ( )
A．真命题的逆命题是真命题 B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题 D．定理一定有逆定理
3．下列各定理中有逆定理的是 ( )
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同角的余角相等
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
4．已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积是 ( )
A．30 B． C．65 D．60
5．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法中，不能推出△ABC是直角三角形的是 ( )
A．a2－c2＝b2 B．(a＋b)2＝c2＋2ab
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A＝2∠B＝2∠C
7．下列各组数据中，是勾股数的是 ( )
A．1，， B．9，12，15 C．7，14，15 D．，，1
8．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
二、填空题
9．命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是 _____________________．
10．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：_______________．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，则∠A＋∠C＝ ______.
12．一个三角形三边的长分别是15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是 _________．
13．已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为 _______________________.
三、解答题
14．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，判断下列三角形是否是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2，c＝；(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；(4)a＝5，b＝2，c＝1.
15．如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．
16．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
17．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．
18．如图，在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足＝，求证：△ABC是直角三角形；
(2)若a＝m－n，b＝2，c＝m＋n，(其中m，n都是正整数，且m＞n)，求证：△ABC是直角三角形．
19．如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°.
(1)求证：CE＝BD；
(2)若AC＝2，CE＝4，DC＝2，求∠ACD的度数；
(3)在(2)的条件下，求DE的长．
1
参考答案
一、选择题
1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 ( B )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
2．下列说法正确的是 ( C )
A．真命题的逆命题是真命题 B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题 D．定理一定有逆定理
3．下列各定理中有逆定理的是 ( A )
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同角的余角相等
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
4．已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积是 ( A )
A．30 B． C．65 D．60
5．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC是 ( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法中，不能推出△ABC是直角三角形的是 ( C )
A．a2－c2＝b2 B．(a＋b)2＝c2＋2ab
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A＝2∠B＝2∠C
7．下列各组数据中，是勾股数的是 ( B )
A．1，， B．9，12，15 C．7，14，15 D．，，1
8．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为 ( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
二、填空题
9．命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是 _____________________．
【答案】有两个锐角互余的三角形是直角三角形
10．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：_______________．
【答案】13，84，85
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，则∠A＋∠C＝ ______.
【答案】180°
12．一个三角形三边的长分别是15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是 _________．
【答案】12cm
13．已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为 _______________________.
【答案】等腰直角三角形
三、解答题
14．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，判断下列三角形是否是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2，c＝；(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；(4)a＝5，b＝2，c＝1.
解：(1)是，∠B是直角 (2)不是 (3)是，∠C是直角 (4)是，∠A是直角
15．如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB2＝AC2＋BC2，
∴AB＝15，∵AD＝8，BD＝17，∴DB2＝AD2＋AB2，
∴∠DAB＝90°，∴S△ABD＝AB·AD＝60
16．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∴AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°
17．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．
证明：设FC＝2a，则DC＝9a，DF＝7a.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝9a，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵BE＝2CE，∴BE＝6a，EC＝3a.在Rt△ECF中，EF2＝EC2＋FC2＝(3a)2＋(2a)2＝13a2.在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝(9a)2＋(7a)2＝130a2.在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝(9a)2＋(6a)2＝117a2.∵13a2＋117a2＝130a2，∴EF2＋AE2＝AF2.∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形
18．如图，在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足＝，求证：△ABC是直角三角形；
(2)若a＝m－n，b＝2，c＝m＋n，(其中m，n都是正整数，且m＞n)，求证：△ABC是直角三角形．
证明：(1)原等式可变形为＝，∴(a＋c)2－b2＝2ac，即a2＋2ac＋c2－b2＝2ac，∴a2＋c2＝b2，即△ABC是以∠B为直角的直角三角形 (2)∵a2＝(m－n)2，b2＝(2)2＝4mn，c2＝(m＋n)2，∴(m－n)2＋4mn＝(m＋n)2，即a2＋b2＝c2.∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形
19．如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°.
(1)求证：CE＝BD；
(2)若AC＝2，CE＝4，DC＝2，求∠ACD的度数；
(3)在(2)的条件下，求DE的长．
解：(1)∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，∴△CAE≌△BAD(SAS)，∴CE＝BD
(2)连接BC.∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC是等腰三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，BC＝＝＝2，∵DC＝2，BD＝CE＝4，∴BC2＋DC2＝(2)2＋(2)2＝16，BD2＝42＝16，∴BC2＋DC2＝BD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝45°＋90°＝135° (3)由(2)得，△BCD是等腰直三角形，∴∠CBD＝45°，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝45°＋45°＝90°，∵AB＝AC＝2，BD＝CE＝4，∴在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∴AE＝AD＝2，∵∠DAE＝90°，∴DE＝＝＝2
17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题
1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 ( )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
2．下列说法正确的是 ( )
A．真命题的逆命题是真命题 B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题 D．定理一定有逆定理
3．下列各定理中有逆定理的是 ( )
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同角的余角相等
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
4．已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积是 ( )
A．30 B． C．65 D．60
5．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法中，不能推出△ABC是直角三角形的是 ( )
A．a2－c2＝b2 B．(a＋b)2＝c2＋2ab
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A＝2∠B＝2∠C
7．下列各组数据中，是勾股数的是 ( )
A．1，， B．9，12，15 C．7，14，15 D．，，1
8．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
二、填空题
9．命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是 _____________________．
10．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：_______________．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，则∠A＋∠C＝ ______.
12．一个三角形三边的长分别是15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是 _________．
13．已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为 _______________________.
三、解答题
14．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，判断下列三角形是否是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2，c＝；(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；(4)a＝5，b＝2，c＝1.
15．如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．
16．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
17．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．
18．如图，在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足＝，求证：△ABC是直角三角形；
(2)若a＝m－n，b＝2，c＝m＋n，(其中m，n都是正整数，且m＞n)，求证：△ABC是直角三角形．
19．如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°.
(1)求证：CE＝BD；
(2)若AC＝2，CE＝4，DC＝2，求∠ACD的度数；
(3)在(2)的条件下，求DE的长．
1
参考答案
一、选择题
1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 ( B )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
2．下列说法正确的是 ( C )
A．真命题的逆命题是真命题 B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题 D．定理一定有逆定理
3．下列各定理中有逆定理的是 ( A )
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同角的余角相等
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
4．已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积是 ( A )
A．30 B． C．65 D．60
5．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC是 ( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法中，不能推出△ABC是直角三角形的是 ( C )
A．a2－c2＝b2 B．(a＋b)2＝c2＋2ab
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A＝2∠B＝2∠C
7．下列各组数据中，是勾股数的是 ( B )
A．1，， B．9，12，15 C．7，14，15 D．，，1
8．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为 ( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
二、填空题
9．命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是 _____________________．
【答案】有两个锐角互余的三角形是直角三角形
10．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：_______________．
【答案】13，84，85
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，则∠A＋∠C＝ ______.
【答案】180°
12．一个三角形三边的长分别是15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是 _________．
【答案】12cm
13．已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为 _______________________.
【答案】等腰直角三角形
三、解答题
14．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，判断下列三角形是否是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝，b＝2，c＝；(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝2，b＝，c＝；(4)a＝5，b＝2，c＝1.
解：(1)是，∠B是直角 (2)不是 (3)是，∠C是直角 (4)是，∠A是直角
15．如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB2＝AC2＋BC2，
∴AB＝15，∵AD＝8，BD＝17，∴DB2＝AD2＋AB2，
∴∠DAB＝90°，∴S△ABD＝AB·AD＝60
16．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∴AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°
17．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．
证明：设FC＝2a，则DC＝9a，DF＝7a.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝9a，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵BE＝2CE，∴BE＝6a，EC＝3a.在Rt△ECF中，EF2＝EC2＋FC2＝(3a)2＋(2a)2＝13a2.在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝(9a)2＋(7a)2＝130a2.在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝(9a)2＋(6a)2＝117a2.∵13a2＋117a2＝130a2，∴EF2＋AE2＝AF2.∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形
18．如图，在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足＝，求证：△ABC是直角三角形；
(2)若a＝m－n，b＝2，c＝m＋n，(其中m，n都是正整数，且m＞n)，求证：△ABC是直角三角形．
证明：(1)原等式可变形为＝，∴(a＋c)2－b2＝2ac，即a2＋2ac＋c2－b2＝2ac，∴a2＋c2＝b2，即△ABC是以∠B为直角的直角三角形 (2)∵a2＝(m－n)2，b2＝(2)2＝4mn，c2＝(m＋n)2，∴(m－n)2＋4mn＝(m＋n)2，即a2＋b2＝c2.∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形
19．如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°.
(1)求证：CE＝BD；
(2)若AC＝2，CE＝4，DC＝2，求∠ACD的度数；
(3)在(2)的条件下，求DE的长．
解：(1)∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，∴△CAE≌△BAD(SAS)，∴CE＝BD
(2)连接BC.∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC是等腰三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，BC＝＝＝2，∵DC＝2，BD＝CE＝4，∴BC2＋DC2＝(2)2＋(2)2＝16，BD2＝42＝16，∴BC2＋DC2＝BD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝45°＋90°＝135° (3)由(2)得，△BCD是等腰直三角形，∴∠CBD＝45°，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝45°＋45°＝90°，∵AB＝AC＝2，BD＝CE＝4，∴在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∴AE＝AD＝2，∵∠DAE＝90°，∴DE＝＝＝2