小学数学人教版五年级上《用字母解决问题》表格式教案

用字母解决问题
教学目标：
1. 经历自主解决问题的过程，能用自己的方法将具体情境中的关系一般化。
2. 在解决问题的过程中，体会用字母表示和推理所得到的结果具有一般性。
3. 感受“用字母”是数学表达与思考的重要形式，初步形成符号意识和推理意识。
教学重点：
在具体情境中让学生认识到“用字母”是进行数学思考与解决问题的重要策略，并鼓励学生尝试进行字母运算。
教学难点：
进一步体会字母表示及字母运算得到的结论具有一般性。
教学过程：
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 活动一：提出挑战性问题，自主规划解决策略 上课伊始，教师呈现问题情境：有一块正方形绿地(出示图①)，沿着绿地周围走一圈，走过了多少米？ 师：知道了哪些信息？条件和问题有什么关联？ 继续出示问题情境：现在在它的四周建一圈宽1米的环形小路(出示图②)，如果沿着小路的外圈走一圈，比沿它的里圈走一圈多走了多少米？ 师：又增加了哪些信息？怎么解决新的问题？ 师：有要提醒大家注意的问题吗？ 师：好的，请大家独立解答问题。 师：请和大家说说你解决问题的方法和结果。 再次出示新的问题情境：还有一块正方形绿地，边长多少不知道(教师出示示意图，见图③)，在它的四周修一条宽1米的环形小路。现在，沿着小路的外圈走一圈比沿它的里圈走一圈多了多少米？外圈比里圈长多少米？ 师：知道了哪些信息？遇到了什么困难？ 教师提出挑战性问题：边长不知道是多少米，没具体的数据，就没办法了吗？怎么办？ 生：已知这块草地是正方形的，边长是5米，问题是求沿草地走一圈，走过多少米，这其实就是求正方形的周长。正方形周长=边长×4。 生1：新增的信息是在正方形草地的四周建了一圈宽1米的小路，新增的问题是“沿着小路的外圈走一圈，比沿它的里圈走一圈多走了多少米”。 生2：“沿着小路的外圈走一圈”其实走的路线就是大正方形的周长，求“比沿它的里圈走一圈多走了多少米”，用大正方形的周长减去小正方形的周长算出的就是多走的米数。 生：大正方形的边长不是（5+1）米，而应该是（5+1+1）米。 生：先算出内圈正方形的周长，5×4=20（米）， 再算出外圈大正方形的周长，（5+1+1)×4=28(米），最后算周长差，28－20=8（米） 答：沿着小路的外圈走一圈，比沿它的里圈走一圈多走8米。 由此引发学生思考，不少学生露出了困惑的神情。 生1：第3题的图跟第2题的图一样，其中的一个条件也是相同的“在它的四周修一条宽1米的环形小路”，要求的问题都是“沿着小路的外圈走一圈比沿它的里圈走一圈多了多少米”，后面的问题“外圈比里圈长多少米”，和前面的问题只是问法不同，解决方法应该是相同的。但是这幅图上没有给出两个正方形的边长，怎么求它们的周长呢？ 生2：不知道正方形的边长就没办法求它的周长，怎么比较大正方形周长比小正方形周长长多少呢？ 同桌讨论后，学生反馈如下。 生1：我想把里圈边长设成不同的数来试试。 生2：我是这样想的，可以借助图比较它们的边长，看一条边长差多少，然后再看一共差多少。 生3：能不能把内圈的边长设为字母？ 先让学生用具体的数进行运算，这是学生思维的起点，然后教师提出边长未知的情境，设置认知冲突，鼓励学生暴露困惑并尝试解决问题。学生关联以前解决问题的经验，采用举例子、找规律的方法(设数)解决问题；学生可以联想到用字母表示未知数的知识(使用字母)；学生还可以想到借助图形来思考。在这里，教师有意放慢课堂节奏，鼓励学生在思考与倾听中，感受到这个问题可以用多种方法解决。
环节二 探究新知 活动二：经历“一般化”的过程，尝试“用字母”解决问题 教师鼓励学生自主解决问题。 师：有的同学想将里圈边长设成不同的数，有的同学想将里圈边长设为字母，请按你的设想解题。 教师组织学生进行交流。 先呈现“设数解决问题”的作品。 师：和大家说说你的解题方法。 出示学生2的作品。 师：(适时追问)还有没有同学设别的数？结果都是8米吗？ 师：(沿着刚才学生的想法继续追问)能不能只设一个，就能表示所有情况呢 教师再次放慢节奏，给所有学生继续思考的机会，鼓励学生尝试使用字母来解决这个问题。 师：请你尝试用字母来解决这个问题。 教师组织学生再次交流。 展示两个学生的方法(见下图)，鼓励学生观察并寻找它们之间的相同与不同之处。 师：请你仔细观察分析，看这两种设字母解决问题的方法有什么相同与不同的地方。 针对这种情况，教师引领学生展开讨论。 师：外圈周长到底是4x+8，还是x +8呢？咱们先请这两个同学说说自已的想法和遇到的困难。 师：真了不起！大家想到了这个问题的关键。关键在于怎么表示外圈周长并用乘法分配律去化简结果。咱们再静静地思考一下。(问生1)你能调整你的结果吗 师：那接下来该如何求差呢 学生独立完成。 生1：我先把未知的里圈边长设为2米，求出里圈周长是8米，外圈边长就是用里圈边长加上两个1米，就是4米，周长就是16米，外圈周长减里圈周长为16-8=8(米)，就是说外圈比里圈长8米。请问大家有什么问题吗 生2：我觉得如果你只设一个数，有可能结果碰巧是多8米。你可以试着多设几个数。我把内圈边长设为三个不同的数，发现这三个结果都是差8米，所以说我的答案是外圈比里圈长8米。我觉得我的方法更严谨。 生：设了6、9、.....结果都是8米。 生3：我觉得还有好多数没有试呢，万一设一个特别大或者特别小的数，结果不一样呢？就设了这么几个数，不能说明所有情况。 生4：我觉得他说得对，我们继续这样设也设不完，也不可能把所有数全都验证一遍。 生5：我认为有一种更简洁的方法，就是可以用字母表示内圈的边长，设它为x米，那么周长就是4x米。内圈边长为x米，外圈边长为(x+2) 米。 学生自主尝试。 学生观察、讨论。 生：两种方法相同的地方是都把内圈边长设为x，内圈周长表示为4x，而对外圈周长的表示出现了分歧，第一种方法外圈周长表示为x+8，第二种方法外圈周长表示为4x+8。 生1(上面左图作者)：我的想法就是x +2×4= x +8，然后就不会算了。 生2：(指着黑板上教师之前画的示意图)你这个x +8不是外圈的周长，而是内圈边长再加上多出来的。 生3(上面右图作者)：因为x +2是外圈的边长，所以要把x +2看成一个整体，要加上一个括号后再乘4。大家学过乘法分配律，要把4依次和x与2相乘，这里的(x +2) ×4,也就等于4乘x加4乘2，所以最后算出来等于4x+8。 生1：可以，内圈周长是4x，外圈边长比内圈边长长2，那么外圈周长应是4x+ 2×4=4x +8。 生1：因为外圈周长是4x+8，里圈是4x， 4x+8－4x=8，由此我们可以得出结果等于8，与刚才几个同学用设数法所得答案是相同的。 生2：我想再说一说为什么4x+8－4x=8。大家看，4x前面有一个隐形的加号，所以说加4x与减4x直接抵消掉了，所以最后就等于8。请问大家有什么意见吗 生：没有。 设数是学生以前常用的一种方法，也是很多学生初遇这一问题时首先想到的方法，因此先设计从这种方法开始讨论。学生在交流中，从设一个数到设三个数，再到想到设更多的数，总也设不完，学生的思维从具体逐步走向抽象，产生了“一般化”的需要。 学生在感知到“设数”的局限性并想到字母后，要设计所有学生都参与的学习活动，鼓励每个人都尝试用字母来解决问题。在使用字母解决问题的过程中，部分学生还会遇到字母参与运算时不会应用乘法分配律的小难关，此处放慢脚步，辩析交流就很有必要。学生通过交流突破难点，并认识到：字母和数一样，也可以根据运算定律去整理、化简。在这个环节，希望学生感悟：一是运用字母可以解决这个问题；二是字母可以像数一样去计算、推理。
环节三 应用巩固 活动三：交流“用图形解决问题”的方法，进行验证 教师继续组织学生交流，请利用图解决问题的学生谈一谈想法。 师：请说出用图形解决问题的方法。 出示学生作品1。 出示学生作品2。 出示学生作品3。 师：这种方法也很了不起，大家还能借助图来解决，沟通了数和形的关系。 活动四：回顾与反思，体会“用字母”是解决问题的重要方法 教师引领学生回顾反思。 师：今天我们解决了一个数学问题，但是在这个过程中也遇到了困难。没有具体数据怎么办？在整个研究过程中，给你启发最大的是什么 师：就像同学们说的，不管这个正方形的边长是多少，里圈和外圈的周长都相差8米。在解决问题的过程中，用字母不仅能表示你们设的所有的数，而且它像一个数一样能参与运算，这是一个很重要的解决问题的方法。图的方法也给大家带来了启发。 生1：我们可以直接把里圈边长和外圈边长重叠的部分抵消掉，这上、下两段是相等的，那多出来的就是这些地方，每段是1米，这样的有8段，就是8米。 生2：我们也可以这样看，因为外圈每一条边都比里圈多了2米，一共有4条边，所以是2×4=8（米）。 生3：通过图我们也能看到刚才用字母表示的时候两个4x抵消的部分在哪里，多出的8米在哪里。 生1：在求外圈比里圈长多少米的时候，我开始觉得不知道边长具体是多少，这个问题是解决不了的，但通过设数、画图、用字母表示等一系列活动，通过我们的思考与讨论，我发现其实也是可以解决的。 生2：在用字母表示数的过程中，我觉得字母也可以像数一样去运算，帮助我们解决问题。 生3：在设数的时候，肯定设不完所有的数，不全面，但字母可以代表任何数。只要用字母表示边长，进行计算后等于8，就可以表示所有情况下结果都等于8，从而更好地说明了这个问题。 生4：我也是这么想的，因为用字母表示时计算的结果是8米，也就说明不论边长是多少，外圈和里圈的周长差都是8米，与边长到底是多少没有关系。 生5：我觉得当一道题信息不太完整的时候，可以自己假设这些信息已经知道了，比如设数，但是设字母我觉得能更全面地解决问题。 生6：画图的方法我开始没有想到，以后遇到问题可以画画图。 用图解决这个问题，不仅沟通了数与形的关系，也利用图对用字母表示里圈边长并且推理所得出的结果进行了验证。学生对“用字母解决问题具有一般性”有了进一步的感悟，对这一策略有了进一步的认可。 在解决挑战性问题后，对解决问题的过程和方法进行反思是十分必要的。通过反思和交流，帮助学生感受到在众多解决问题的方法中，用字母表示是重要的方法之一，初步体会了符号的使用是进行数学表达和数学思考的重要形式。在这个学习过程中，学生的代数思维也在不断生长。
环节四 课堂小结 这堂课你有什么收获？ 生１：在解决问题缺少数据时，可以用设数或设字母的方法解决问题。 生２：在设字母解决问题时，我发现字母也可以像数一样进行运算，也就是字母式可以简化，简化后的字母式表达的数量关系更简洁，更便于我们解决一类问题。 生３：我在用画图的方法解释字母表达式的过程中发现，字母关系式的概括性很强，它更能全面的反映数量关系。 学生在应用字母表达式解决问题的过程中有了更多的认识，总结是帮助学生更系统的整理相关内容。
环节五 拓展延伸 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头羊吃20天，可供15头羊吃10天。供25头羊可吃几天 提醒：可以设字母解决问题。 设1头羊1天的吃草量为x， 10头羊吃20天共吃了：x×10×20=200x份， 15头羊吃10天共吃了：x×15×10=150x份， 第一种吃法比第二种吃法多吃了：200x－150x=50x份草， 这50x份草是牧场的草20-10=10（天）生长出来的， 所以每天生长的草量为50x÷10=5x,那么原有草量为: 200x-5x×20=100x， 供25头羊吃，若有5头羊去吃每天生长的草，剩下20头羊需要100x÷ (20×x)=5(天)可将原有牧草吃完， 即它可供25头羊吃5天。 学生对用字母解决问题有了一定的认识，在拓展部分丰富用字母解决问题的内容，培养学生这方面的能力。
环节六 课后活动 你能利用下面的图发现（a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 生：大正方形的面积是（a+b)2，它是由4个图形组成的，这4个图形的面积分别为a2，ab，ab，b2，所以 （a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 让学生利用面积模型来推理平方公式，体验字母式的运算和推理。