第1讲 集合与常用逻辑用语
基础巩固
1.已知集合A={4,5,6},B={3,5,7},则A∩B=( )
A. B.{5}
C.{4,6} D.{3,4,5,6,7}
2.已知全集U={x∈N|0≤x≤6},集合A={4,5,6},则 UA=( )
A.{1,2,3} B.{x|0
C.{x|0≤x≤3} D.{0,1,2,3}
3.满足{1,2,3}∪B={1,2,3,4}的集合B的个数是( )
A.3 B.4 C.8 D.16
4.已知m,n∈R,则“|m|+|n|>1”是“n<-1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知命题p: x∈R,x-2>,命题q: x∈R,x2>0,则( )
A.命题p是真命题,命题q是假命题
B.命题 p是真命题,命题q是假命题
C.命题p是假命题,命题 q是假命题
D.命题 p是假命题,命题q是真命题
6.设全集U为实数集R,集合A={x∈R|x>},集合B={0,1,2,3},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{0} B.{0,1} C.{3,4} D.{1,2,3,4}
7.已知直线l,m和平面α,直线l α,直线m α,则l∥m是l∥α的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若x∈R,k∈Z,则“|x-kπ|<”是“|tan x|<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知命题p: x∈R,x2+2ax+a≤0,若p是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[0,1] C.(0,1) D.(0,1]
10.已知集合M=(-2,1),N=(-1,3),则M∪N=( )
A.(-2,3) B.(-1,3) C.(-2,1) D.(-1,1)
11.设m,n为空间中两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,已知m α,α∩β=n,则“m∥n”是“m∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知集合A={m,7},集合B={7,m2},若A∪B={-1,1,7},则实数m= .
13.已知集合M={x|x2-4x+3<0},N={y|y=|x-2|,x∈M},则M= ,M∩N= .
14.命题p: x∈R,115.“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
16.设全集为U=R,集合A={x|1(1)求集合A∪B;
(2)求集合A∩( UB);
(3)若C={x|x≤a},且C ( UA),求实数a的取值范围.
17.已知集合A={x|a(1)当a=-3时,求( RA)∩B;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
18.已知集合A=x<2x-2<4,集合B={x|x2-2x-3≥0},集合C={x|2m-1(1)求集合A∩B,A∪B;
(2)若集合A∩C=C,求实数m的取值范围.
素养提升
19.已知x是实数,则“x+>5”是“x>4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
20.设集合A=5,,a-b,B={b,a+b,-1},若A∩B={2,-1},则A∪B=( )
A.{2,3} B.{-1,2,5}
C.{2,3,5} D.{-1,2,3,5}
21.已知命题p:1∈{x|x222.设集合A={x|2a5},若A∩B= ,则实数a的取值范围是 .
23.若 x∈R, t∈R,使得x2≥|t|+-m,则实数m的取值范围是 .
24.已知p: x∈R,使得mx2-4x+2=0为假命题.
(1)求实数m的取值集合B;
(2)设A={x|3a25.已知命题p: x∈{x|0≤x≤4},0≤x<2a,命题q: x∈R,x2-2x+a<0.
(1)若命题 p和命题q有且只有一个为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.
参考答案
1.答案B
解析 因为A={4,5,6},B={3,5,7},所以A∩B={5}.故选B.
2.答案D
解析 因为U={x∈N|0≤x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},且A={4,5,6},所以 UA={0,1,2,3}.故选D.
3.答案C
解析 因为{1,2,3}∪B={1,2,3,4},所以满足条件的集合B可以为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},共计有8个.故选C.
4.答案B
解析 若取n=2,则必有|m|+|n|>1,但n<-1不成立,所以是不充分条件;当n<-1时,|n|>1,所以|m|+|n|>1成立,所以是必要条件.所以可知是必要不充分条件.故选B.
5.答案A
解析 对于命题p,取x=16,则x-2=14>=4,所以命题p: x∈R,x-2>是真命题,所以 p是假命题;对于命题q,取x=0,则x2=0,所以命题q: x∈R,x2>0是假命题,所以 q是真命题.对比选项,故选A.
6.答案B
解析 由图可知,图中阴影部分表示的是( RA)∩B.因为( RA)={x|x≤},所以( RA)∩B={0,1}.故选B.
7.答案A
解析 因为l α,m α,所以当l∥m时,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥α;当l∥α时,直线l与平面α内的直线无公共点,所以其位置关系是平行或异面,所以不能得到l∥m,所以l∥m是l∥α的充分不必要条件.故选A.
8.答案C
解析 由|x-kπ|<得kπ-9.答案C
解析 因为p是假命题,所以其否定: x∈R,x2+2ax+a>0是真命题,所以Δ=4a2-4a<0,解得0故选C.
10.答案A
解析 因为M=(-2,1),N=(-1,3),所以M∪N=(-2,3).故选A.
11.答案C
解析 因为m α,α∩β=n,所以当m∥n时,m∥β;当m∥β时,m∥n.故选C.
12.答案-1
解析 因为A={m,7},B={7,m2},且A∪B={-1,1,7},所以可知解得m=-1.
13.答案 (1,3)
解析 由题可得,M={x|x2-4x+3<0}=(1,3).因为x∈(1,3),所以y=|x-2|∈[0,1),所以N=[0,1),所以M∩N= .
14.答案 x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
15.答案 充分不必要
解析 因为一元二次方程x2+x+m=0有实数解,所以满足Δ=1-4m≥0,解得m≤.
所以可知“m<”是“m≤”的充分不必要条件.
16.解 (1)因为A={x|1(2) UB=(-∞,-1]∪[2,+∞),所以A∩( UB)=[2,6).
(3)因为 UA=(-∞,1]∪[6,+∞),
所以当C ( UA)时,a≤1.
所以实数a的取值范围为(-∞,1].
17.解 (1)当a=-3时,A={x|-3又B={x|log2x<1}={x|0(2)因为A={x|a当a≥1时,a= 符合题意,当a<1时,可知0≤a<1.
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
18.解 (1)由<2x-2<4可得-2所以A=(0,4).由x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以B=(-∞,-1]∪[3,+∞).
所以A∩B=[3,4),A∪B=(-∞,-1]∪(0,+∞).
(2)因为A∩C=C,所以C A.
当C= 时,满足条件,此时2m-1≥3m+1,解得m≤-2.
此时有m≤-2;当C≠ 时,要满足条件,则
解得≤m≤1.
此时有≤m≤1.
综上可知,m≤-2或≤m≤1,即m的取值范围为(-∞,-2]∪,1.
19.答案B
解析 由不等式x+>5的解集为(0,1)∪(4,+∞),可知“x+>5”是“x>4”的必要不充分条件.故选B.
20.答案D
解析 因为A∩B={2,-1},所以可知2∈B,2∈A,-1∈A.
所以解得
因为b≠-1,所以
此时A={5,2,-1},B={2,3,-1},所以A∪B={-1,2,3,5}.故选D.
21.答案(1,+∞)
解析 因为命题p是真命题,所以有a>1,因为命题q是真命题,所以有≤1+2a,解得a≥.
综上可知a>1.
22答案.-,+∞
解析 因为A∩B= ,所以当A= 时,满足条件,此时2a≥a+2,解得a≥2;
当A≠ 时,要满足条件,则解得-≤a<2.
综上可知,a≥-.
23.答案,+∞
解析 因为 x∈R,x2≥|t|+-m成立,所以0≥|t|+-m,所以 t∈R,使得m≥|t|+,所以m≥.
24.解 (1)因为p: x∈R,使得mx2-4x+2=0为假命题,
所以可知方程无解,所以
解得m>2.
所以B=(2,+∞).
(2)因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A B,所以解得≤a<1.
所以实数a的取值范围为,1.
25.解 由命题p: x∈{x|0≤x≤4},0≤x<2a可得a>2,所以 p:a≤2.
由命题q: x∈R,x2-2x+a<0,可得Δ=4-4a>0,所以有a<1.
(1)因为命题 p和命题q有且只有一个为真命题,
所以若命题 p为真,命题q为假,
则此时有1≤a≤2.
若命题 p为假,命题q为真,则此时无解.
所以命题 p和命题q有且只有一个为真命题时,实数a的取值范围为[1,2].
(2)因为命题p和命题q至少有一个为真命题,
所以其反面是命题p和命题q都为假命题.
此时解得1≤a≤2.
由补集思想可得,a<1或a>2.
所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时,实数a的取值范围为(-∞,1)∪(2,+∞).第2讲 基本不等式
基础巩固
1.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是( )
A. B.4 C. D.8
2.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( )
A.x+1≥2 B.x2+1>2x C.≤1 D.x+≥2
3.已知0A. B. C. D.
4.已知x,y为实数,则“x>0,y>0”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab C.a+b≥2 D.a+b≤-2
6.3x2+的最小值为( )
A.3-3 B.3 C.6 D.6-3
7.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A. B.≤1 C.≥2 D.a2+b2≥8
8.若x>0,y>0,且=1,则xy有( )
A.最大值64 B.最小值 C.最小值 D.最小值64
9.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
10.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时x的值为( )
A.9 B.8 C.6 D.3
11.正实数x,y满足x+y=1,则的最小值为( )
A.3+ B.2+2
C.5 D.
12.已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为 .
13.已知正实数a,b满足a+b=1,则2a2+b2的最小值是 .
14.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为 .
15.对任意的正数x,不等式ax≤x2+4恒成立,则实数a的最大值为 .
16.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.
(1)求xy的最小值;
(2)求x+y的最小值.
17.(1)当x>0时,求函数y=的最小值;
(2)当x<1时,求函数y=的最大值.
素养提升
18.若实数a,b满足ab>0,则a2+4b2+的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
19.已知正实数a,b满足a+2b=1,则1+·2+的最小值为 .
20.若函数f(x)=log2x+2,x∈,2,则函数g(x)=f(x)+的值域为 .
21.若直角三角形的周长为定值l(l>0),则其面积的最大值为 .
22.已知实数a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥.
23.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
24.某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会,根据市场调查,当每套丛书的售价定为x元时,销售量为(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=每套丛书的售价-每套丛书的供货价格.求:
(1)每套丛书的售价为100元时,书商能获得的总利润是多少万元
(2)每套丛书的售价定为多少元时,单套丛书的利润最大
参考答案
1.答案 C
解析 方法一 因为x>0,y>0,所以2x+y=1≥2,解得xy≤.
当且仅当2x=y=时取等号.故选C.
方法二 因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以xy=·2xy≤,
当且仅当2x=y=时取等号.故选C.
2.答案 C
解析 对于选项A,当x<0时不成立;
对于选项B,当x=1时不成立;
对于选项D,当x<0时不成立;
对于选项C,因为x2+1≥1,所以≤1成立.故选C.
3.答案 B
解析 因为0当且仅当x=1-x,x=时取等号.故选B.
4.答案 A
解析 当x>0,y>0时,由=-≤0可知成立,所以充分性成立;当成立时,若x<0,y<0也满足,所以可知必要性不成立.故选A.
5.答案 B
解析 由a,b∈R可知a2+b2≥2|ab|≥-2ab,所以选项B正确.
6.答案 D
解析 3x2+=3(x2+1)+-3≥2-3=6-3.当且仅当3(x2+1)=,x2=-1时取等号,此时其最小值为6-3.故选D.
7.答案 D
解析 因为a>0,b>0,所以a+b=4≥2,当且仅当a=b时,等号成立,有≤2,解得0因为=·==1,当且仅当a=b时取等号,所以选项B错误.
由,当且仅当a=b时,等号成立,可知a2+b2≥8成立.故选D.
8.答案 D
解析 由题可得,=1≥2,所以≥8,即xy≥64.当且仅当,y=4x=16时取等号.
所以xy有最小值64.故选D.
9.答案 B
解析 因为x+y=8,所以(1+x)(1+y)≤=52=25.当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时取等号.
所以(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.
10.答案 C 解析 由x+4y-xy=0可得=1,所以x+y=(x+y)=5+≥5+2=9.
当且仅当,x=2y=6时取等号.所以当x+y取得最小值9时x的值为6.故选C.
11.答案 B
解析 因为正实数x,y满足x+y=1,所以=2+≥2+2.
当且仅当,x=y时取等号.故选B.
12.答案 1
解析 因为x<,所以4x-5<0.所以y=4x-2+=-(5-4x)++3≤3-2=1.
当且仅当5-4x=,x=1时取等号.
13.
解析 因为≥2=, 所以2a2+b2≥,当且仅当a=b=时,等号成立.
14.答案 5
解析 因为x+3y=5xy,所以=1,
所以3x+4y=(3x+4y)·=+2=5.
当且仅当,x=2y时取等号.
15.答案 4
解析 因为x>0,所以不等式ax≤x2+4即为a≤x+恒成立.
因为x+≥2=4,当且仅当x=,x=2时等号成立.所以a≤4,所以实数a的最大值为4.
16.解 (1)因为x>0,y>0,2x+8y-xy=0≥2-xy,所以有≥8,解得xy≥64.
当且仅当2x=8y,x=4y时,等号成立.所以xy的最小值为64.
(2)因为2x+8y-xy=0,所以有=1.
所以x+y=(x+y)·=8+2+≥10+2=18.
当且仅当,x=2y时,等号成立.
所以x+y的最小值为18.
17.解 (1)因为x>0,所以y=≥2.当且仅当,x=2时,等号成立.
所以函数的最小值为.
(2)因为x<1,所以t=1-x>0.
所以y==-=-t++2≤2-2.
当且仅当t=,t=1-x=,即x=1-时,等号成立.
所以函数的最大值为2-2.
18.答案 C
解析 因为实数a,b满足ab>0,所以a2+4b2+≥4ab+≥2=4.
当且仅当a2=4b2,且4ab=,ab=,即a=2b=1或a=2b=-1时取等号.故选C.
19.答案 18
解析 由a+2b=1得1+·2+=2+=2+=10+≥10+2=18.
当且仅当,a=2b=时,等号成立.所以1+·2+的最小值为18.
20.答案 [4,5]
解析 因为f(x)=log2x+2,x∈,2,令f(x)=t∈[1,3]
所以g(x)=t+≥2=4,当且仅当t=2时,等号成立
又y=t+在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,所以ymax=5,所以函数g(x)的值域为[4,5].
21.l2
解析 设该直角三角形的两条直角边分别为a,b,则周长l=a+b+.,
由a2+b2≥2ab,a+b≥2得l=a+b+≥2=(2+,
当且仅当a=b时,等号成立.
所以,即ab≤l2,
所以该直角三角形的面积S=ab≤l2,即面积的最大值为l2.
此时该三角形为等腰直角三角形.
22.证明 因为a+b+c=1,
两边平方,展开有a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
因为当a,b,c∈R时,有a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以有a2+b2+b2+c2+c2+a2=2a2+2b2+2c2
≥2ab+2bc+2ca=1-a2-b2-c2,
所以3a2+3b2+3c2≥1,即a2+b2+c2≥.
当且仅当a=b=c时,等号成立.
23.解 设污水处理池的长和宽分别为a和b,则中间两道隔墙的长也为b,且ab=200.
根据条件可得,设总造价为y,
则y=(2a+2b)×400+2b×248+80×200
=800a+1 296b+16 000.
由800a+1 296b≥2=2=28 800.
当且仅当800a=1 296b,
即b=,a=18时,总造价最低,
最低总造价为28 800+16 000=44 800(元).
24.解 (1)当每套丛书的售价定为100元时,此时的销售量为15-10=5(万套).
此时每套的供货价格为30+=32(元).
所以此时书商的总利润为5×(100-32)=340(万元).
(2)设每套丛书的售价定为x元,则此时的销售量为(15-0.1x)万套,
则有所以有0此时出版社的供货价格(单位:元)为30+,
所以单套丛书的利润(单位:元)为P=x-30+=x+-30.
因为0所以P=x+-30=-(150-x)++120≤-2+120=100.
当且仅当150-x=,即x=140时,等号成立.
所以当每套丛书的售价定为140元时,单套丛书的最大利润为100元.