22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质 课件 (3个课时,共36张PPT)2023-2024学年数学人教版九年级上册

(共36张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数
y=a(x-h)2+k 的图象和性质
第1课时
回顾：你还记得一次函数 y=x 与 y=x+1的图象之间的关系吗？
猜想：二次函数 y=x2 与 y=x2+1 的图象之间有什么关系？
如图所示，y=x+1图象可由 y=x 图象向上平移一个单位1之后得到.
x
y
o
1
1.会作二次函数 y = ax2 +k 的图象,能由图象得出其性质.
2.理解抛物线 y = ax2 +k 与 y = ax2 的关系，并能解决相关问题.
任务：归纳二次函数 y = ax2 +k 的图象性质，理解其与 y = ax2 的关系.
活动：在下列直角坐标系中画出二次函数 y=x2+1 和 y=x2-1 的图象，并与同伴交流解决下列问题.
(1) 完成下表，并说说你的发现.
二次函数 开口方向 顶点 对称轴
y=x2
y=x2+1
y=x2-1
向上
向上
(0，1)
(0，-1)
y轴
y轴
y=x2-1
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-1
y=x2
y=x2+1
向上
(0，0)
y轴
(2) 讨论抛物线 y=x2+1，y=x2-1增减性.
(2) 增减性一致:
在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而减小；
在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而增大.
y=x2-1
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-1
y=x2+1
y=x2
(3) 抛物线 y=x2+1，y=x2-1 和抛物线 y=x2 有什么关系？
y=x2
y=x2+1
y=x2-1
向上平移
1个单位
向下平移
1个单位
(3)
思考： ①二次函数 y=ax2+k 的开口方向、顶点、对称轴分别是什么？
②二次函数 y=ax2+k 与 y=ax2 的图象有什么关系？
①开口方向： a >0时，向上；a <0时，向下.
顶点：(0，k).
对称轴：y轴.
y=ax2
y=ax2+k
y=ax2+k
k正，向上平移
k个单位
k负，向下平移
|k|个单位
②
(1) 将抛物线 y=2x2 向上平移6个单位得到抛物线__________；
(2) 将抛物线________向下平移5个单位得到抛物线 y=x2+2；
(3) 将抛物线 y=-5x2+6 _________________得到抛物线y=-5x2-1.
练一练
y=2x2+6
y=x2+7
向下平移7个单位
填空
1．下列函数中，图象的形状大小、开口方向都相同的是(　　)
① y＝－x2；② y＝－2x2；③ y＝ x2－1；
④ y＝x2＋2；⑤ y＝－2x2＋3.
A．①④ B．②⑤
C．②③⑤ D．①②⑤
B
2.填空
(1)将二次函数 y＝2x2－1 的图象沿 y 轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数
表达式为 ____ .
(2)抛物线 y＝5x2－1的顶点坐标是_______，抛物线在 y 轴右侧的部分是________. (填“上升的”或“下降的”)．
y=2x2+1
(0，-1)
上升的
针对本节课的关键词“二次函数 y=ax2 +k 的图象及性质”，你能说说学到了哪些知识吗？
二次函数y=ax2+k
的图象及性质
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向
对称轴:轴
顶点坐标:（0，）
增减性
与y=ax2的关系
负，向下平移
正，向上平移
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数
y=a(x-h)2+k 的图象和性质
第2课时
1.会作二次函数 y = a(x-h)2 的图象,能由图象得出其性质.
2.理解抛物线 y = a(x-h)2 与 y = ax2 的关系，并能解决相关问题.
任务一：作二次函数 y = a(x-h)2 的图象,由图象得出其性质.
活动：在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线x= -1
( -1 , 0)
直线x=1
向下
( 1, 0)
讨论：函数 y = a(x-h)2 的性质是什么？与同伴交流.
解：分别列表，再描点画图：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
-2
0
-0.5
-2
-0.5
-4.5
-4.5
-2
-0.5
0
-4.5
-2
-0.5
-4.5
活动小结
y=a(x-h)2 a<0 a>0
开口方向 向下
对称轴 直线x=h
顶点坐标 （h，0）
最值 当x=h时，y最大值=0
增减性 x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.
向上
直线x=h
（h，0）
当x=h时，y最小值=0
x＜h时，y随x的增大而减小；
x＞h时，y随x的增大而增大.
练一练
二次函数 y＝2(x＋5)2 的图象是抛物线，开口_______，对称轴是_______.
x= -5
向上
任务二：理解抛物线 y = a(x-h)2 与 y = ax2 的关系.
活动：观察图象，并思考下列问题.
(1)抛物线 与抛物线 有什么关系？
向右平移
1个单位
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
向左平移
1个单位
x
y
O
(2) 抛物线 y = a(x-h)2 与抛物线 y = ax2 有什么关系？
可以看作互相平移得到 ，假设 h > 0 ：
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
向右平移 h
y=ax2
y=a(x-h)2
向左平移 h
y=a(x+h)2
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
C
1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线x=3
( 3, 0 )
直线x=-2
直线x=1
向下
向上
(-2, 0 )
( 1, 0)
2.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得：
∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
针对本节课的关键词“二次函数 y=a(x-h)2 的图象及性质”，你能说说学到了哪些知识吗？
图象的性质
开口方向
顶点坐标
对称轴
(左加右减)
直线x=h
y=ax2
(h，0)
增减性
y=a(x-h)2
二次函数 y=a(x-h)2的图象及性质
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数
y=a(x-h)2+k 的图象和性质
第3课时
1.会作二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象,理解抛物线 y=a(x-h)2+k 与 y = ax2 的关系.
2.会运用二次函数 y=a(x-h)2+k 的有关知识解决实际问题.
任务一：作二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象,理解抛物线 y=a(x-h)2+k 与 y = ax2 的关系.
活动：在同一平面直角坐标系中画出二次函数 和 的图象，小组讨论解决下列问题.
(1) 说出两条抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
(2) 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？尝试总结由 y = ax2 得到 y=a(x-h)2+k 的平移规律.
直线x= -1
(1)
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
抛物线 开口方向 对称轴 顶点
向下
y轴
( 0 , 0)
直线x= -1
向下
( -1, -1)
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
(2) 平移方法1：
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
平移规律：
y = ax2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
y = ax2 + k
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
平移方法2：
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
平移规律：
左右平移
上下平移
y = ax2
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
讨论：与同伴交流，完成下表.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h，k）
（h，k）
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
x＜h时，y随x的增大而减小；
x＞h时，y随x的增大而增大.
x＜h时，y随x的增大而增大；
x＞h时，y随x的增大而减小.
练一练
1.抛物线 y = 4(x－3)2＋7 是由抛物线 y=4x2 怎样平移得到的
向右平移
3个单位
y = 4(x－3)2＋7
y=4x2
y=4x2＋7
向上平移
7个单位
练一练
2.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，下列选项正确的是(　　)
A
A. a > 0，c > 0 B. a > 0，c < 0
C. a < 0，c > 0 D. a < 0，c < 0
任务二：运用二次函数 y=a(x-h)2+k 的有关知识解决实际问题.
活动：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管. 在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，求水管的长度.
(1) 建立适当的直角坐标系，求出抛物线形水柱的函数解析式.
(2) 求水管的长度.
解：(1) 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立直角坐标系.
点(1，3)是抛物线的顶点，因此可设抛物线的函数解析式是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
∵抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
解得:
因此
(2) 当x=0时，y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
2
3
1
1
2
3
(1，3)
O
x/m
y/m
1．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为(　　)
D
A　　　 　 B　　　 C 　 　　 D
2.已知一个二次函数图象的顶点为 A(-1,3)，且它是由二次函数 y=5x2 平移得到，写出该二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.
∵二次函数图象是由二次函数y=5x2平移得到，
∴a=5.
∵二次函数图象的顶点为A(-1,3)，
∴h=-1，k=3.
∴二次函数的解析式为y=5(x+1)2+3.
针对本节课的关键词“二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象及性质”，你能说说学到了哪些知识吗？
二次函数 y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当 a>0，开口向上；
当 a<0，开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.