22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 课件(共25张PPT) 2023-2024学年数学人教版九年级上册

(共25张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数
y=ax2+bx+c 的图象和性质
第1课时
2.函数y＝ (x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝ x2 的图象
__________________________________得到的.
1.函数y＝ (x－2)2＋1图象开口______，对称轴为直线______，
顶点坐标是________.
回顾旧知：
向上
x＝2
(2，1)
向右平移2个单位再向上平移1个单位
思考：如何找出二次函数 的对称轴和顶点坐标？它与 y＝ x2 又有什么联系？
1.理解二次函数 y=ax2+bx+c 与 y=a(x-h)2+k 之间的联系，掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的性质.
任务：通过具体实例，理解二次函数 y=ax2+bx+c 与 y=a(x-h)2+k 之间的联系，掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的性质.
活动1：将 化成 y=a(x-h)2+k 的形式， 并指出其对称轴和顶点坐标.
配方可得：
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
(2) 尝试画出该函数的图象，并观察总结图象的性质.
方法一：平移法
向上平移
3个单位
向右平移
6个单位
或
向右平移
6个单位
向上平移
3个单位
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
6
8
方法二：描点法
先利用对称性列表:
开口方向：
对称轴：
顶点：
向上
x=6，
(6，3)
x ··· 3 4 5 6 7 8 9 ···
··· ···
5
7.5
3.5
3
3.5
5
7.5
当x<6时，y 随 x 的增大而减小；
当x>6时，y 随 x 的增大而增大.
练一练
1.指出抛物线 y=-2x2-4x+1 的开口方向、顶点坐标和对称轴.
该抛物线开口向下，顶点坐标是(-1,3)，对称轴是直线 x=-1.
解：配方
活动2：用配方法将一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) 化成顶点式 y=a(x-h)2+k，并说出它的对称轴和顶点坐标.
y=ax2+bx+c
顶点坐标：
对称轴：直线
讨论：根据二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，填写它的增减性.
y=ax2+bx+c a＞0 a＜0
图象
增减性
x
y
O
x
y
O
x＜ 时，y随x的增大而减小；
x＞ 时，y随x的增大而增大.
x＜ 时，y随x的增大而增大；
x＞ 时，y随x的增大而减小.
2.求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴和顶点坐标.
∴ 二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
y=2x2-8x+7的对称轴是
顶点是
练一练
1.抛物线 y＝－x2＋4x＋7 的顶点坐标为(　　 )
A．(－2，3) B．(2，11)
C．(－2，7) D．(2，－3)
B
2.已知二次函数 y=-2x2+4x-3，如果 y 随 x 的增大而减小，求出 x 的取值范围.
解：y=-2x2+4x-3的开口向下，对称轴是
∴ x 的取值范围是：x ≥1.
针对本节课的关键词“二次函数 y=ax2+bx+c 的图象及性质”，你能说说学到了哪些知识吗？
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
配方法
第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数
y=ax2+bx+c 的图象和性质
第2课时
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
任务：用待定系数法求二次函数的解析式.
活动1：(1) 已知一个一次函数的图象经过点(3，5)，(7，1)，用待定系数法求这个一次函数的解析式.
(2) 已知一个二次函数的图象经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，求出这个二次函数的解析式，并简要说说解题思路.
解：(1) 设这个一次函数的表达式是 y=kx+b，
解得
所求一次函数是 y=-x2-4x-3.
把(3，5)，(7，1)代入 y=kx+b 得:
3k+b=5，
7k+b=1.
k=-1，
b=8.
(2) 设所求二次函数为 y=ax2+bx+c,
解得
所求二次函数是 y = -x2-4x-3.
把(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)代入 y=ax2+bx+c 得:
a=-1，
b=-4，
c=-3.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c= -3.
④还原
①设
②代
③解
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为 y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到 a，b，c 的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
活动小结
思考：二次函数图象经过的(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)这三个点有什么特点？
∵(-3，0)，(-1，0) 是抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点，所以可设这个
二次函数的表达式是 y=a(x-x1)(x-x2). (其中x1、x2为交点的横坐标)
因此 y=a(x+3)(x+1).
再把点 (0，-3) 代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得 a= -1.
∴所求的二次函数的表达式是 y= -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3.
这三个点都是二次函数图象与坐标轴的交点.
活动小结
这种知道抛物线与 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是 y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标 x1、x2 代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
活动2：已知一个二次函数图象顶点为(-2，1)，且经过点(1，-8).
解：设这个二次函数的表达式是 y=a(x-h)2+k,
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a= -1.
∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
把顶点（-2，1）代入 y=a(x-h)2+k 得
(2) 已知顶点坐标，如何设这个二次函数，求出它的表达式？简要说说解题思路.
(1) 用一般式法能求出该二次函数的解析式吗？
不能
活动小结
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是 y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④ a用数值换掉，写出函数表达式.
1.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( )
B
A. y=x2-4x+5 B. y=x2-4x-5
C. y=x2+4x-5 D. y=x2+4x+5
2.一个二次函数的图象经点 (0, 0)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： ∵二次函数图象的顶点坐标为(8,9)，所以，可以设函数表达式为
又由于它的图象经过点(0，0)，可得 0=a(0-8)2+9.
∴所求的二次函数的解析式是
y = a(x-8)2+9.
解得
回顾本节课所学，填写下表.
表达式类型 函数表达式 使用条件
一般式
顶点式
交点式
y=ax2+bx+c
y=a(x+h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
已知二次函数图象上
任意三点的坐标.
已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴或最值.
已知二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标.