22.3 实际问题与二次函数(3个课时) 课件(共34张PPT) 2023-2024学年数学人教版九年级上册

(共34张PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时
1.会求二次函数 y=ax2+bx+c 的最小(大)值.
2.能从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质求实际问题的最值.
任务一：会求二次函数 y=ax2+bx+c 的最小(大)值.
活动：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s) 之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 (0≤ t ≤6)．
(2) 小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
(1) 画出 h= 30t - 5t 2 (0≤ t ≤6) 的图象.
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
(2) 小球的最高点对应函数图象的顶点.
答：小球运动的时间是3 s时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m.
解：(1) 如图所示，可以看出该图象是抛物线 h= 30t - 5t 2 的一部分.
思考：结合上述活动，对于二次函数 y=ax2+bx+c，如何求出它的最小(大)值呢？
由下图可知，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是最低（高）点，
∴当 时，二次函数 y=ax2+bx+c 有最小(大)值
x
y
O
x
y
O
y=ax2+bx+c (a>0)
y=ax2+bx+c (a<0)
(1) 求 S 与 l 之间的函数关系式，并写出自变量 l 的取值范围.
(2) 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
任务二：从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质求实际问题的最值.
活动：用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．
解：(1) 矩形场地的周长是60m，一边长为 l m，所以另一边长为 m.
场地的面积：S=-l2+30l．
(2)当 时，
S有最大值 ，
也就是说，当 l 是15m时，场地的面积 S 最大.
(3) 简要说说求此类实际问题的最值的方法.
∴自变量的取值范围：0＜l＜30.
∵ l＞0，
求实际问题的最值：
① 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
② 在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
活动小结
1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则该直角三角形的面积 S 与其中一条直角边长 l 之间的关系式是____________________(写出自变量取值范围)；该直角三角形的最大面积为_______.
50cm2
2.用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米，若使围成的面积最大，此时这个矩形菜园长、宽各为多少米？最大面积是多少？
解：设矩形的面积为S，矩形菜园的长为 x 米，则菜园的宽为 米.
∴当x=18时，S有最大值，S最大=162，
答：这个矩形的长为18米，宽为9米，菜园的面积最大，最大面积是162平方米．
（0＜x≤18）
针对本节课的关键词“最值问题与二次函数”，你能说说学到了哪些知识吗？
最值问题
求实际问题的最值
关键：根据题意列出函数解析式.
注意：自变量的取值范围.
抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点
当 时，
最值
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时
1.能从利润问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质求商品的最大利润.
任务：列出二次函数关系式，运用二次函数及性质求商品的最大利润.
活动：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，解决下列问题：
(1) 设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，完成下列表格.
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
20+x
300-10x
y=(20+x)(300-10x)
6000
(2) 自变量 x 的取值范围如何确定？根据二次函数的性质，涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
(2) 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量即可，故300-10x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是 0 ≤x ≤30.
y=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000(0≤x≤30).
当 时，ymax=-10×52+100×5+6000=6250.
答：涨价5元时，利润最大，最大利润是6250元.
该二次函数开口朝下，在顶点处取最大值，即 (0≤x≤30) 时，y最大.
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润即可，故 20-x ≥0，且 x ≥0，因此自变量的取值范围是 0 ≤x ≤20.
(3) 类比涨价情况，求出降价情况下的自变量取值范围和最大利润. 综合涨价与降价两种情况，如何定价能使利润最大？
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
20-x
300+20x
y=(20-x)(300+20x)
6000
(4) 结合上述解题过程，归纳一下求解“最大利润”类型问题的一般步骤.
(3)
y=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000 (0≤x≤20).
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，利润最大，最大利润为6125元.
答：综上所述，产品单价涨价5元时，利润最大.
函数开口朝下，当 时，ymax=-20×2.52+100×2.5+6000=6125.
因此，涨价时的最大利润6250元 > 降价时的最大利润6125元
求解“最大利润”类型问题的一般步骤:
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：总利润=单件利润×销售量；
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
活动小结
（3）利用二次函数的性质：顶点处有最值，在自变量的取值范围内确定最大利润.
练一练
进价为80元的某衬衣定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 _________ .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 _________ _______.(以上关系式只列式不化简)
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
1.某体育馆可容纳四千人同时观看比赛，现C区有座位400个，某赛事试营销售阶段发现：当票价为80元时，可售出C区票280张，若每降价1元，可多售出6张票，设降价 x元( x 取正整数)，写出总票价 y 关于 x 的函数关系式及自变量x取值范围.
解：y=(80-x)(280+6x)= -6x2+200x+22400
280+6x ≤ 400，且 x ≥ 0. 所以，0≤ x ≤20 ( x 取正整数).
2.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352.(1≤x≤9，x 取正整数)
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
针对本节课的关键词“利润问题与二次函数”，你能说说学到了哪些知识吗？
利润问题
建立函数关系式
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
二次函数在顶点处 取最值，且自变量 x 要在取值范围内.
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时
1.能根据题意建立适当的平面直角坐标系,求出二次函数解析式，解决“拱桥”类型的问题.
任务：建立二次函数模型，利用二次函数解决“拱桥”类型的问题.
活动：图中是抛物线形拱桥，拱桥的跨度是4.9米，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，小组讨论解决下列问题：
(1) 该拱桥可抽象成我们学过的哪种函数？
(2) 怎样建立直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式更简单？
(1) 拱桥是抛物线形，所以可抽象成二次函数.
(2) 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系比较简单，如图：由于顶点坐标是(0,0)，因此这个二次函数的形式为 y=ax2.
(4) 水面宽3米时，
从而
因此拱顶离水面高1.125米.
A
(3) 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点 A(2,-2) 在抛物线上，由此得出
解得
因此，
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量 x 的取值范围是：
(3) 求出拱桥的函数解析式及自变量取值范围.
(4) 水面宽3米时，拱顶离水面多少米？
(5) 结合上述解题过程，归纳一下“拱桥”类型问题的一般解题步骤.
“拱桥”类型问题的一般解题步骤：
(1) 建立适当的平面直角坐标系，并将已知条件转化为点的坐标；
(2) 合理地设出所求函数的表达式，并代入已知条件或点的坐标，求出表达式；
(3) 利用表达式求解实际问题.
活动小结
练一练
右图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面4 m时，水面宽8 m．水面上升3 m，水面宽度减少多少？
解：如右下图，建立平面直角坐标系.
由题意知，抛物线过点(4,－4). 设抛物线的解析式为 y=ax2.
将点(4,－4)代入上式，得 16a=－4. 解得 a= .
所以抛物线的解析式为y= x2.
当y=－1时， x2=－1.
解得 x=2 或 x=－2.
这时水面宽度为2×2=4(m).
则水面的宽度减少了8－4=4(m)．
1. 某桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为(　　)
A．-20 m B．10 m
C．20 m D．-10 m
C
2.某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m. 现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m. 这辆汽车能否顺利通过大门？若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.
解：如图，以AB所在的直线为x 轴，以AB的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系.
∵AB=4
∴A(-2,0) ，B(2,0)
∵OC=4.4
∴C(0,4.4)
设抛物线所表示的二次函数为 y=ax2+4.4
∴抛物线所表示的二次函数为 y=-1.1x2+4.4
∴汽车能顺利经过大门.
当 x=1.2时，y=-1.1×1.22+4.4=2.816>2.7
∵抛物线过A(-2,0) ∴4a+4.4=0. ∴a=-1.1
针对本节课的关键词“拱桥问题与二次函数”，你能说说学到了哪些知识吗？
拱桥问题
建立二次函数模型
实际问题的解.
转化
二次函数的
图象和性质