24.2.2 直线和圆的位置关系 课件 （第1—3课时） 38张PPT 2023-2024学年数学人教版九年级上册

(共38张PPT)
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时
1. 了解直线和圆的位置关系.
活动 1：（1）如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳落下的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？
任务一：了解直线和圆的三种位置关系
（2）在纸上画一条直线 l，寻找身边的圆形物体，将物体在纸上移动，在移动物体的过程中，说出它与直线 l 的公共点个数的变化情况.
l
l
l
图形
公共点个数
位置关系
直线 l 名称
发现：
0 个
相离
1 个
相切
切线
2 个
相交
割线
活动 2：如图，⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为d. 仔细观察，说说在直线和圆的不同位置关系中，d 与 r 具有怎样的大小关系.
思考：根据 d 与 r 的大小关系能确定直线和圆的位置关系吗？说明理由.
d
r
d
r
d
r
相离
相交
相切
O
O
O
l
l
l
d
r
相离
O
d
r
相切
O
d
r
相交
O
归纳总结
直线 l 和 ⊙O 相交 两个交点 d < r
直线 l 和 ⊙O 相切 一个交点 d = r
直线 l 和 ⊙O 相离 没有交点 d > r
1. 已知⊙O 的直径为 8 cm，若直线 l 和圆相交，则圆心到直线 l 的距离为（ ）
A. d = 4 cm B. d = 4.5 cm C. d = 8 cm D. 0 cm ≤ d < 4 cm
D
2.已知圆的直径是 13 cm，若圆心与直线的距离分别是：
（1）4.5 cm； （2）6.5 cm； （3）8 cm；
判断直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
解：已知直径为13 cm，所以半径为 6.5 cm，直接比较圆心与直线的距离和半径 r 的大小即可；
（1）d1 = 4.5 cm < 6.5 cm = r，即 d1 < r，直线 l1 与圆相交，两个交点；
（2）d2 = 6.5 cm = 6.5 cm = r，即 d2 = r，直线 l2 与圆相切，一个交点；
（3）d3 = 8 cm > 6.5 cm = r，即 d3 > r，直线 l3 与圆相离，无交点.
3. Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，判断以点 C 为圆心，下列 r 为半径的 ⊙C 与 AB 的位置关系；
（1）r = 2 cm； （2）r = 2.4 cm；（3）r = 3 cm.
解：如图，作 CD⊥AB 于点 D，
根据勾股定理及三角形面积公式可得：AB = 5 cm，CD = 2.4 cm；
以点 C 为圆心，下列 r 为半径的 ⊙C 与 AB 的位置关系如下：
（1）d = CD = 2.4 cm > 2 cm = r，即 d > r，直线 AB 与 ⊙C 相离；
（2）d = 2.4 cm = r，即 d = r，直线 AB 与 ⊙C 相切；
（3）d = 2.4 cm < 3 cm = r，即 d < r，直线 AB 与 ⊙C 相交.
C
A
B
3
4
D
回顾：关键词“直线和圆的位置关系”，完成下列填空.
直线和圆的位置关系 相离 相切 相交
公共点个数
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称
直线名称
d > r
d < r
d = r
0
2
1
交点
切点
割线
切线
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时
第二十四章 圆
1.理解圆的切线的判定定理及性质定理;
2.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
课堂导入：
下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，存在与圆相切的现象吗？
任务一：理解切线的判定定理.
活动1：小组合作讨论，完成下列问题：
（1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
（2）图中的直线l与圆O相切吗？由此你能得出什么结论？
l
O
l
O
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
追问：除此之外判断切线的方法还有哪些？
活动小结
判定切线的三种方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时,直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（2）假设此时还有一条半径OB⊥l， 则“直线l是⊙O的切线，切点为A”还成立吗 由此你能得出什么结论？
活动2：与同学交流解答下列问题：
O
A
l
（1）在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线是不是一定垂直呢？
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
追问：圆的切线还有哪些性质？
圆的切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）圆心到切线的距离等于半径；
（3）圆的切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
活动小结
任务二：运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题．
活动1：△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.
求证：AC是⊙O的切线．
B
O
C
D
A
①切线判定定理和性质定理分别在什么情况下使用？
②要证明AC是⊙O的切线还需要什么条件？怎么作辅助线？
问题：
证明：连接OD、OA，过O作OE⊥AC.
∵⊙O与AB相切于D，∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.
∴AO平分∠BAC，
∴OE=OD.
∴OE是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
B
O
C
D
A
E
思考：在运用切线的判定定理和性质定理时，应如何添加辅助线？
无交点，作垂直，证半径；
有切点，连半径，证垂直；
知切线，连圆心，得半径.
1. OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置关系是（　　）．
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
B
E
2.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D. 求证: AC是⊙D的切线.
证明：AC是⊙O的切线.理由如下：
又∵DE⊥AC
过点D作DE⊥AC，垂足为E
AD平分∠BAC
∴DE=BD
∴直线AC是⊙O的切线.
∵∠B＝90°
∴BD⊥AB
D
B
A
C
回顾本节课，说一说你都学到了哪些知识？
1.圆的切线判定定理和性质定理是什么？什么情况下使用？
2.在运用切线的判定定理和性质定理时，应如何添加辅助线？
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时
问题导入
1. 切线的判定定理和性质定理是什么？
1条
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
性质定理：圆的切线垂直于过切点的圆.
2.过圆上一点能画几条切线？
1.理解切线长的概念及切线长定理.
2.理解三角形的内切圆和内心的概念，能运用切线长定理解决三角形内切圆的相关问题.
活动：过圆外一点 P 能画几条☉O 的切线呢？尝试在半透明的纸上画出.
任务一：理解切线长的概念及切线长定理.
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间
线段的长，叫做这点到圆的切线长．
能画2条.如图，PA、PB是☉O 的两条切线，切点分别为A、B.
(1) 沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？尝试证明你的结论.
PA=PB，∠APO=∠BPO
切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
证明：如图，连接OA ，OB.
∵PA，PB是⊙O 的两条切线，
∴OA ⊥ AP，OB ⊥ BP.
又OA =OB ，OP =OP，
∴Rt△AOP≌Rt△ BOP.
∴AP=BP，∠APO=∠BPO.
r
r
r
=
=
=
O
任务二：理解三角形的内切圆和内心的概念，运用切线长定理解决三角形内切圆的相关问题.
活动1：如图是一块三角形的铁皮，在它上面截下一块圆形的用料⊙O.通过作图完成下列问题.
(1) 当⊙O与∠A的两边相切，圆心O的位置在 上 .
∠A的平分线
(2) 当⊙O与∠A的两边相切，且与∠B的两边也相切，圆心O的位置在 上 .
三条角平分线的交点
O
A
B
C
E
F
G
(3) 作与△ABC的各边都相切的圆.
A
B
C
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
O
D
M
N
☉O就是所求的圆.
B
A
C
O
三角形内切圆的性质：
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，
到三角形的三边距离相等.
E
F
G
=
=
=
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫做三角形的内心.
思考：设△ABC 的面积为S，周长为L， △ABC 内切圆的半径为r，则S，L 与 r 之间存在怎样的数量关系？
解：结合图形可知，
B
A
C
O
E
F
G
=
=
=
活动2：如图，△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm.
B
A
C
E
D
F
O
(1) 图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
(2) 求AF、BD、CE的长.
(1)解： 根据切线长定理：AE=AF，CE=CD，BD=BF.
B
A
C
E
D
F
O
(2) 解：设AF=x cm，则AE=x cm.
∴CE= CD= AC-AE= 9-x (cm)，
BF = BD = AB-AF= 13-x (cm).
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴ AF = 4 (cm)，BD =9 (cm)，CE =5 (cm).
解得 x=4.
方法：运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
1.如图，PA切☉O于点A，PB切☉O于点B，OP交☉O于点C，则下列结论错误的是( )
A. ∠1=∠2 B. PA=PB
C. AB⊥OP D. △PAB是等边三角形
D
2.如图，☉O的半径为3 cm，点P到圆心O的距离为6 cm，过点P引☉O的两条切线，则这两条切线的夹角为 　　.
60°
针对本节课的关键词“切线长定理”，你能说说学到了哪些知识吗？
切线长定理
切线长
三角形内切圆
内切圆、内心概念
内心性质
应用
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.