6.1平面向量及其线性计算 同步练习（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学必修第二册

6.1平面向量及其线性计算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－
2．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A． B． C． D．
4．已知向量，且，则下列一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题正确的是（ ）
A．若四点在同一条直线上，且，则
B．在中，若点满足，则点是的外心
C．若，把右平移个单位，得到的向量的坐标为
D．在中，若，则点的轨迹经过的内心
7．下列说法正确的个数是（ ）、
①速度、加速度、位移、功这些物理量都是向量;
②零向量没有方向;
③若，则为一个三角形的三个顶点.
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，四边形中，，则必有（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）下列结论中正确的有 （ ）
A．对于实数m和向量，，恒有
B．对于实数m，n和向量，恒有
C．对于实数m和向量，，若，则
D．对于实数m，n和向量，若，则
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则或
B．与是平行向量
C．若与是共线向量，则四点共线
D．若，则
11．下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且 B．若，，则
C．若，则存在实数，使得 D．
12．给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C． 与方向相反
D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，之一的方向相同
三、填空题
13．在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
14．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心）
15．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（， 交两点不重合）.若，，则的最小值为 .
16．在中，D为边的中点，经过的中点E的直线交线段，于点M，N，若，，则 ；该直线将分成的两部分，即与四边形的面积之比的最小值是 ．
四、解答题
17．设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
18．已知向量 ，向量 ．
(1)求和；
(2)当为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向．
19．如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.

20．在平面内有一点，对任一异于点的点，将其变换成该射线上一点，且使，这个变换叫做平面反演变换点叫做反演中心或反演极，叫做反演幂．
(1)若是坐标原点，关于的反演点是，求证：，．
(2)以坐标原点为反演中心，反演幂，求曲线经过反演变换后的轨迹．
21．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】
因为与反向共线，所以，建立等量关系，求解即可.
【详解】
因为与反向共线，所以，
即，因为向量不共线，
所以，解得：或，因为且，所以.
故选：B
2．D
【分析】
直接由向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意.
故选：D.
3．A
【分析】
根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；
对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；
对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；
对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误.
故选：A.
4．C
【分析】
利用向量的共线来证明三点共线的．
【详解】
，
则不存在任何，使得，所以不共线，A选项错误；
则不存在任何，使得，所以不共线，B选项错误；
由向量的加法原理知．
则有，又与有公共点，所以三点共线，C选项正确；
，则不存在任何，使得，所以不共线，D选项错误．
故选：C．
5．C
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为是的边上的中线，
所以，所以
.
故选：C
6．D
【分析】
根据相等向量定义可知AC正误；根据向量线性运算和向量加法几何意义，结合三角形重心和内心的定义与性质可确定BD正误.
【详解】对于A，如下图所示，
此时，但与反向，，A错误；
对于B，设中点为，则，
，即，
点是的重心，B错误；
对于C，向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量，
即将向右平移个单位，所得向量坐标依然为，C错误；
对于D，，点在边长为的菱形的对角线上，
又菱形对角线平分一组对角，即平分角，点的轨迹经过的内心，D正确.
故选：D.
7．A
【分析】
①②由向量概念可得；③由向量线性运算可得.
【详解】
①速度、加速度、位移是向量，功是数量；
②零向量有方向，但方向不确定，即方向任意；
③若，则可能构成一个三角形，也可能共线.
所以三个说法都是错误的.
故选：A.
8．B
【分析】
根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】
四边形中，，则且，
所以四边形是平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选：B．
9．AB
【分析】
根据平面向量的数乘运算一一判定选项即可.
【详解】由数乘向量运算律，得A，B均正确；
对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误；
对于D，若，由，未必一定有，错误．
故选：AB．
10．ACD
【分析】
根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误；
对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确；
对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误；
对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误.
故选：ACD.
11．ABC
【分析】
利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.
【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于B：当时，则不一定平行，故B错误；
对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.
故选：ABC.
12．BCD
【分析】根据平面向量的定义与性质逐项判断即可.
【详解】对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；
对于B，当时，命题不成立；
对于C，当，之一为零向量时，命题不成立；
对于D，当时，的方向是任意的，它可以与，的方向都不相同，命题不成立；
故选：BCD.
13．1
【分析】
利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解.
【详解】
，则，，
所以.
故答案为：1
14．重心
【分析】
过作，垂足为，取中点为，连接，根据向量的线性运算，即可判断.
【详解】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示：
则，
则，则，
，又为非负实数，
故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故过三角形的重心.
故答案为：重心.
15．.
【分析】
先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解.
【详解】
因为，所以，
所以，
又，，
所以，
所以，
因为D，E，F三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：
16． 4
【分析】根据共线定理的推论，结合三点共线可得；利用三角形面积公式先求和的面积比，化简后利用基本不等式可得最小值，然后可得与四边形的面积之比的最小值.
【详解】因为D为边的中点，E为的中点，
所以，
又，，所以，
因为三点共线，所以，所以.
若直线将分成与四边形两部分，由图可知，，
记，四边形，的面积分别为，，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取得最小值.
故答案为：4；.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由，
得,
,
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
实数k的值是
18．(1)， ；
(2)，两个向量同向．
【分析】（1）根据向量模的坐标运算公式计算即可；（2）由向量共线性质得到的方程，解之即可．
【详解】（1）由题可得，
（2）由于向量 ，向量 ，所以，，
因为向量与向量平行，则，解得，
此时，即两个向量同向.
19．作图见解析
【分析】方法一，首先利用平行四边形法则，作出，再利用向量减法，即可作出；
方法二，首先求得，利用相等向量进行转化，即可作出.
【详解】方法一　以为邻边作，连接，，

则，.
方法二　作

连接，则，
20．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）设，则，由得，即可证明；
（2）将代入，化简即可求解.
【详解】（1）设，则，又，所以，
所以.
（2）由题意知，，代入，
得，由，得，
故经过反演变换后的轨迹是直线．
21．证明见解析
【分析】根据向量的线性运算即可求证.
【详解】证明：由题知，，
因此．
所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页