6.2向量基本定理与向量的坐标 同步练习（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学必修第二册

6.2向量基本定理与向量的坐标同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若在三角形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．2
C． D．
4．已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标.若点，的广义坐标分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为，则点的横坐标为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为，则
D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
11．若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，，使，则
12．下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量
B．在平面向量基本定理中，若，则
C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
三、填空题
13．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ．
14．如图，在中，，于点，为的中点．若，则 .

15．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则 .
四、解答题
16．如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
(1)用向量与表示 和
(2)用向量与表示
(3)求出 的值
17．如图，在中，点在线段上，且.

(1)用向量表示；
(2)若，求的值.
18．在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.
19．如图，在中，分别是边上的动点，为与的交点.
(1)证明：；
(2)当分别是边的中点时，用表示.
20．如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.

(1)求；
(2)求的余弦值.
21．如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.
(1)若，求实数，的值；
(2)若，求边的长.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】
根据图形，由向量的线性运算及减法运算求解即可.
【详解】如图，
因为，，
所以，
所以，
故选：A
2．A
【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解.
【详解】设，，
则，
而与不共线，∴，解得，∴.
故选：A.
3．D
【分析】
根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以共线，不能作为基底.
B选项，，所以共线，不能作为基底.
C选项，，所以共线，不能作为基底.
D选项，易知不共线，可以作为基底.
故选：D
4．C
【分析】
根据平面向量基本定理可得解.
【详解】由已知可得，，
若，则，使，即，则，即；
若，则，使，即，
故“"是“”的充要条件，
故选：C.
5．C
【分析】
建系，用三角函数表示点，再将已知向量关系用三角函数表示，得出，最后用辅助角公式得到所求的最值关系，结合正弦函数得到最大值.
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设扇形的半径为，则，
设点，
因为，
所以，，所以，，
所以，，
因为，则，
当且时，取得最大值4.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：此题关键是用三角函数表示出向量关系，得到关系式，再用辅助角公式得到所求的最值关系.
6．B
【分析】
建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围．
【详解】
矩形中，已知分别是上的点，且满足，

设，则，，
联立，可解得，
因为点在线段上运动，则可设，
，
又，所以，
，
因为，所以．
故选：B．
7．A
【分析】
根据向量共线定理可得解.
【详解】
设，
因为，，三点共线，所以，
又，，
所以，
所以，
故选：A.
8．A
【分析】
利用基底法分解向量，再表示成坐标即可.
【详解】
由题意得，.
故选：A
9．AC
【分析】
利用三角形相似得出点E的位置，由平面向量的加法法则逐一判断选项即可.
【详解】
由，可得，又，N是线段OD的中点，
∴，∴，∴D错误；
∵，∴C正确；
∵，
∴A正确，B错误．
故选：AC．
10．ABD
【分析】
利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.
【详解】向量，，
对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，由，得，因此，B正确；
对于C，与的夹角为，，，
因此，C错误；
对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
11．BC
【分析】
根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断.
【详解】
由题意可知：，可以看成一组基底向量，
根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确；
对于C，当时，则，
此时任意实数均有，故C不正确；
故选：BC．
12．ABC
【分析】选项A，由基底的定义判断；选项B，由判断；选项C，由在方向上的投影向量的定义判断；选项D，由基底的定义判断.
【详解】选项A，作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，
因此，一定都是非零向量，故A正确；
选项B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正确；
选项C，在方向上的投影向量为，故C正确；
选项D，只要不共线的两个向量都可以作为基底，所以表示同一平面内所有向量的基底是不唯一的，故D错误；
故选：ABC
13．
【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可.
【详解】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，
又，
则，
，即
，
解得，
,
因为，则，
所以当时，取得最大值1，
则的最大值为.
故答案为：.
14．
【分析】
根据三角形边长和角度，以为基底表示出，即可得.
【详解】
在中，，∴，
又因为，可得；
可得，
∵为的中点，
所以，由，
因此.
故答案为：
15．
【分析】
建立适当的平面直角坐标系，由向量的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：
小网格的边长为1，从而，
所以，从而，
所以.
故答案为：.
16．(1)，；
(2)
(3)
【分析】
（1）（2）由向量的线性运算法则求解；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【详解】（1）是中点，
，
；
（2），则，
；
（3）设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
17．(1)；
(2).
【分析】
（1）根据给定的图形，结合向量的线性运算计算即得.
（2）利用（1）的结论及已知，利用向量数量积的运算律求解即得.
【详解】（1）在中，点在线段上，且，
所以.
（2）由（1）知，，
，而，
因此，即，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）直接利用新定义计算即可；
（2）设，利用新定义计算，列方程组求解.
【详解】（1）
因为，，，
所以；
（2）
设，
因为，，
所以，
因为，所以，
解，得，即.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）由是边上的动点可知三点共线，根据共线定理即可得出证明；
（2）由分别是边的中点利用平面向量基本定理即可求得.
【详解】（1）证明：因为是边上的动点，
所以存在，使得，
所以.
令，则，
因为，所以，
所以.
（2）因为分别是边的中点，
所以，所以，
又，所以，即可得；
所以，
又，
所以.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用重心的性质及平面向量的线性运算得，再由平面向量数量积运算律计算即可；
（2）即，根据上问及中线性质结合平面向量数量积及模长求夹角即可.
【详解】（1）由题可知为的重心，则，
所以，
所以.
（2）因为为的中点，所以.
又，
所以
.
又，
所以.
又与，的夹角相等，
所以，所以的余弦值为.
21．(1)，.
(2)8
【分析】
（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.
（2）利用转化法化简，从而求得的长.
【详解】（1）
∵，，∴，
∴，∴，.
（2）
，
，
设，∵，，
，即，
解得（舍）或，∴长为8.
答案第1页，共2页
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