第四章指数函数、对数函数与幂函数 综合复习训练（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学必修第二册

第四章指数函数、对数函数与幂函数综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数的两个零点分别为m，n，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，，其中、为正数且，，则（ ）
A．对任意的和，都有
B．存在和，使得
C．，，，中大于1的数有奇数个
D．存在和，使得
6．函数为定义在上的奇函数，则等于（ ）
A． B．-9 C．-8 D．
7．方程的根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有2020个零点，则m的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．函数有3个零点
B．若函数有2个零点，则
C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则
D．关于的方程有5个不等实数根
10．已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）
A．当时，有2个零点 B．当时，至少有2个零点
C．当时，有1个零点 D．当时，可能有4个零点
11．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的递减区间是
C．的图象关于成中心对称
D．函数在上单调递增，则a的取值范围是
12．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立.
D．若实数满足，则
三、填空题
13．设命题p：关于x的方程的解为正解；命题q：函数是减函数.若p或q为真，p且q为假，则实数m的取值范围是 .
14．函数的定义域是 .
15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是，要使火箭的最大速度可达，则燃料质量与火箭质量的比值是 ．
16．我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为 ；若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，．
(1)若，求函数的不动点；
(2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围．
18．若函数为定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值，并判断函数的单调性；
(2)若对任意的实数，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
19．已知幂函数的图象与坐标轴无交点.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
20．已知函数满足：在定义域内存在实数，使得.设集合是满足上述性质的函数的全体.
(1)若，判断函数是否属于集合，并说明理由；
(2)设，若函数属于集合，求的取值范围；
(3)设，求证：对任意实数，函数均属于集合.
21．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：
0 10 40 60
0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.
(1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据题意转化为函数和的图象有两个交点，作出函数的图象，得到，进而求得的范围，得到答案.
【详解】由函数，令，即，
作出函数和的图象，如图所示，
因为函数由两个零点，则两个函数的图象有两个交点，其交点的横坐标分别为，
不妨设，可得，
则满足，所以，即，
所以.
故选：C.
2．A
【分析】利用幂指对函数的单调性可以判定，进而结合函数的单调性和偶函数的性质可以得到答案.
【详解】由对数函数的性质得，
由幂函数在(0,+∞)上单调递增，和指数函数在实数集R上单调递减，
且可知：，
∴,
又∵在单调递增，∴ ，
又∵是定义域为的偶函数，∴，
∴，
故选：A.
3．A
【分析】根据题意，以及指数和对数的函数的单调性，来确定a，b，c的大小关系.
【详解】解：是增函数
，
是增函数.
，
又
，
.
【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数和对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.根据题意，构造合适的对数函数和指数函数，利用指数对数函数的单调性判定的范围是关键.
4．A
【分析】画出函数的图象，根据图象分析，即可求解的取值范围.
【详解】由题意，函数，
画出函数的图象，如图所示，
设，则，即，可得，
当时，递减，且与轴交于点，
所以，且，
所以的取值范围为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式与图象，对数函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，其中解答中画出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用，属于中档试题.
5．BD
【分析】应用特殊值法：有、且，，，中大于1的数有偶数个；有，由此即可判断选项正误
【详解】由、为正数且，，若令，则，
∴根据选项中描述，知：A、C错误，B正确
当时，分类讨论如下
若：，有，而，即
若：取，，，，满足，故D正确
故选：BD
【点睛】本题考查了对数、指数比较大小，利用特殊值法排除错误选项即可
6．C
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而求出的值，由奇函数的性质分析可得答案.
【详解】根据题意，为定义在上的奇函数，
则有，解可得：，
则，
则；
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论的应用，考查计算能力，属于基础题.
7．B
【分析】设，求得，结合零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意，设，可得是上的增函数，
又由，，所以，
所以的零点在上，即方程的根所在的区间为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中熟记零点的存在定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．A
【解析】由函数的奇偶性，对称性及周期性，结合函数的图象的作法，分别求得函数和的图象，观察其交点的分布规律，即可求解.
【详解】由题意，函数为R上奇函数，所以，且，
又，可得，可得函数的图象关于点对称，
联立可得，所以是以2为周期的周期函数，
又由函数的周期为2，且关于点对称，
因为当时，，
由图象可知，
函数和的图象在上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，
要使得函数，在区间上有2020个零点，
其中都是函数的零点，
可得实数满足，即.
故选A.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性、对称性和周期性，以及结合函数的图象进行求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
9．BCD
【分析】
根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】
根据题意，函数，
由此作出函数的草图：
依次分析选项：
对于A：由图象易知与y轴有两个交点，故函数有2个零点，故A错误；
对于B：令，可得，
则函数的零点个数即为与的交点个数，
若函数有两个零点，由图象可知,，B正确；
对于C：若关于的方程有四个不等实根，则与有四个交点
不妨设，
由图象可得：,，且，，
所以，故C正确；
对于D：因为，解得或，
结合图象可知：有一个根，有四个根，
所以关于的方程有5个不等实数根，D正确．
故选:BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数图像及应用，关键是利用图像并结合对称性解决CD.
10．ABD
【分析】
根据的正负分类讨论，分别作出与的函数图象，一一分析计算即可.
【详解】设，函数的零点即的解，
若时，则时，，所以，
如图所示，显然有两个零点，故A正确，C错误；
若时，或，
当时，即时，只有两个零点，
当时，即时，有三个零点，
当时，即时，有四个零点，故B、D正确.
故选：ABD
11．AC
【分析】
由指数函数的单调性可判断A正确；由复合函数的单调性和对数函数的性质可判断B错误；对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图像的变换规律可得C正确；由复合函数的单调性可判断D错误.
【详解】A：因为，所以，故A正确；
B：设，因为在定义域上为增函数，则由复合函数的单调性和对数函数有意义可知，减区间为，故B错误；
C：，对称中心为，故C正确；
D：函数的对称轴为，因为函数在上单调递增，所以，即，故D错误；
故选：AC.
12．ABD
【分析】
选项A、B，先利用函数解析式得出结论：，由于，只需验证是否成立即可；选项B，需验证点和点关于点对称即可；选项C，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D，将不等式转化为的形式，借助函数单调性判断即可.
【详解】
对于A、B选项，对任意的，，
所以函数的定义域为，
又因为
，
由于，故A正确；
由于函数满足，
所以任意点和点关于点对称，
故函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C选项，对于函数，，
得该函数的定义域为，
，
即，所以函数为奇函数，
当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；
对于D选项，由，得，
因为实数a，b满足，所以，
同时函数在上为增函数，
可得，即，故D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】
分别解出当命题、命题为真时，对应的的取值范围，再由命题与一真一假,即可得出答案.
【详解】
命题:且，
为真,即且，解得：，且；
命题为真时，，解得：.
又若p或q为真，p且q为假，即p与q为一真一假，
①当真，假时，,无解；
②当假，真时，，解得.
所以.
故答案为：.
14．
【分析】
由对数函数定义域及被开方数为非负解不等式即可得结果.
【详解】由得解析式可得需满足，
解得；
所以其定义域为.
故答案为：
15．
【分析】
根据题意，列出方程，结合对数的运算法则，得到，进而得到答案.
【详解】
根据题意，可得，
所以，即，可得，
而，则，所以，即燃料质量与火箭质量的比值是.
故答案为：.
16． 2
【分析】
由题意可得，代入计算即可得，结合函数的单调性与对称性即可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数的图象关于点成中心对称，
所以，
即，
即，所以，
所以在定义域上单调递减，
令，
因为函数的图象关于点成中心对称，
所以的图象关于对称，
且单调递减，
因为，即，
即，也即，
所以，则，解得或，
故实数的取值范围是．
故答案为：2；.
17．(1)
(2)
【分析】
（1）令，即可得到，解得，从而求出即可；
（2）依题意可得在上有解，令，，则问题转化为在上有解，令，，根据单调性求出的取值范围，从而求出的取值范围.
【详解】（1）由“不动点”定义知：当时，，
所以，即，
解得或（舍去），所以，且
所以函数在上的不动点为.
（2）根据已知，得在上有解，
所以在上有解，
令，，
所以，即在上有解，
所以在上有解，
设，，则在上单调递增，故，
所以，可得，
又在上恒成立，
所以在上恒成立，则，则 ，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“不动点”的定义，将问题转化为方程有解问题.
18．(1)；增函数.
(2)
【分析】（1）根据奇函数性质得，解得的值；最后代入验证；利用单调性的定义判断证明；
（2）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.
【详解】（1）根据题意，可得，
即，解得，所以，
又，符合函数为奇函数.
在R上为增函数，证明如下：
设，且，
，
，，即，，，
，即，
所以函数为R上的增函数.
（2）因为对任意的，恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为为R上的奇函数，所以，
又为R上的增函数，所以上式转化为对任意的恒成立，
即，令，，
又，当且仅当时等号成立，
.
所以实数的取值范围为.
19．(1)；
(2)且.
【分析】
（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得.
（2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式.
【详解】（1）由是幂函数，得，解得或，
由的图象与坐标轴无交点，得，则，
所以的解析式是.
（2）显然函数是偶函数，且在上单调递减，
不等式，
因此，解得且，
所以原不等式的解集为且.
20．(1)不属于，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）代入以及计算并判断即可证明；
（2）由，代入计算可得，即关于的方程有实数解.分类讨论一元二次方程有实根即可求解的范围；
（3）代入建立等量关系可得，令，零点存在性定理分类讨论当时以及时解的情况即可证明.
【详解】（1）.
对任意实数，故函数不属于集合.
（2）显然函数的定义域为，
因为，可得：，
整理得.
即关于的方程有实数解.
当时，方程有实数解；
当时，由，得或.
综上，的取值范围是.
（3）由，得.
令.
当时，；
当时，.
根据零点存在定理，方程有实数解.
因此，对任意实数，函数均属于集合.
21．(1)选择，
(2)当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
【分析】
（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式.
（2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）
对于，当时，它无意义，所以不合题意；
对于，它显然是个减函数，这与矛盾；
故选择.
根据提供的数据，有，解得，
当时，.
（2）
国道路段长为，所用时间为，所耗电量为:
，
因为，当时，；
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为
，
当且仅当即时等号成立.
所以：
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，
该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页