2015年沪科版数学九年级上册单元梯度检测精品卷：（九）第23章解直角三角形单元梯度检测C卷

（九）第23章解直角三角形单元梯度检测C卷
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AD⊥AB于点A，tan∠DAC＝，则∠ABC的正弦值为……………………………………………………………………………【 】
A. B. C. D.
2.已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的一元二次方程（b＋c）x2－2ax＋b－c＝0有两个相等的实数根，且sinC·cosA＝cosC·sinA，则△ABC的形状为………………………………………………………………………………【 】
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
3.在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值为…………………………………【 】
A. B. 或 C. D. 或

4.已知为锐角，且sin是一元二次方程3x2－8x＋4＝0的一个根，则sin的值为【 】
A.2 B. C.2或 D.1或
5.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＋cosA＝，则sinB－cosB＝……………………【 】
A. B.± C.± D.
6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C在x轴负半轴上，∠AOC＝60°，AB＝2，则点B的坐标为…………………………………………………………【 】
A.（﹣2，2） B.（﹣3，2）
C.（﹣3，） D.（﹣2，）
7.在△ABC中， AC＝，BC＝，∠A＝45°，则AB＝…………………………【 】
A.或 B. C. D.1±
8.如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sinB＝，则BC的长为…………………【 】
A.3 B. C. 1＋ D. 1＋
9.如图，把一瓶易拉罐中的凉茶倒入一个圆柱形的水杯中，当水杯中的凉茶刚好在P点的位置与易拉罐接触，则此时水杯中凉茶的深度为（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数）…………………………………………………………………………【 】
A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
10.在一次地震抢险救援中，我省救援队探测出某楼房倒塌的废墟下方P点处有生命迹象，已知在废墟一侧地面上两个探测点M、N相距4m，探测线与地面的夹角分别是45°、60°，如图所示，则生命所在点P的深度为（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到0.1）………………………………………………………………………【 】
A. 2.2m B. 2.3m C. 2.4m D.2.5m
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝45°，∠B＝120°，AD＝DC＝4，四边形ABCD的周长为_________________________.21世纪教育网版权所有
12.在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，BE＝8，cos∠EAB＝，则BD＝_____________.
13.在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，CD＝10，AB＝20，则四边形ABCD的面积为_______________.21·世纪*教育网
14.我校九年级数学活动小组举行一次登山活动，他们从山脚下A点出发，沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，斜坡AB 的长为1000m，在A点测得B点的仰角为30°，在山顶C点测得B点的俯角为45°，斜坡BC的长为500m，A点的海拔高度为100m，则山顶C点的海拔高度为_______________________.

三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，已知：在△ABC中，AC＝4，AB＝7，BC的长是关于x的一元二次方程x2－5x＋n＝0的两个正整数根之一，试求sinA的值.www-2-1-cnjy-com
16.已知：在△ABC中，CD是AB边上的高，tanA＝sinB.
（1）求证：AD＝BC；
（2）若cos∠DCB＝，AB＝27，求CD的长.
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.已知：如图，在△ABC中，∠A、∠B满足＝0，且△ABC的面积为2，试求△ABC的周长.
18.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，点B的坐标为（﹣4，0），OA＝2，∠AOB＝60°.【版权所有：21教育】
（1）求A点的坐标；
（2）若直线与y轴交于点C，求△AOC的面积.
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝3，BC＝6，CD⊥AB于点D，试求CD的长.
20.根据指令[s，]（s≥0,0°＜＜180°），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y轴正方向.21教育名师原创作品
（1）若给机器人下一个指令[2,45°]，试求机器人应移到的点的坐标；
（2）请你给机器人下一个指令，使其移到点（﹣3，﹣3）.
六、（本题满分12分）
21.如图，某小区两栋住宅楼之间的距离AB＝30m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3m.某时刻甲楼在乙楼侧面的影长EB＝hm，太阳光线与水平线的夹角为.（1）求影长h（用含的式子表示），并写出的取值范围；（2）当＝30°时，甲楼楼顶D点的影子落在乙楼的第几层？若每小时增加10°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光？
七、（本题满分12分）
22.如图，在我国海南某海边浴场，救生员小李在距海岸线24m的P点处的瞭望台观察海面情况，发现其正北方向的海面M点处有人发出求救信号.他立即沿PM方向径直前往救援，同时通知正在海岸线巡逻的救生员小东，小东立即从N点处入海，径直向M处游去.小李在小东入海后6s赶到海岸线上的Q点处，再入海向M点处径直游去.已知NQ＝50m,点M在点N的北偏东35°方向，两人的游泳速度都是2m/s.【出处：21教育名师】
（1）小李在岸上的前进速度是多少？
（2）两人谁先到达M点处，请说明理由.（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
八、（本题满分14分）
23.如图，海面上一台风中心点A位于甲市点P的南偏西15°方向，距离为50km，且位于乙市点Q的正西方向，距离为20km，台风中心正以60km/h的速度沿东北方向移动，已知距离台风中心40km的范围内都会受到此次台风的影响.
（1）甲、乙两市是否会受到此次台风的影响？请说明理由；
（2）若受到此次台风的影响，则该市受此次台风影响的时间有多长？
参考答案
1.A 解析：如下图，取AC的中点E，连接DE，∵D为BC中点，∴DE∥AB，DE＝AB，又AB⊥AD，∴AD⊥DE，在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝，可设DE＝2x则AD＝3x，∴AB＝2DE＝4x，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝＝5x，∴sin∠ABD＝＝＝，∴A对.
2.D 解析：∵（b＋c）x2－2ax＋b－c＝0有两个相等的实数根，∴（2a）2－4（b＋c）（b－c）＝0，解得a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形且∠B＝90°，又sinC·cosA＝cosC·sinA，∴·＝·，解得a＝c，∴△ABC又是等腰三角形，∴△ABC是等腰直角三角形，∴D对. 21教育网
3.B 解析：若∠C＝90°，由勾股定理得AC＝＝＝4，∴cosA＝＝，若∠B＝90°，由勾股定理得AC＝＝＝，∴cosA＝＝＝，∴B对. 21·cn·jy·com
4.C 解析：解方程3x2－8x＋4＝0得x1＝2，x2＝，又∵为锐角，∴0＜sin＜1，∴sin＝，∴C对. 2·1·c·n·j·y
5.B 解析：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinA＝cosB，cosA＝sinB，又sinA＋cosA＝，∴cosB＋sinB＝，两边平方得cos2B＋2 cosB sinB＋sin2B＝，又cos2B＋sin2B＝1，∴2 cosB sinB＝－1＝，∴﹣2 cosB sinB＝﹣，∴cos2B－2 cosB sinB＋sin2B＝1－＝，∴（cosB－sinB）2＝，∴sinB－cosB＝±，∴B对.　　21*cnjy*com
6.C 解析：如下图，过点B作BD⊥x轴于点D，∵四边形OABC为菱形，∴AB＝BC＝CO＝2，BC∥AO，又∠AOC＝60°，∴∠BCD＝60°，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，∴BD＝BC×sin60°＝2×＝，又cos∠BCD＝，∴DC＝BC×cos60°＝2×＝1，∴DO＝DC＋CO＝2＋1＝3，∵点B在第二象限，∴B点坐标为（﹣3，），∴C对.
7.D 解析：当△ABC为锐角三角形时，如下图①，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，AC＝，∠A＝45°，sin∠A＝，∴CD＝ACsin∠A＝×＝1，cos∠A＝，∴AD＝ACcos∠A＝×＝1，在Rt△CBD中，由勾股定理得BD＝＝＝，∴AB＝AD＋BD＝1＋，当△ABC为钝角三角形时，如下图②，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，在Rt△ACD中，AC＝，∠A＝45°，sin∠A＝，∴CD＝ACsin∠A＝×＝1，cos∠A＝，∴AD＝ACcos∠A＝×＝1，在Rt△CBD中，由勾股定理得BD＝＝＝，∴AB＝AD－BD＝1－，∴D对. www.21-cn-jy.com
8.B 解析：如下图，在Rt△PNQ中，∠Q＝90°，∠PNQ＝∠APN＝60°，NQ＝15，∵tan∠PNQ＝，∴PQ＝NQ·tan60°＝15，在Rt△PAM中，∠A＝90°，∠APM＝30°， AP＝NQ＝15，∵tan∠APM＝，∴AM＝AP·tan30°＝5，∴MN＝AN－AM＝PQ－AM＝10，∴B对.
9.B 解析：如下图，过点P作PC⊥AB于点C，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，∠B＝30°，AB＝10，∴由cos∠B＝得PB＝AB×cos30°＝10×＝5，在Rt△CBP中，由sin∠B＝得CP＝BP×sin30°＝5×＝，∴此时水杯中凉茶的深度为12－≈8（m），∴B对. 【来源：21·世纪·教育·网】
10.C 解析：如下图，过点P作PQ⊥MN，交MN的延长线于点Q，在Rt△PMQ中，∠PMQ＝45°，tan∠PMQ＝，∴PQ＝MQ×tan45°＝MQ，在Rt△PNQ中，∠PNQ＝60°，tan∠PNQ＝，∴PQ＝NQ×tan60°＝NQ，∴NQ＝PQ，又MQ－NQ＝MN，∴PQ－PQ ＝1，解得PQ＝≈2.4（m），∴C对.

11. 12＋＋2 解析：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，在Rt△DAE中，∠A＝45°，AD＝4，sin∠A＝,∴DE＝AD×sin45°＝4×＝2，cos∠A＝,∴AE＝AD×cos45°＝4×＝2，又DC∥EF，∴四边形DEFC为矩形，∴DC＝EF＝4，CF＝DE＝2，∵∠ABC＝120°，∴∠CBF＝60°，在Rt△CBF中，∠CBF＝60°，CF＝2，sin∠CBF＝,∴CB＝＝＝， tan∠CBF＝,∴BF＝＝＝，∴EB＝EF－BF＝4－，∴AB＋BC＋CD＋DA＝2＋4－＋＋4＋4＝12＋＋2.
12. 解析：在Rt△AEB中，cos∠EAB＝＝，∴可设AE＝3a，AB＝5a，又BE＝8，由勾股定理得AE2＋BE2＝AB2，∴（3a）2＋82＝（5a）2，解得a＝2，∴AE＝6，AB＝10，又四边形ABCD为矩形，∴∠DAE＋∠BAE＝90°，又AE⊥BD于点E，∴∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，在Rt△ADB中，cos∠ADB＝ ＝cos∠EAB＝，∴可设AD＝3x，BD＝5x，又BA＝10，由勾股定理得AD2＋AB2＝BD2，∴（3x）2＋102＝（5x）2，解得x＝，∴BD＝5x＝5×＝.
13. 150 解析：如下图，分别延长AD、BC相交于点E，在Rt△ABE中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°，tan∠A＝,∴EB＝AB×tan60°＝20，∴S△EAB＝×AB×EB＝200，在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠E＝30°，tan∠E＝,∴ED＝＝＝10，∴S△ECD＝×CD×ED＝50，∴S四边形ABCD＝S△EAB－S△ECD＝200－50＝150.
14.（600＋250）m 解析：如下图，在Rt△ABD中，AB＝1000，∠A＝30°，sin∠A＝，∴DB＝ABsin30°＝1000×＝500，在Rt△CBE中，CB＝500，∠CBE＝45°，sin∠CBE＝，∴CE＝CB×sin45°＝500×＝250，∴山顶C点的海拔高度为250＋500＋100＝600＋250（m）.【来源：21cnj*y.co*m】
15.解：设方程x2－5x＋n＝0的两根为x1、x2，由韦达定理得x1＋x2＝5，x1x2＝n，∵两根为正整数，∴x1＝1，x2＝4，或x1＝2，x2＝3，或x1＝3，x2＝2，或x1＝4，x2＝1，∴BC＝1，2，3，4，又由三角形的三边关系可得7－4＜BC＜7＋4，即3＜BC＜11，∴BC＝4，如下图，过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝BC＝4，∴AD＝×AB＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得CD＝＝＝ ，∴sinA＝＝＝.21cnjy.com
16.解：（1）证明：在Rt△ACD中，tanA＝，在Rt△BCD中，sinB＝，∵tanA＝sinB，∴＝，∴AD＝CB；21*cnjy*com
（2）在Rt△BCD中，cos∠DCB＝＝，∴可设CD＝12x，CB＝13x，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝＝＝5x，由（1）得AD＝CB，∴AD＝13x，又AD＋BD＝AB，AB＝27，∴13x＋5x＝27，解得x＝，∴CD＝12x＝12×＝18.
17.解：∵＝0，∴cosA－＝0且sinB－＝0，∴cosA＝，且sinB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝CA，如下图，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC，在Rt△ABD中，tan∠A＝，∴AD＝BDtan60°＝BC×，又S△ABC＝×BC×AD，S△ABC＝2，∴×BC×BC×＝2，解得BC＝2，∴△ABC的周长为2×3＝6.
18.解：（1）如下图，过点A作AD⊥x轴于点D，在Rt△AOD中，OA＝2，∠AOD＝60°，sin∠AOD＝,∴AD＝AO sin60°＝2×＝， cos∠AOD＝,∴DO＝AO cos60°＝2×＝1，∵点A在第二象限，∴A点的坐标为（﹣1，）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵直线AB过点A（﹣1，）和点B（﹣4，0），∴代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x＋，当x＝0时，y＝，∴C点坐标为（0，），∴OC＝，过点A作AE⊥y轴于点E，∵A（﹣1，），∴AE＝＝1，∴S△AOC＝×OC×AE＝××1＝.
19. 解：如下图，过点B作BE⊥AC，交AC的延长线于点E，∵∠BAC＝120°，∴∠BCE＝60°，在Rt△BCE中，BC＝6，sin∠BCE＝,∴BE＝BCsin60°＝6×＝3，cos∠BCE＝,∴EC＝BCcos60°＝6×＝3，又AC＝3，∴AE＝AC＋CE＝3＋3＝6，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB＝＝＝3，在Rt△ABE中，sin∠EAB＝,在Rt△ACD中，sin∠CAD＝,∴＝,∴＝,∴CD＝ .
20.解：（1）如下图，由题意知OA＝2，过点A作AC⊥x轴于点C，则∠AOC＝90°－45°＝45°，在Rt△ACO中，sin∠AOC＝，∴AC＝AOsin45°＝2×＝，cos∠AOC＝，∴CO＝AOcos45°＝2×＝，又点A在第二象限，∴（﹣，），即机器人应移到的点的坐标为（﹣，）；
（2）如下图，过点B作BD⊥x轴于点D，∵B（﹣3，﹣3），∴DO＝3，BD＝3，在Rt△BDO中，由勾股定理得BO＝＝＝6，∴s＝6，在Rt△BDO中，tan∠BOD＝＝＝，∴∠BOD＝60°，∴＝90°＋60°＝150°，∴应给机器人下的指令为[6,150°]
21.解：（1）如下图，过点E作EF⊥AD于点F，则四边形EFAB为矩形，∴EF＝AB＝30，AF＝EB＝h，∠DEF＝，∴DF＝3×10－h＝30－h，在Rt△DEF中，tan∠DEF＝，∴tan＝，∴h＝30－30tan，其中的取值范围是0°＜≤45°；2-1-c-n-j-y
（2）当＝30°时，h＝30－30tan30°＝30－30×≈12.7，∵12.7÷3≈4.2，∴甲楼楼顶D点的影子落在乙楼的第5层.当甲楼楼顶D点的影子落在B点时，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，此时AB＝AD＝30，则△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴＝1.5（h），∴从此时起经过1.5h后甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光.
22.解：（1）24÷6＝4（m/s）.答：小李在岸上的前进速度是4m/s.
（2）小李先到达M点处，理由如下：在Rt△MNQ中，∠MNQ＝90°－35°＝55°，∠MQN＝90°，NQ＝50，tan∠MNQ＝,∴MQ＝NQtan55°≈50×1.43＝71.5，cos∠MNQ＝,∴MN＝≈≈87.7，小李前往救援所需时间为＋6＝41.75（s），小东前往救援所需时间为＝43.85（s），∵41.75＜43.85，∴小李先到达M点处.
23.解：（1）甲市不会受此次台风影响，乙市会受此次台风影响，理由如下：如下图，台风中心移动路线为射线AM，过点P作PC⊥AM于点C，过点Q作QD⊥AM于点D，由题意知，∠PAC＝45°－15°＝30°，AP＝50，在Rt△APC中，sin∠PAC＝，∴PC＝PAsin30°＝50×＝25＞40，∴甲市不会受此次台风影响，在Rt△AQD中，∠QAD＝45°，AQ＝20，sin∠QAD＝，∴QD＝QAsin45°＝20×＝20＜40，∴乙市会受此次台风影响；
（2）如下图，设台风中心到E点时乙市刚受影响，到F点时影响刚结束，则QE＝QF＝40，在Rt△QED中，sin∠QED＝＝＝，∴∠QED＝60°，∴△QEF为等边三角形，∴EF＝QE＝40，∴＝（h）.∴乙市受此次台风影响的时间为h.