第六章平面向量初步 综合复习训练（含解析）2023——2024学年人教B版（2019）高中数学必修第二册

第六章平面向量初步综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在四边形ABCD中，，则（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
3．已知点在线段上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）
A．1 B． C． D．
5．若，，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，若，，则＝（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列各组向量中，一定能推出的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．下列结果恒为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法中，正确的是（ ）
A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量
B．若向量 满足 与同向，则
C．的充要条件是 与重合，与重合
D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件
12．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．如图，在正六边形ABCDEF中， ．
14．如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则= .

15．在平行四边形中，为坐标原点，，，点在函数的图象上，则实数的值为 .
16．如图，在正方形ABCD中，设，,，则在以为基底时，可表示为 ，在以为基底时，可表示为 .

四、解答题
17．如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，.
(1)用分别表示向量，;
(2)求证:B，E，F三点共线.
18．在平行四边形中，．

(1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
(2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
19．已知平面上三点，，且，．
(1)若三点，，不能构成三角形，求的值；
(2)若为直角三角形，求的取值集合．
20．如图所示，O是正六边形的中心.

(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
21．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
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参考答案：
1．C
【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．
【详解】因为分别是边的中点，点为的重心，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确
对于D，，故D错误.
故选：C.

2．D
【分析】
运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得.
【详解】
对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形.
故选：D.
3．C
【分析】根据题意，画出草图，可明确两向量的关系.
【详解】因为点在线段上，且.
根据题意，可得图形：
可设，则，，
且与方向相反，所以.
故选：C
4．A
【分析】取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可.
【详解】在中，取为基底，则.
因为点、分别为的中点，
，
，
故选：A
5．B
【分析】利用向量的坐标运算求解即可
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
6．A
【分析】
结合图形，将和分别用和，和表示，代入方程即可求解.
【详解】
如图，因，则，即，
解得：.
故选：.
7．D
【分析】
利用圆的性质，结合向量加法的平行四边形法则求解即得.
【详解】
连接，由点C，D是半圆弧的三等分点，得垂直平分，且是正三角形，
于是四边形是菱形，所以.
故选：D
8．A
【分析】
解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示，
解法二：以为原点，分别为轴的正方向建系，由，结合坐标运算，求得，可表示．
【详解】
解法一：依题意①，②，③，
由②③式解得，，
代入①式得．
解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，则，
由，有，
有，解得，得．
故选：A．
9．ABC
【分析】
根据共线向量定理，即可判断选项.
【详解】A.，即，故A正确；
B. ，即，故B正确；
C. ，，则，故C正确；
D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误.
故选：ABC
10．BCD
【分析】
根据向量的线性运算即可.
【详解】
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11．AD
【分析】
根据向量的基本性质，基本概念，以及向量平行和零向量的定义，逐项分析即可.
【详解】
对于A,因为两个非零向量 满足，
则，且，故方向相反，
则是互为相反向量，故A正确；
对于B，因为向量不能比较大小，故B错误；
对于C， 若与重合，与重合，则，
则充分性成立，
但，根据向量的可平移性，
不一定有与重合，与重合，必要性不成立，
故C错误；
对于D，模为0的向量是零向量，故其方向不确定；
一个向量方向不确定，是零向量，其模为0,
故模为0是一个向量方向不确定的充要条件，
则D正确，
故选：AD.
12．ABC
【分析】
根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】
对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选：ABC.
13．
【分析】
根据正六边形的性质与平面向量运算即可得答案.
【详解】由题意，根据正六边形的性质
.
故答案为：
14．.
【分析】
利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】
.
因为D是边BC的中点，所以.
所以.
故答案为：.
15．或
【分析】
结合平行四边形性质、向量的线性运算及对数运算法则计算即可得.
【详解】由平行四边形性质可得，
则，
又点在函数的图象上，所以，
解得或，经检验及两个值都成立.
故答案为：或，
16．
【分析】
利用向量加法原则求解.
【详解】以为基底时，由平行四边形法则得,
以为基底时，
故答案为：；.
17．(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得.
（2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可.
【详解】（1）在中，由D是BC的中点，得，
而，于是
又F是AC的中点，所以.
（2）由（1）知，，因此，
即，而有公共点，所以B，E，F三点共线.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可；
（2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.
【详解】（1）因为分别是的中点，
所以，
.
（2）因为是与的交点，是的中点，
所以，
.
19．(1)
(2)．
【分析】（1）根据题意，分析可得向量，由向量平行的判断方法可得答案；
（2）根据题意，分类讨论三个内角分别是直角时的值，从而得到答案.
【详解】（1）因为三点不能构成三角形，所以，，在同一条直线上，
，，解得．
（2）由题意得，．
当是直角时，，,,解得；
当是直角时，，,,解得或；
当是直角时，，,,解得．
综上所述，的取值集合为：．
20．(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论.
（2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论.
（3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论.
【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23个.
（2）存在，由正六边形的性质知，，
所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
（3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
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