5.3.2函数的极值与最大（小）值
1.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值.
2.理解函数的最值的概念，会用导数求在给定区间上函数的最值.
3.体会导数在解决实际问题中的作用,能利用导数解决简单的实际问题.
一、函数的极值
1.极值的概念：若函数在点附近有定义，
如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作；
如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作；
极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
2.求可导函数极值的步骤
求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．
二、函数的最值
1.最值的概念：
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
2.求可导函数最值的步骤：
求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
三、函数的最值与极值的关系
1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
考点01函数(导函数)图象与极值的关系
1．若，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对比选项可知，由题意，（）是函数的零点，（）都是函数的极值点，由此可以排除A，C；进一步对和0的大小关系分类讨论，得出函数在处附件的增减变换情况即可.
【详解】对比各个选项可知，
由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点，
令，
可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C；
若，则函数的图象形状为增减增，
具体为在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合；
若，则函数的图象形状为减增减，
具体为在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合．
故选：B.
2．（多选）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间是
B．函数的单调递增区间是，
C．处是函数的极值点
D．时，函数的导函数小于0
【答案】BD
【分析】综合应用函数的单调性与导函数的关系即可解决.
【详解】根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误；
对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确；
对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点，
是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误；
对于D项，，故D正确.
故选：BD.
3．（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有两个极值点 B．为函数的极大值
C．有两个极小值 D．为的极小值
【答案】BC
【分析】根据的图象，得到的单调性和极值情况，得到答案.
【详解】根据的图象，可得
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
AC选项，在和1处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点，
A错误，C正确；
B选项，为函数的极大值，B正确；
D选项，不为函数的极小值，D错误.
故选：BC
4．（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（ ）
A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数
C．在时取极小值 D．在时取极小值
【答案】BC
【详解】根据图象得到的符号，即可得到的符号，进而得到的单调性和极值.
【分析】结合图像可知，当时，当时，，
当时，，
，因，
故当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
故在处取得极小值，在处取得极大值，
故选：BC
5．（多选）函数的图象如图，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由和为方程的两根得出，由不等式的性质判断BCD.
【详解】由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，在处取得极小值，又，
即和为方程的两根且，
由韦达定理得，，故A正确，B正确；，故C正确，D错误，
故选：ABC.
6．已知函数，其导函数的图象经过点，如图，则下列说法中不正确的是 填序号
①当时，函数取得最小值；
②有两个极值点；
③当时函数取得极小值；
④当时函数取得极大值．
【答案】①
【分析】由函数图象分析得到是极大值点，是极小值点，从而判断出结论.
【详解】由图象可知，，2是函数的两极值点，所以②正确；
又当或时，，则此时单调递增；
当时，，则此时单调递减，
所以是极大值点，是极小值点，故③④正确，
由于不是极小值点，故当时，函数取不到最小值，①错误.
故答案为：①．
考点02求已知函数的极值和最值
7．函数在上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12， B．5， C．5， D．12，
【答案】C
【分析】将函数求导，得到导函数零点，在函数定义域上分析讨论函数的单调性，再考虑区间的端点值，即得函数的最值.
【详解】由求导得：，
令可解得：或，因，故，
由可解得：，由可解得：，
故函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数；
又，故当时，函数.
即函数在上的最大值和最小值分别是.
故选:C．
8．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个单调区间 B．有两个极值点
C．有最小值 D．有最大值e
【答案】AC
【分析】求出导函数，结合导函数的正负分析原函数的单调性，进而得出极值最值情况.
【详解】由已知得，
由解得，由解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
∴只有一个极值点，且在处取得极小值也是最小值，无最大值，
故选：AC．
9．函数的极大值为 ．
【答案】/
【分析】利用导数求解极值即可.
【详解】，当时，，当时，．
所以的极大值为．
故答案为;
10．设为实数，函数．求的极值.
【答案】极大值为，极小值为
【分析】利用函数的导函数符号确定函数单调性，即得函数的极大极小值.
【详解】函数的定义域为R，，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
故函数的极大值为，极小值为.
11．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数；
(2)
【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
【详解】（1）的定义域为，
当时，，，
当，解得：，
当，解得：．
在上为增函数；在上为减函数；
（2）的定义域为，
，
当时，令，得，令时，得，
的递增区间为，递减区间为．
.
12．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值.
【答案】(1)极大值为，没有极小值
(2)0
【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断函数单调性，即可求得极值；
（2）求出函数的导数，构造函数，利用其最值，判断导数的正负，从而判断函数单调性，即可求得在上的最小值.
【详解】（1）当时，，定义域为，，
令，则，变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值；
（2）当时，，定义域为，
，
令，定义域为，，
则在上是增函数，则，所以，
即在上是增函数，则.
考点03利用导数解决实际问题
13．如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出容器的高，求出容器容积的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设容器的高为，则容器底面正三角形的边长为，
则三棱柱形容器容积，
求导得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，.
故选：C
14．某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为 .
【答案】8
【分析】根据题意，作出圆锥的轴截面，构造正四棱柱体积的函数，利用导数求其最大值即可.
【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，
如图，借助于圆锥的轴截面，由题意可得：，
设底面对角线，则，
可得，
故该正四棱柱体积，
构建，则，
∵，当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，故该正四棱柱体积的最大值为（）.
故答案为：8.
15．（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积；
（2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解.
（2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解.
【详解】（1）如图所示：
由题意母线长为正方形边长，即，
圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，
不妨设圆锥底面半径为，所以，解得，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
（2）由题意不妨设，则，所以，
所以圆柱的体积可表示为，
求导得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当圆柱的体积最大时，此时矩形的面积为.
16．已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）．
(1)将利润（元）表示为产量的函数；
(2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)当产量为200时，利润最大，可获得最大利润为315万元．
【分析】（1）根据题意列式求出关于利润的表达式；
（2）利用导数求出函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，
，
（2）因为，由，解得．
当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以当时，取得最大值，且最大值为315万元．
答：当产量为200时，可获得最大利润为315万元．
17．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
(2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元
【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数；
（2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值.
【详解】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.
因此本年度的年利润
.
（2）本年度的年利润为
，
则，
令，解得或(舍去).
当时，，当时，，
所以时，有最大值.
所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.
考点04已知函数的极值（点）求参数
18．已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
【答案】B
【分析】利用导数与极值的定义得到关于的方程组，从而求得，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解.
【详解】由，得，
因为时，取得极值0，
所以，解得或，
当时，，
此时函数在在处取不到极值；
经检验时，函数在处取得极值0，满足题意；
所以，所以.
故选：B.
19．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为方程在有两个不相等实根，即有两个不同的交点，令，利用数形结合法求解．
【详解】解：，则，
要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，
只需方程在有两个不相等实根．
即，令，则．
当，，
当，，
在递增，在递减，当，，
，
其图象如下：
，．
故选：D．
20．已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，由求解即得.
【详解】由，得，
∵在，上为增函数；上为减函数,
∴两根分别位于和中，
得，即，解得.
故选：B
21．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可.
【详解】的定义域为，，
要函数在上有极值，
则在上有零点，即在上有实数根.
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，函数单调递增，
则函数在上没有极值，
故.
故选:D.
22．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据极值的定义，结合充分不必要条件的性质进行判断即可.
【详解】，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此是函数的极大值点，要想在在区间上存在极值，
只需，显然四个选项中，只有能推出，
但是推不出，
故选：A
23．已知函数在处取得极大值2．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由在上取得极大值转化为，联立方程组可得；
（2）函数求导研究其在上的单调性，得出极值并比较与端点处的函数值即可求出其最值.
【详解】（1）由，得.
因为在上取得极大值2，
所以解得
验证：当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故在函数在处取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，，
当，单调递减；
当时，单调递增；
当时， 单调递减；
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值；
又因为，
所以在上的最大值为，最小值为.
24．已知函数在处有极值0，求的值．
【答案】
【分析】令，求导后，根据题意可得，求解，检验后可得解.
【详解】令，则
在处有极值0 ,
,即,解得,
，
所以当时,,函数单调递增；
当时,,函数单调递减；
当时,,函数单调递增.
所以是函数的极大值点, 符合题意,
所以,则.
考点05已知零点个数求参数
25．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数零点问题转化成两函数图像交点，再利用导数与函数单调性间的关系，得出，根据图像即可解决问题.
【详解】因为，令，即，则，
所以函数在上有两个不同的零点等价于曲线和在上有两个不同的交点，
设，，则，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，，且时，，
其图像如图所示，
故的取值范围为.
故选：C.
26．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数、导数研究的性质并画出草图，将问题化为与的图象有3个交点，数形结合确定参数范围.
【详解】当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增.
当时，.
当时，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
当时，.
画出函数的图象如图所示：
因为函数有3个零点，
所以与的图象有3个交点，由图知：.
所以的取值范围为.
故选：B
27．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有且只有两个零点，求的值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)或．
【分析】（1）由出，分类讨论确定和的解得增区间和减区间；
（2）由（1）得两个极值点有一个是零点，解方程即得．
【详解】（1），
时，恒成立，在上是增函数，
时，由得或，由得，
增区间是，，减区间是，
时，由得或，由得，
增区间是，，减区间是；
（2）因为时，，时，，
所以有且只有两个零点，由（1）可得或且，
，，
．，
综上，或．
28．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出导数，计算出切点及斜率，写出直线方程即可;
（2）利用导数求出单调区间以及极值，要使函数有三个不同的零点，只需满足计算即可.
【详解】（1）当时，，．
所以，，
所以切线l：，即
（2）
令，得或．
当或时，；当时，．
∴的增区间为，；减区间为．
∴的极大值为，的极小值为．
∴，解得：．
此时，，所以函数有三个不同的零点，所以．
29．已知函数．
(1)当时，求的图像在点处的切线方程；
(2)若函数有一个零点，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助导数的几何意义即可得；
（2）将函数零点问题转化为方程的根的问题，再转化成两个函数图象的交点问题，借助导数研究函数的单调性及值域即可得.
【详解】（1）当时，，，，
所以，所以切线方程为，即．
（2）由，得，所以．
令，，所以，
令得，当时，，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值，
的大致图像如图，
要使函数有一个零点，即直线与的图像有一个交点，
则或，解得或，
所以k的取值范围为．
30．已知函数，.若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
【答案】
【分析】将零点问题转化为交点问题，利用导数分析的单调性以及极值情况.
【详解】当时，显然不满足题意，
当时，若函数只有一个零点，
即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为
只有一个根，
即直线与函数（且）的图象只有一个交点.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
在时有极小值，图象如图所示：
由图可知：若要使直线与函数的图象只有一个交点，
则或，
综上.
考点06已知最值求参数
31．已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数讨论函数的性质，作出函数图形，由题意，结合图形可得，即可求解.
【详解】，，
令得，
且时，；时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，令时，解得或，
所以其图象如下：
由图可知，时存在最小值，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：
32．已知函数的最小值为0，则a的值为 .
【答案】/0.5
【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值.
【详解】由，且，
令，则，即在上递增，
所以在上递增，又，，，，
所以，使，且时，，
时，，所以在上递减，在上递增，
所以
由，得，
令函数，，
所以在上是增函数，注意到，所以，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组，消a得到关于的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.
33．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得答案；
（2）对求导，得到的单调性，可得，再令，证得，即，可得出答案.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
则，则，，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
34．设.当时，在上的最小值为－，求在该区间上的最大值.
【答案】
【分析】通过导数判断单调性，得到，从而可得，进而可得.
【详解】由题，，
因为，则其对应判别式为：，
令得两根，显然，
令，解得或；令解得；
所以在上单调递减，在上单调递增.
又注意到，当时，有 ，
则在上递增，在上递减.
所以在上的最大值为.
，注意到，即，
所以在上的最小值为，
从而在上的最大值为.
35．已知函数，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值；
(2)当时，的值域为，求的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）求出函数的导函数，代入计算可得；
（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、两种情况讨论，求出函数的最小值，从而求出参数的值.
【详解】（1）因为，所以．
依题意，解得．
（2）由（1）可得，则．
令函数，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，，所以当时，，即；
当时，，即．
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，在上的最小值为，解得，舍去．
当时，在上的最小值为，解得，
此时，，，
即当时，符合题意．
综上，的值为2．
36．已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）直接求导代入得到，再验证即可；
（2）计算出，，再比较两者大小即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为是函数函数的极值点，
所以，
，此时，
所以在上，在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点，
故所求的值为12.
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
因为，所以，所以，所以的取值范围.
考点07恒成立问题
37．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.
【详解】由于函数，定义域为R，满足，
得是奇函数，且在R上为减函数.
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，即a的取值范围为，
故选：D.
38．设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用函数存在两个极值点，转化为函数的导函数在上有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，用字母表示出，，然后把写成关于的函数，求该函数的最小值即可得到问题答案.
【详解】函数的定义域为：，且，.
因为函数存在两个极值点，
所以方程：在有两个不同的解，
所以：，
且，.
所以：.
设，
则，由，得，由得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为：.
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：该问题先利用函数存在两个极值点，把问题转化为二次函数在给定区间上有两个不相等的实数根的问题，再利用一元二次方程根与系数的关系，用字母把，表示出来，再构造新函数，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值即可.
39．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数，构造新函数求导判单调性求值即可求解.
【详解】不等式可变形为．
设，
则．
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
40．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意将不等式变形为，利用导数研究函数的单调性求出即可求解.
【详解】因为，不等式可变形为．
设，则．
当时，，所以函数在上单调递增．
则，所以．故正实数的取值范围是．
故答案为：
41．已知函数和都存在最小值．
(1)讨论函数的单调性：
(2)若函数在上均恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)在上为减函数，在上为增函数
(2).
【分析】（1）求出，利用导数求出函数的单调区间；
（2）分离参数可得在上恒成立，求最小值，即可得出a．
【详解】（1）的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
由的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数.
（2）由题意知，，即在上恒成立，
即在上恒成立
设，则，
当，，在单调递减;
当，，在单调递增;
故，所以．
由（1）得，
由题意，即，
得，
综上所述可得：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值.
42．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)对，恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)递增区间为；
(2).
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间即得.
（2）取特值判断，再借助（1）中信息及不等式性质可得，然后利用导数探讨的情况即得.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
令，求导得，
当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，
，即，，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，即函数的递增区间为.
（2）依题意，，则，
由（1）知，当时，恒成立，
当时，，，
则，因此；
当时，求导得，令，
求导得，当时，，
则函数，即在上单调递减，当时，，
因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
所以a的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以按参数值分段讨论，利用导数结合函数零点探讨函数值正负即可作答.
43．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由给定条件求出的导数，进而求得切线斜率即可得解；
（2）分离参数得，设，利用导数得，可得a的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），由，得，
设，则，
令，得，
则时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
故，故,
即实数a的取值范围为.
基础过关练
1．函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，再根据极大值与导数的关系即可得到答案.
【详解】，当时，，
当时，.
所以的极大值为.
故选：B.
2．己知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用导函数图象可得出原函数图象的单调性，即可得出函数的极小值点的个数.
【详解】根据导函数的图象可知，有三个变号零点，
则可得函数在上的单调性为先增再减，再增又减，
所以函数的极小值点的个数为1个.
故选：A
3．已知函数在处有极大值，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果.
【详解】，，
∴或，
当时，，
令，得或；令，得；
从而在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以在处有极小值，不合题意，
当时，经检验，满足题意；
综上，.
故选：C
4．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤
【答案】A
【分析】销售利润为,根据得．可得，利用导数研究其单调性即可得出．
【详解】设销售利润为，得，，
当时，，解得．
，
，
函数在上单调递增，在上单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，
故选：A
5．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．有2个极大值点
D．只有1个极小值点
【答案】ABD
【分析】根据导函数图象与函数单调性以及极值的关系一一分析即可.
【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，A，B均正确.
当时，，当时，，当时，，
所以的极大值点为，的极小值点为，C错误，D正确.
故选：ABD.
6．（多选）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
【答案】AC
【分析】利用导数分析函数的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项；画出函数大致图象，结合图象即可判断D选项.
【详解】因为，，
所以，
令，即；令，即，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，
则，故D错误.
故选：AC.
7．已知函数是上的增函数，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由函数单调性得恒成立，分离参数后构造函数求最值即得.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，即：.
令，则，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，
要使恒成立，则，故的最小值为.
故答案为：.
8．函数在区间上的极大值点是 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点.
【详解】因为，，所以，
令，即，解得，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即极大值点为.
故答案为：
9．已知函数f （x）＝在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】运用导数研究函数的极大值点,根据已知条件满足求解即可.
【详解】因为，
令，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，极大值，
又因为在上有极值，
所以，
所以.
故答案为：.
10．已知函数，求的最小值.
【答案】0
【分析】求出函数的定义域，得出导函数.根据导函数得出函数的单调区间，求出极值点，进而得出答案.
【详解】由已知可得，定义域为，
且.
当时，有，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.
11．已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．
(1)当时，求的极值；
(2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围．
【答案】(1)极小值为0，无极大值
(2)
【分析】（1）求导，即可得函数的单调性，进而可由极值点定义求解，
（2）构造函数，利用导数求解最值即可.
【详解】（1）当时，，∴，
由得，故的单调递增区间为；由得，
故的单调递减区间为；
所以函数有极小值为，无极大值．
（2）当时，不等式化简为，令，则；
令得，
∴在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，
又，所以．
12．已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)若关于的方程在区间只有两解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对函数求导并，由此解得
（2）研究函数在区间单调性，结合端点值，确定实数的取值范围即可.
【详解】（1）由题意知：，
解得：
（2）由（1）知，，，
当函数单调递增；
当函数单调递减；
所以当时，在区间只有两解，
故实数的取值范围为.
能力提升练
1．已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【分析】由单调性可得，求得值，验证求极值即可.
【详解】函数，
由在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则函数在处取极小值，
所以有，由，
得，解得，
则有，
由，得只有一个根，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；故当时，满足题意，
所以有极小值，且极小值.
故选：A.
2．若函数有极大值，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对函数求导后，分，，和四种情况讨论即可.
【详解】由，得，
当时，，则在上递增，所以无极值，
当时，，则在上递减，所以无极值，
当时，由，得，当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以时，取得极大值，
当时，由，得，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
综上，当时，有极大值，
故选：B
3．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意画出截面图，设相应的变量，建立函数，利用函数导数求解最值即可求解.
【详解】作经过球心的截面，如图所示，
设为球心，矩形为圆柱的轴截面，
为圆柱底面圆的直径，为球的半径，
设，则，
则圆柱的体积为：，
所以，令，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以当该圆柱的体积取最大值时，的值为，
所以.
故选：D.
4．（多选）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若，则在上的最小值为0
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
【答案】AB
【分析】根据为函数的极值点可对A判断；由可求得即可对B判断；由在上单调递减等价于在区间上恒成立，即可对C判断；由在上恒成立等价于，构造函数，，再利用导数从而求出，即可对D判断．
【详解】对于A，由，得，因为是函数的极值点，
所以，得，经检验是函数的极小值点，故A正确．
对于B，由选项A，由，得，可知，
则，由，得，由，得，
所以在递增，在上递减，
所以当时，时，取得最小值，故B正确．
对于C，因为在上单调递减，所以，即，
得在上恒成立，令，则，
所以在单调递增，所以，即，所以，故C不正确．
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，
即在上恒成立，令，，则，
所以在上单调递增，所以，所以，故D不正确．
故选：AB．
5．已知若存在，使得成立，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值.
【详解】因则，
由知时，，即函数在上单调递增.
由可得：且,故得：，
则，不妨设，则，
故当时，，递增，当时，，递减，
即，故的最大值为.
故答案为：.
6．已知，若对任意，都有，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】对求导，求出的最值，由任意，,，都有，可得，再求出的范围即可．
【详解】由，得，
令，则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调减，在上单调增，
所以，
所以，
因为对任意，，都有，
所以只需，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
7．设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.
【详解】（1）函数的定义域为.
将代入，解得，即，
由切线方程，则切线斜率.
故，解得.
（2）证明：由（1）知，
从而等价于.
设函数，则.
所以当时，，当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为.
设函数，
从而在上的最大值为.
故，即.
8．设函数，
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若是的极大值，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）依题意，，分，，，讨论即可.
【详解】（1）若，则，所以，故，
又，所以在处的切线方程．
（2）由题意，从而，
①当时，，所以，
从而在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，满足题意；
②当时，，所以或，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
从而是的极大值点，满足题意；
③当时，，所以在上单调递增，不合题意；
④当时，，所以或，，
从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围是．5.3.2函数的极值与最大（小）值
1.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值.
2.理解函数的最值的概念，会用导数求在给定区间上函数的最值.
3.体会导数在解决实际问题中的作用,能利用导数解决简单的实际问题.
一、函数的极值
1.极值的概念：若函数在点附近有定义，
如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作；
如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作；
极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
2.求可导函数极值的步骤
求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．
二、函数的最值
1.最值的概念：
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
2.求可导函数最值的步骤：
求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
三、函数的最值与极值的关系
1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
考点01函数(导函数)图象与极值的关系
1．若，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间是
B．函数的单调递增区间是，
C．处是函数的极值点
D．时，函数的导函数小于0
3．（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有两个极值点 B．为函数的极大值
C．有两个极小值 D．为的极小值
4．（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（ ）
A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数
C．在时取极小值 D．在时取极小值
5．（多选）函数的图象如图，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，其导函数的图象经过点，如图，则下列说法中不正确的是 填序号
①当时，函数取得最小值；
②有两个极值点；
③当时函数取得极小值；
④当时函数取得极大值．
考点02求已知函数的极值和最值
7．函数在上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12， B．5， C．5， D．12，
8．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个单调区间 B．有两个极值点
C．有最小值 D．有最大值e
9．函数的极大值为 ．
10．设为实数，函数．求的极值.
11．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最大值．
12．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值.
考点03利用导数解决实际问题
13．如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为 .
15．（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积；
（2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.
16．已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）．
(1)将利润（元）表示为产量的函数；
(2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？
17．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
(2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
考点04已知函数的极值（点）求参数
18．已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
19．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知函数在处取得极大值2．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值．
24．已知函数在处有极值0，求的值．
考点05已知零点个数求参数
25．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有且只有两个零点，求的值．
28．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
29．已知函数．
(1)当时，求的图像在点处的切线方程；
(2)若函数有一个零点，求k的取值范围．
30．已知函数，.若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
考点06已知最值求参数
31．已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
32．已知函数的最小值为0，则a的值为 .
33．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.
34．设.当时，在上的最小值为－，求在该区间上的最大值.
35．已知函数，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值；
(2)当时，的值域为，求的值．
36．已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
考点07恒成立问题
37．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
39．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
40．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
41．已知函数和都存在最小值．
(1)讨论函数的单调性：
(2)若函数在上均恒成立，求a的取值范围．
42．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)对，恒成立，求a的取值范围.
43．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
基础过关练
1．函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
2．己知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数在处有极大值，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
4．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤
5．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．有2个极大值点
D．只有1个极小值点
6．（多选）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
7．已知函数是上的增函数，则的最小值为 .
8．函数在区间上的极大值点是 .
9．已知函数f （x）＝在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是 .
10．已知函数，求的最小值.
11．已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．
(1)当时，求的极值；
(2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围．
12．已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)若关于的方程在区间只有两解，求实数的取值范围.
能力提升练
1．已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
2．若函数有极大值，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若，则在上的最小值为0
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
5．已知若存在，使得成立，则的最大值为 .
6．已知，若对任意，都有，则实数t的取值范围是 ．
7．设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.
8．设函数，
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若是的极大值，求a的取值范围．
