第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试卷
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若直线是曲线（）的一条切线，则实数b的值为（ ）
A．4 B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求得曲线的导函数，由导函数几何意义及直线方程可求得切点坐标，再代入直线方程即可求得b的值.
【详解】∵的导数，∴令，得，∴切点为．
代入直线，得，即 ．
故选：C
2．如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将容器看做一个球体，根据 的实际意义求解.
【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的 时间，
高度 的变化较大，即 较大，即函数 的导数值较大，到水注入球体的一半
时，由于球体的截面积较大， 的变化率较小，接近于球体的顶端时， 的变化率又较大；
故选：D.
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出导函数，由得减区间．
【详解】函数定义域是，
由已知，由得，∴减区间为，
故选：A．
4．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
5．记函数的导函数为，且函数，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】求导得，代入求得，再代入即可.
【详解】，则，
即，解得，
，
故选：D.
6．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定图象，求出和的解集，再求解给定不等式作答.
【详解】由题图可知，且当和时，，
当时，，则原不等式等价于，
等价于或，
等价于或，
解得:或或．
故选：D．
7．若函数在单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，则将问题转化为在上恒成立，然后利用二次函数的性质可求得结果.
【详解】因为，所以，
因为在单调递减，所以，
即，
令，所以在上恒成立，
令，，
故，即，解得，
故选：C.
8．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项.
【详解】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.
对于A，直线的斜率为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故C正确；
对于D，直线的斜率为，故D错误.
故选：AC.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为上的单调函数，则
B．若时，在上有最小值，无最大值
C．若为奇函数，则
D．当时，在处的切线方程为
【答案】BCD
【分析】A选项利用导数恒正或恒负可解得；B选项求导，判断单调区间和单调性得出极值；C选项利用奇函数的性质求出；D选项利用导数的意义结合点斜式求出.
【详解】A：若为上的单调函数，则，，则，故A错；
B：当时，，令，得，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，无最大值，故B对；
C：由于，则为奇函数时，，故C对；
D：当时，，，则，切点为，切线方程为，故D对；
故选：BCD．
11．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．恰有一个极大值
C．当时，无实数解
D．当时，有三个实数解
【答案】BCD
【分析】分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB，利用极值判断方程的实根个数判断C，利用数形结合思想判断D．
【详解】对于A，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，在上单调递增，A错误；
对于B，由以上讨论知是的极大值点，B正确；
对于C，当时，，当时，，所以当时，无实数解，C正确；
对于D，当时，，由以上讨论知当时，．而，作出的大致图象如图所示．如图可知，有三个实数解，所以有三个实数解，D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为 .
【答案】1
【分析】利用导数求出切线的斜率，得到切线方程，求出与坐标轴交点即可得解.
【详解】由题意可得，
则，，
故的图象在处的切线方程为，即.令，
得；令，得，则所求图形的面积为.
故答案为：.
13．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】因为，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
即，所以，
故答案为：.
14．已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先利用导数求极大值，再利用极大值不小于1列不等式组即可求解.
【详解】由已知可得，函数的定义域为．
①当时，在内恒成立，
所以在内单调递增，此时函数无极值．
②当时，，由可得．
当时，，所以在内单调递增；
当时，，所以在内单调递减，
于是函数在处取得极大值．
由已知，，即，，
因为函数在内单调递增，所以，即，又，
所以，于是的取值范围为．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案；
（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案；
（3）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案.
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
16．（15分）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调增区间为，，单调递减区间为.
【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间即可.
【详解】（1），则，
则切线的斜率，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
则，
由，可得或；由，可得，
所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为．
17．（15分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）首先将题意转化为证明，令，利用导数求出函数的最大值即可证明.
【详解】（1）因为，所以切点为.
又，
所以，
所以切线为.
（2）要证，只需证：，即证：.
令，，
所以，，
令，解得.
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数.
所以，
所以恒成立，
所以.
18．（17分）某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.
(1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？
(2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？
【答案】(1)，，此时
(2)，，此时最短.
【分析】（1）首先表示直线方程，并求点的坐标，并表示三角形的面积，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据（1）的结果表示，同时构造函数，并利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值.
【详解】（1）如图，以，所在直线为轴和轴建立平面直线坐标系，
并由条件可知，点，
设直线的方程，
当时，，当时，，
即，，
,
当时，即时，等号成立，
所以面积的最大值为平方米；
此时直线的方程为，即，，
此时
（2）由（1）可知，，
，
设，，
，，
令，则，
当时，，函数在区间单调递减，
当时，，函数在区间单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以当，，此时最短.
19．（17分）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性；
（2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可.
【详解】（1）∵，∴，
令，可得两根分别为1，，
∵，∴
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
（2），，由（1）知，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴在上的最小值为．
对，，使，即
在上的最小值不大于在上的最小值，（*）
又，
∴①当时，，此时与（*）矛盾；
②当时，，同样与（*）矛盾；
③当时，，且当时，，
解不等式，可得，
∴实数b的取值范围为．第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试卷
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若直线是曲线（）的一条切线，则实数b的值为（ ）
A．4 B．
C． D．
2．如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．记函数的导函数为，且函数，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数在单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为上的单调函数，则
B．若时，在上有最小值，无最大值
C．若为奇函数，则
D．当时，在处的切线方程为
11．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．恰有一个极大值
C．当时，无实数解
D．当时，有三个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为 .
13．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
14．已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)
16．（15分）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
17．（15分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：．
18．（17分）某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.
(1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？
(2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？
19．（17分）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．
