第三章函数的概念与性质真题模拟题拔高训练
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
7．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
8．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
（2），则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则的值域为，故的取值范围为.
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
一、单选题
1．（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先求解出，然后根据垂直关系列出关于的方程，由此可求的值.
【详解】因为，所以，
又因为切线与垂直，
所以，所以，
故选：A.
2．（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
3．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】根据偶函数的性质可得，求导得，结合的周期性即可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
两边同时求导得，即，
所以，令，得，
令，得，又因为，所以，
由，所以，所以的周期为6，则，
而，所以，所以．
故选：B
4．（2024·江苏·统考模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数，可得函数在上单调递增，再根据函数单调性解得，由充分性必要性的定义，即可得到结果.
【详解】因为，则，
令，则，所以在上单调递增.
，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
5．（2024·贵州贵阳·统考一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，
又因为函数也是偶函数，所以，得，
因为为减函数，为增函数，所以为减函数，
令，得，
所以时，，在上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.
二、多选题
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的极小值点为0，极大值点为，且极大值为0，则（ ）
A． B．
C．存在，使得 D．直线与曲线有3个交点
【答案】AD
【分析】根据函数的极值点，确定方程的根的情况，利用韦达定理得，即得到，再依据，解出，即可判断A，B选项；根据函数解析式判断C选项；根据函数图像判断D选项.
【详解】因为，令，
则且的极小值点为0，
极大值点为，所以和为方程的两个根，
所以，且，所以
所以所以，
又因为，即，
化简为，，，所以，
解得，所以，所以A正确，B错误；
因为，所以恒成立，所以C错误；
函数的图象如图所示，因为，
所以直线与曲线有3个交点，所以D正确．
故选：AD．
7．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）已知函数，则（ ）
A．在定义域上单调递增 B．曲线上任意一点处的切线斜率大于0
C．的图象关于点对称 D．
【答案】BD
【分析】由指数型复合函数单调性即可判断A；求导即可判断B；由题可知，由此即可判断C；由C选项结论即可判断D.
【详解】对A，，，
根据复合函数单调性知在，上单调递增，
当时，，当时，，∴在定义域上不是单调递增，故A错误；
对B，因为，故B正确；
对C，∵，∴，
∴的图象关于点对称，故C错误；
∵，由可得D正确．
故选：BD.
8．（2024·广东深圳·统考一模）设，且，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.
【详解】由于，知，及其，则，解得，
对AB，，设函数，，
故在上单调递减，则1，即，故A对B错；
对C，由于，设，，
故在上单调递减，，故，
若，故C对；
对D，，设，，
令，则，则，，则，，
则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．（2024·四川巴中·统考一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 .
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得，即可求得在上的单调增区间，再由函数的奇偶性即可得到在上的单调增区间，即可得到结果.
【详解】因为时，则，
又，则，即，
所以，
令，即，即，
又，则，解得，
令，即，即，
即，解得，
所以在单调递增，
又为奇函数，
当时，在单调递增，
所以的单调增区间为.
故答案为：
10．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将不等式仅有1个整数解转化为不等式仅有1个整数解，利用导数研究函数的性质，结合图象，建立关于a的不等式组，解之即可求解.
【详解】函数的定义域为.
要使不等式仅有1个整数解，使需仅有1个整数解
即不等式仅有1个整数解，
设，则，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
又，当时，，当时，，
设，则直线恒过点，
在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，
由图象可知，，要使不等式有1个整数解，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根、不等式有整数解)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
11．（2022·全国·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】运用分离参数法，转化为一元函数值域问题，利用导数求解即可.
【详解】由题意得，化简得，
设，则，
易知的导数为，
可得当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
则在上显然成立，即，
∴当时，，
则函数在上单调递增，∴，
∴.
故答案为：
12．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数得，设，利用导数求最值.
【详解】由题意，知，即．
因为，所以在上有解，只需．
设，对函数求导，
得，
所以函数在上单调递增，所以，所以．
故答案为：．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
13．（2024·全国·一模）已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】首先将转化为，并利用导数求函数值域，即的取值范围，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求函数的取值范围.
，设，
，
当时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减，
所以当时，取得最大值，，
且时，，，
所以当时，，即，函数在区间上单调递增，
当时，，即，函数在区间上单调递减，
所以当时，取得的最大值，
所以函数的值域是，
由题意可知，，
所以，，
设，，
，当时，，
所以当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
所以当时，取得最小值，当时，，当时，，且，
所以函数的值域是，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
14．（2010上·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】(1)
(2)，切点为
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.
【详解】（1）由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点为，由（1）得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．
15．（2024上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当，，时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.
（2）求导后根据导数的几何意义设切点，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.
【详解】（1）．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
时，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，
设切点，则切线方程为
因为切线过原点， 故， 即，
解得或
所以或.
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)已知，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得在上恒成立，即在上恒成立，分离参变量，结合基本不等式求解；
（2）方法一：设，可得在上单调递增，因为，所以，即可证得结论；
方法二：要证，即要证．记，则只要证．记，利用导数可得在上单调递增．所以，即可证出结论．
【详解】（1）由题意，得．
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，即在上恒成立，
所以在上恒成立．
因为当时，（当且仅当时，等号成立），
所以，解得．所以的取值范围为．
（2）方法一：设．
由（1）知在上单调递增，
所以在上单调递增．
因为，所以，即．
所以．
故．
方法二：要证，即要证，
即要证．
记，则只要证．
记，则．
记，则，
所以在上单调递增．
所以在上单调递增，所以．
所以在上单调递增，所以．所以成立．
故．
17．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；
（2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得.
【详解】（1）当时，，
∴，由，得，由，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，
令，
则，
∴在上，，得，故在上单调递增，
∴的最小值为，
∴时，不等式在上存在实数解．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求导，通过导函数确定单调区间；
（2）将原不等式转化为恒成立，设，通过求导求出的最值即可.
【详解】（1）若，则，
所以，
令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）当时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，即
设，则，
令，则，
当时，，当时，，
故，所以，当且仅当时等号成立，
所以在上恒成立，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，所以.
19．（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明；
(2)讨论的极值点的个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)有且仅有一个极值点.
【分析】（1）根据导函数的正负，判断的单调性，求得最小值，即可证明；
（2）求得，构造函数，对参数的取值进行分类讨论，结合零点存在性定理，判断的单调性，即可求得函数极值点个数.
【详解】（1）证明：当时，，，，，
又易知在上为增函数，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而.
（2）由题意知，函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，与同号，
①当时，，，所以函数在内有一个零点，
且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，由（1）知，函数在上有且仅有一个极值点；
③当时，，，
因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
20．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出表达式，当时代入即可求解；
（2）原不等式等价于，据此分情况利用导数求解即可.
【详解】（1）由题知，，当时，，
所以曲线在处的切线方程为；
（2）由题意，原不等式等价于，
即，
当时，对任意，不等式恒成立，
当时，原不等式等价于，
设，则，
设，因为，
所以存在唯一，使得，即，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故，即．
综上所述，的取值范围为．第三章函数的概念与性质真题模拟题拔高训练
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
7．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
8．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
一、单选题
1．（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024·江苏·统考模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
5．（2024·贵州贵阳·统考一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的极小值点为0，极大值点为，且极大值为0，则（ ）
A． B．
C．存在，使得 D．直线与曲线有3个交点
7．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）已知函数，则（ ）
A．在定义域上单调递增 B．曲线上任意一点处的切线斜率大于0
C．的图象关于点对称 D．
8．（2024·广东深圳·统考一模）设，且，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2024·四川巴中·统考一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 .
10．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .
11．（2022·全国·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 .
12．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ．
13．（2024·全国·一模）已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ．
四、解答题
14．（2010上·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
15．（2024上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)已知，求证：．
17．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
19．（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明；
(2)讨论的极值点的个数．
20．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．
