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2024年广东省初中学业水平考试数学模拟预测试卷（解析版）
满分120分，考试用时90分钟．
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若电梯上升3层记为，则电梯下降2层应记为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，电梯上升用正数表示，那么电梯下降用负数表示，据此求解即可．
【详解】解：电梯上升3层记为，
电梯下降2层记为．
故选：A．
2. 如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，
将4500000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
【详解】解： 4500000000= 4.5×109，
故选：C．
已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示的方式放置，
并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：，，
，
故选：C．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
故选：B．
点，，，在反比例函数图象上，
则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，
可直接进行求解．
【详解】解：由反比例函数解析式可知：，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，，在反比例函数图象上，
∴，
故选D．
某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中
随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为；
故选C．
8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴．
故选：D．
如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，
以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】由作图可得：平分 可判断A，再求解 可得 可判断B，再证明 可判断C，过作于 再证明 再利用 ，可判断D 从而可得答案．
【详解】解：
由作图可得：平分 故A不符合题意；
故B不符合题意；
在的垂直平分线上，故C不符合题意；
过作于
平分
故D符合题意；
故选：D．
10. 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，
同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．
设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．
【详解】解：当时，分别在线段，
此时，
，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为一次函数，图象为直线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；
结合选项，只有B选项符合题意，
故选：B
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11.计算的结果是 ．
【答案】4
【分析】二次根式相乘，把被开方数相乘，然后化简即可．
【详解】解：，
故答案为：4．
12. 因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解可得结果
【详解】原式=
=．
故答案为：
如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
【答案】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15. 如图，在矩形纸片中，点E在边上，点F在边上，将沿翻折，使点C落在处，为折痕；再将沿翻折，使点B恰好落在线段上的点处，为折痕，若，，，则的长度为 ．
【答案】10
【分析】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质，勾股定理，根据折叠的性质求出是解题的关键．连接，根据矩形的性质及折叠的性质求出，，，，，设，则，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
根据折叠的性质得，，，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，，
，
在中，，
，
（负值已舍），
，
故答案为：10．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16、17、18题各8分，共24分．
16. （1）计算
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质，零次幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
（2）将两个点代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）∵一次函数的图象经过点与点，
∴代入解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
17. 某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
(1)求甲、乙两种书柜的进价；
(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
【答案】(1)每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元．
(2)购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
【分析】
（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为元，根据“用3300元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少5台”列方程求解即可；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y元，然后根据意义列出y与m的函数关系式，然后再根据“乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍”列不等式确定m的 取值范围，最后根据函数的增减性求最值即可解答．
【详解】（1）解：设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为元，
根据题意得，，解得，
经检验，是原方程的根．
（元）．
答：每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元．
（2）解：设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得：，即，
∵，
∴y随x的增大而增大，
当时，（元）．
答：购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
18. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，
某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，
小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，
沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，
已知山坡的坡度，米，米．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，）
(1)求点B距水平地面的高度；
(2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
【答案】(1)点B距水平地面的高度为5米
(2)该公司的广告牌不符合要求，理由见解析
【分析】（1）过点B作于点M，根据坡度得到，设米，米，利用勾股定理求得米，进而解方程即可；
（2）作于点N，则四边形是矩形．分别在和中解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：过点B作于点M，
由题意可知，，
设米，米，
则米
∴，解得，
∴米，米，
即点B距水平地面的高度为5米．
（2）解：作于点N，
∵，，
∴四边形是矩形．
∴米，米．
在中，，
∴米，米，
在中，，米，
∴米
∴米
∵，
∴该公司的广告牌不符合要求．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
(2)补全条形统计图．
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【答案】(1)50人，；
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；
（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽查的总人数为（人，
“合格”人数的百分比为，
故答案为：50人，；
（2）解：不合格的人数为：；
补全图形如下：
（3）解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，
故答案为：；
（4）解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
故答案为：．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，
与轴交于点，与轴交于点；点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)连接，，求的面积．
(4)请直接写出的的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点A和点C坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式求出点B坐标即可；
（3）根据进行求解即可；
（4）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入反比例函数解析式中得，
∴反比例函数解析式为；
把，代入一次函数解析式中得，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：联立，解得或，
∴；
（3）解：∵点的坐标为，
∴，
∴
；
（4）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量的取值范围为或，
∴满足的的取值范围或．
21 如图，AB是直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于 F．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．
（3）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD2=AE AB；（3）BF=．
【分析】（1）根据圆的性质可知∠ACB=90°，从而结合DE⊥AC证明出BC∥DE，再利用点D是的中点得出∠COD=∠BOD，进一步证明OD垂直平分BC，然后利用平行线性质即可证明出结论；
（2）根据题意首先证明△AED∽△ADB，然后利用相似三角形性质进一步求解即可；
（3）根据题意可得四边形CHDE为矩形，然后进一步根据图形结合勾股定理可得AE=AC+CE=9，最后通过证明△EAD∽△BAF进一步求解即可.
【详解】如图，连接OC，OD，BC，OD与BC交于点H，
（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵DE⊥AC于E，
∴∠E=90°，
∴∠ACB=∠E，
∴BC∥DE．
∵点D是的中点，
∴，
∴∠COD=∠BOD，
又∵OC=OB，
∴OD垂直平分BC．
∵BC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）AD2=AE AB．理由如下：
由（1）知，，
∴∠EAD=∠DAB．
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠E=90°，
∴△AED∽△ADB，
∴，
即AD2=AE AB；
（3）由（1）知，∠E=∠ECH=∠CHD=90°，
∴四边形CHDE为矩形，
∴ED=CH=BH=3，
∴OH=，
∴CE=HD=OD﹣OH=5﹣4=1，AC=，
∴AE=AC+CE=9．
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBA=∠E=90°，
又∵∠EAD=∠DAB，
∴△EAD∽△BAF，
∴，
即，
BF=．
解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22 .已知抛物线与x轴相交于两点与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线和直线对应的函数表达式；
（2）利用图象求不等式的解集；
（3）点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接，
①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积
②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或
（3）①当的面积最大时，点P的坐标为；的面积为
②或
【解析】
【分析】（1）把代入，可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可求出直线的解析式，即可求解；
（2）观察图象得：当或时，抛物线图象位于直线的上方，此时，即可求解；
（3）①过点P作轴于点M，交直线于点N，设点，则，可得，再由，列出函数关系式，即可求解；②根据平行四边形的性质可得，，从而得到点P和点关于对称轴对称，进而得到点P的坐标为，即可求解．
【小问1详解】
解：把代入得：
，解得：
∴抛物线解析式为：，
当时，，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：观察图象得：当或时，抛物线图象位于直线的上方，
此时，即，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：①如图，过点P作轴于点M，交直线于点N，
设点，则，
∴ ，
∴，
∴当时，的面积最大，为，
此时点P的坐标为；
②∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，且点B，Q均在x轴上，
∴，，
∴点P和点关于对称轴对称，
∴点P的坐标为，
∴，
∵，
∴点Q的坐标为或．
23. 在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段绕点P逆时针旋转a得到线段，连接．
(1)观察证明如图1，当时
①猜想与的数量关系为______，并说明理由．
②直线与直线相交所成的较小角的度数是______．
(2)类比猜想
如图2，当时，请直接写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数
(3)解决问题
当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值，
【答案】(1)①1；②
(2)；
(3)或
【分析】（1）观察猜想：由“”可证，可得，，即可求解；
（2）类比探究：通过证明，可得， ，即可求解；
（3）分两种情形：①当点在线段上时，延长交的延长线于．证明即可解决问题；②当点在线段上时，同法可证：解决问题．
【详解】（1）解： ，，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，，
；
如图1中，延长交的延长线于，设交于点．
在和中，
，，
，
直线与直线相交所成的较小角的度数是；
故，直线与直线相交所成的较小角的度数是；
（2）解：类比探究：
如图2中，设BD交PC于点G．
，
，
，
，
，，
，
，
∴直线与直线相交所成的小角的度数为；
（3）解：如图3，当点在线段上时，延长交的延长线于．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，,四点共圆，
，，
，
，设，则，，
；
如图4中，当点在线段上时，同法可证：，设，则，，
，
；
综上所述：的值为或．
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2024年广东省初中学业水平考试数学模拟预测试卷
满分120分，考试用时90分钟．
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若电梯上升3层记为，则电梯下降2层应记为（ ）
A． B．2 C． D．1
2. 如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，
将4500000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示的方式放置，
并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
点，，，在反比例函数图象上，
则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中
随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，
以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
10. 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，
同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．
设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11.计算的结果是 ．
12. 因式分解： ．
如图，与位于平面直角坐标系中，，，，
若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
15. 如图，在矩形纸片中，点E在边上，点F在边上，将沿翻折，使点C落在处，为折痕；再将沿翻折，使点B恰好落在线段上的点处，为折痕，若，，，则的长度为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16、17、18题各8分，共24分．
16. （1）计算
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．
17. 某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
(1)求甲、乙两种书柜的进价；
(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
18. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，
某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，
小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，
沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，
已知山坡的坡度，米，米．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，）
(1)求点B距水平地面的高度；
(2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
(2)补全条形统计图．
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，
与轴交于点，与轴交于点；点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)连接，，求的面积．
(4)请直接写出的的取值范围．
21 如图，AB是直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于 F．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．
（3）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．
解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22 .已知抛物线与x轴相交于两点与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线和直线对应的函数表达式；
（2）利用图象求不等式的解集；
（3）点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接，
①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积
②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
23. 在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段绕点P逆时针旋转a得到线段，连接．
(1)观察证明如图1，当时
①猜想与的数量关系为______，并说明理由．
②直线与直线相交所成的较小角的度数是______．
(2)类比猜想
如图2，当时，请直接写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数
(3)解决问题
当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值，
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