6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义
2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法
注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
考点01分类加法计数原理的应用
1．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种 B．6种 C．7种 D．9种
【答案】A
【分析】
分为买两本和买三本两种情况求解即可.
【详解】买两本，有种方案；买三本，有1种方案；
因此共有方案(种)．
故选：A.
2．已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（ ）
A．12个 B．14个 C．16个 D．18个
【答案】C
【分析】分类讨论即可求解.
【详解】，
由于中所有元素之和为奇数，且非空集合，
当中只有一个元素时，则或或，
当中有2个元素时，则中的元素必为一偶一奇，故有个满足条件的，
当中有3个元素时，则中的元素必为2偶一奇或者三个元素均为奇数，故有4个满足条件的，
当中有4个元素时，则中的元素必为一偶3奇，故有2个满足条件的，
当中有5个元素时，则满足条件，
故共有，
故选：C
3．某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．90种 B．30种 C．14种 D．11种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．
故选：C．
4．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ）
A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种
【答案】B
【分析】利用分类加法计数原理计算即得.
【详解】从甲地到乙地不同的方案数为.
故选：B.
5．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？
【答案】25
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理求解即得.
【详解】当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个；
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个；
同理可知，当个位数字是2时，共7个，
当个位数字是0时，共9个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25（个）.
考点02分步乘法计数原理的应用
6．现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
① ② ③
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分布计数乘法原理及古典概型概率公式可得结果.
【详解】依题意，对三个部分着色由分布计数乘法原理共有种不同的方法，
设“任意有公共边的两块着不同颜色”,事件A共有种不同方法，
由古典概型的概率公式,
故选：A.
7．某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．24种 B．4种 C．种 D．种
【答案】D
【分析】
由分步乘法计数原理求解即可.
【详解】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，
故共有种选择方法.
故选：D.
8．某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果.
【答案】24
【分析】
根据题意结合分步乘法计数原理分析求解.
【详解】因为4名男生选一名男生共有4种不同的结果；
3名女生选一名女生共有3种不同的结果；
一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法，
根据分步乘法计数原理可知：共有种不同的结果.
故答案为：24.
9．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【分析】
每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选：A
10．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．
【答案】50
【分析】
设三位数的回文数为ABA，先分析A的可能取值，再分析B的取值，然后由分步乘法计数原理求解即可
【详解】设三位数的回文数为ABA，A有1到9，共9种可能，即1B1、2B2、3B3、9B9.
其中奇数共5种可能，即1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；
B有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A.
所以符合题意的有5×10=50个.
故答案为：50
考点03组数问题
11．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．8个
【答案】D
【分析】利用分类计数原理分类讨论计算即可.
【详解】比2000大，故千位为2，3，4，
若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数．
根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数．
故选:D．
12．已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【答案】C
【分析】
分类求解符合条件的三位数的个数即可.
【详解】集合，且，
则这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”包含以下三种情况：
①十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个；
②十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个；
③十位数是，则百位数只能是，个位数可以是中的一个数，即个；
综上，符合条件的共有个.
故选：C.
13．在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（ ）
A．36种 B．48种 C．24种 D．26种
【答案】D
【分析】
按顶点处标注的数字分类讨论 ，利用分类加法和乘法计数原理即可求解.
【详解】按顶点处标注的数字分类，有如下几种情况：
若处都标注的是4，则处的标注方法有（种）；
若处都标注的是3，则处的标注方法有（种）；
若处都标注的是2，则处的标注方法有1种；
若处标注的是4和3两个数字，则处的标注方法有（种），不同的标注方法共有（种）；
若处标注的是4和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）；
若处标注的是3和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）.
由分类加法计数原理可知，顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法共有（种）.
故选:D.
14．“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个.
【答案】225
【分析】
根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求出各类种数，再由加法原理即得.
【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有：
万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同，
求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法：
第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种，
百位选一个奇数有5种，
不同 “回文数”的个数为个，
第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种，
不同 “回文数”的个数为，
由分类加法原理得，
在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：个.
故答案为：225
15．用0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
【答案】(1)125
(2)100
(3)30
(4)36
【分析】（1）三位数字的电话号码，数字可以重复，首位可以是0，由分步乘法计数原理计算即可；
（2）排成三位数，首位不能为0，先排首位，再排其他位，由分步乘法计数原理计算即可；
（3）排成能被2整除的无重复数字的三位数，分为2类，个位为0或者个位为2，4，再排其他位，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可；
（4）先排个位，再排首位，最后排其他位，根据分步乘法计数原理计算即可．
【详解】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，
共有(个)．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有(个)．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，
因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有 (种)排法，
因此有(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
（4）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：
第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；
第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；
第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.
由分步计数原理知共有(个)．
16．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，若各位上的数字允许重复，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？
【答案】10000
【分析】根据分步乘法即可得到所有情况.
【详解】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第1步，有10种拨号方式，所以；
第2步，有10种拨号方式，所以；
第3步，有10种拨号方式，所以；
第4步，有10种拨号方式，所以.
根据分步计数原理，共可以组成（个）四位数的号码.
考点04选(抽)取与分配问题
17．某学校高二年级的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
【答案】C
【分析】利用分步乘法计数原理求出3个班去4个工厂的方法种数，再求出甲厂没有班级去的方法数即可得解.
【详解】每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种选择，根据分步乘法计数原理，共有种参观方案，
若甲工厂没有班级参观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3种选择，共有种参观方案，
所以，甲工厂必须有班级参观学习，不同的参观方案有种.
故选：C
18．2020年初，湖北面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，厦门人民心系湖北，志愿者纷纷驰援，若将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A，B两家医院（每人去一家，每家医院至少安排1人），且甲医生不安排在A医院，则共有 种分配方案.
【答案】7
【分析】甲只有一种安排方法，乙、丙、丁3名医生至少有一个安排在医院，利用间接法可得结果.
【详解】甲只能安排在医院，乙、丙、丁3名医生共有种安排方法，其中乙、丙、丁3名医生都安排在医院不合题意，所以符合题意的分配方案共有种.
故答案为：7.
【点睛】本题考查了分步乘法计数原理，考查了间接法，属于基础题.
19．某社区年终活动设置抽奖环节，方案如下：准备足够多的写有“和谐”、“和睦”、“复兴”的卡片，参与者随机逐一抽取四张，若集齐三种卡片就获奖.王大爷按规定参与抽奖，则他直到第四次抽取出卡片才确定获奖的不同情况种数为 .
【答案】
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】根据题意，若王大爷直到第4次才获奖，
则其第4次才集全“和谐”“和睦”“复兴”三种卡片，则甲第4次获得的卡片有3种情况，
前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，
则他获得奖次的不同情形种数为．
故答案为：.
20．新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗，争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定对某市A,B,C,D四个地区采取抽检，每周都抽检一个地区，且每周都是从上周未抽检的地区中随机抽取一个地区，设第1周抽到A地区，那么第6周也抽到A地区的概率是 （用最简分数表示）．
【答案】
【分析】根据分步乘法计数原理以及分类加法即可求解.
【详解】由于第一次抽到A，则第二次不会抽A，有3种选择，
若第三次抽到A,则第四次有3种选择，由于第6次要抽到A，则第五次不能抽到A，故只有2种选择，故在此种情况下，共有种选择，
若第三次没有抽A,则第三次有2种选择，若第四次抽到A，则第五次有3种选择；
若第四次没有抽到A,则第四次有2种选择，第五次也有2种选择，故共有，
因此所以满足第1周抽到地区，那么第6周也抽到地区的个数一共有，
全部情况有，所以概率为 ，
故答案为：
21．2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】6
【分析】设“莲莲”，“琮琮”“宸宸”为,可得其组合形式为,把它分配给三人即可得结果.
【详解】根据题意，设“莲莲”，“琮琮”“宸宸”为,则可得其组合形式为,
故第一个好友具有种，第二个好友具有种，第三个好友只有种，
即每个好朋友都收到不同命的吉祥物的分配方案为：种.
故答案为：
22．一个口袋中有5个红球，6个黄球，除了颜色外其他没有区别．求：
(1)若不放回的抽取两球，均为红球的概率；
(2)若放回的抽取两球，均不是红球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用计数原理及古典概型公式求解即可.
【详解】（1）不放回的抽取两球的情况有：11×10＝110种，
其中抽取的两球均为红球的情况有：5×4＝20种，
所以，不放回的抽取两球，均为红球的概率为；
（2）放回的抽取两球的情况有：11×11＝121种，
其中抽取的两球均不是红球的情况有：6×6＝36种，
所以，放回的抽取两球，均不是红球的概率为.
考点05涂色与种植问题
23．现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．180种 B．192种 C．300种 D．420种
【答案】D
【分析】先涂区域，再涂区域，然后涂区域，分区域与区域同色、区域与区域不同色两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择，
若区域与区域同色，此时区域有种选择，
若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择，
故有种涂色方法.
故选：D
24．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
【答案】C
【分析】
由分步乘法计数原理求解即可.
【详解】先种区域1有种选择，区域2有种选择，区域3有种选择，区域4有种选择，区域5有2种选择，区域6有1种选择，
则共有：种.
故选：C.
25．（多选）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用分类计数原理即可得解.
【详解】当时，分四步：
第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；
第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；
当时，分四步：
第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；
第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；
第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；
第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.
故选：AD.
26．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（，）等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图（1），圆环分成3等份，分别为，，，则有 种不同的种植方法；
（2）如图（2），圆环分成4等份，分别为，，，，则有 种不同的种植方法．
【答案】 6 18
【分析】第一空：直接由分步乘法计数原理即可得解，第二空：分，是否同色讨论，结合分类加法计数原理以及分步乘法计数原理即可得解.
【详解】（1）先种植部分，有3种不同的种植方法，再种植，部分．
因为，与的颜色不同，，的颜色也不同，
所以由分步乘法计数原理得，不同的种植方法有（种）．
（2）当，不同色时，有种种植方法，
当，同色时，有种种植方法，
由分类加法计数原理得，共有种种植方法．
故答案为：6；18.
27．在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有 种（用数字作答）
【答案】240
【分析】直接利用分步乘法计数原理即可求出结果.
【详解】由分步乘法计数原理得种,
故答案为：240.
28．用6种不同颜色染正方体的6个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则染色的种数有多少
【答案】30
【分析】设6种颜色分别是A，B，C，D，E，F，先考虑A色的对面颜色，不妨设A和B是对面色，则可得C的对面色的情况，进而可得出答案.
【详解】设6种颜色分别是A，B，C，D，E，F，
那么只需要先考虑A色的对面颜色，这有5种情况；不妨设A和B是对面色，
则C的对面色有3种情况；不妨设是D色，
则E和F两色的位置还有2种情况，
因此总的染色种数是种.
基础过关练
1．有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有（ ）种.
A．81 B．64 C．24 D．4
【答案】A
【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】每封信可以投个不同的信箱中的其中一个，
由分步乘法计数原理可得，不同的投法种数为种.
故选：A
2．高二1、2、3班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．21
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.
【详解】依题意，选中高二1班的同学有种方法，高二1班的同学没选中有，
所以2人来自不同班的选法种数为.
故选：B
3．李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有( )
A．24种 B．10种 C．9种 D．14种
【答案】D
【分析】分类讨论利用分步乘法和分类加法计数原理计算即可.
【详解】分两类：
第一类：选衬衣加裙子，共有种选法；
第二类：选连衣裙，共有种选法，
根据分类加法计数原理共有种选法.
故选：
4．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
【答案】B
【分析】解法一二：利用分类加法计数原理即可得解.
解法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．
【详解】解法一：
按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，
在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．
解法二：
按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，
在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．
解法三 ：
所有的两位数共有90个，
其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；
有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，
则剩余的两位数有个．
在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，
故满足条件的两位数的个数是.
故选：B.
5．(多选)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则x·y的值可取（ ）
A．－8 B．－12
C．11 D．24
【答案】ABD
【分析】
分步，第一步在集合中{2，3}中任取一个值，有2种不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一个值，有2种不同的取法，分别计算乘积，再比较积可得．
【详解】
分两步：第一步在集合中{2，3}中任取一个值，有2种不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一个值，有2种不同的取法，故x·y可表示2×2＝4个不同的值．即2×(－4)＝－8，2×8＝16，3×(－4)＝－12，3×8＝24，
故选：ABD.
6．（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】BC
【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D.
【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，
故有种选择方案，错误；
对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），
错误.
故选：BC
7．有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这3名学生做作业的可能情况有 种．
【答案】64
【分析】
根据分步乘法，每个学生做作业的情况都是4，相乘即可.
【详解】
因为4科老师布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有4种可能，
所以3名学生都做作业的可能情况种．
故答案为:64.
8．已知甲的车牌尾数为9，他的四位同事的车牌尾数分别为0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为 ．
【答案】80
【分析】利用分类加法与分步乘法计数原理计算即可.
【详解】5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日．
第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有种不同的选择；
第二步，安排奇数日出行，分两类第一类，选1天安排甲的车，
共有种不同的选择，
第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有种不同的选择．
综上，不同的用车方案种数为．
故答案为：80.
9．小鱼和A，B，C，D，E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是 .如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式.
【答案】16
【分析】先固定小鱼和的位置，再安排B的位置，继而安排C，最后安排剩余两人的位置，由分步乘法计数原理，即可得答案.
【详解】A坐在小鱼对面，先固定两人位置，在小鱼和的相对位置确定后，
有四种选择，的每种选择确定下有两种选择，
确定的情况下剩余两人有两种排列方式，故总坐法有种.
故答案为：16
10．用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？
【答案】600
【分析】根据分步计数原理将问题分成四步，分别求得每一步的选法进行相乘可得结果.
【详解】完成这件事可分四步：
第一步，“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法；
第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有5种不同的选法；
第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有4种不同的选法；
第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有5种不同的选法.
由分步计数原理知，该板报共有6×5×4×5＝600（种）不同的书写方案.
11．在图中的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
【答案】6
【分析】用分步计数原理计算即得答案.
【详解】在图中，按要求接通电路必须分两步进行：
第一步，合上A中的1只开关；
第二步，合上B中的1只开关.根据分步计数原理，
所以共有种不同的方法.
答：在图中的电路中，仅合上2只开关接通电 路，有6种不同的方法．
12．某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
【答案】560
【分析】由分步计数原理计算即可求解.
【详解】选出男、女生代表各1名，可以分成两个步骤完成：
第一步：选1名男生代表，有28种不同方法；
第二步：选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步计数原理，选出男、女生代表各1名，共有不同的选法种数是．
故选出男、女生代表各1名，有560种不同的选法.
能力提升练
1．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（ ）
A．30个 B．42个 C．41个 D．39个
【答案】D
【分析】分是否取两类，当不取时，排除重复的即可得解.
【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，
当不取时，底数有种，真数有种，
其中，
故此时有个，
所以共有个.
故选：D.
2．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
横式
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意可知，共有4根算筹，
当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；
当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；
当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；
当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；
其中质数有13、17、31、71，
所以取到的数字为质数的概率为，
故选：A
3．10000的除去1和自己外的正因数的个数是（ ）
A．25 B．24 C．23 D．16
【答案】C
【分析】
依题意可得，将问题转化为从盒子中取数，按照分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由题意，
所求数的不同正因数的个数可以看做从两盒子中取数，
其中盒子中有4个2，盒子中装有4个5，从两盒中各取一个数相乘可以得到一个因数（如不取可看作取1），
所以从两盒中取数均有5种取法，但要舍去都不取或全取出所有的4个2和4个5这2种情况（即因数为1和10000本身的情况），
综上所述，10000的除去1和自己外的正因数的个数是.
故选：C.
4．（多选）某校高二年级安排甲 乙 丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ ）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲 乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】AC
【分析】对于A，根据社区A必须有同学选择，由甲 乙 丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B，根据同学甲必须选择社区A，有乙丙都有5种选择求解；对于C，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D，由甲 乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；
【详解】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），故A正确；
对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），故B错误；
对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），故C正确；
对于D，甲 乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲 乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有（种），故D错误.
故选：AC.
5．二维码是一种由黑色和白色组成的双色方格阵图，规定如果一个的二维码有对称轴且绕其中心逆时针旋转后能与自身重合，称其为“转转码”，则“转转码”的个数为 .（用数字作答）
【答案】
【分析】根据图形的旋转规律，结合分步计数原理即可求解.
【详解】由题意知，作出的正方形方格阵图，如图所示：
因为“转转码”有对称轴且绕其中心逆时针旋转后能与自身重合，
则可知正方形、、和的黑色和白色方格数量相等且位置排列完全相同，且每个正方形关于其对角线、、和对称，
矩形、、和的黑色和白色方格数量相等且位置排列也完全相同，其中正方形逆时针旋转后位置不变，
只需该的二维码中的正方形的个方格、矩形的3个方格及正方形方格，共计个方格，出现双色方格，该二维码即是“转转码”，
则该“转转码”的个数有：种，
故答案为：.
6．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有 种．
【答案】
【分析】按先后顺序分别涂区域③④①②⑤，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先涂区域③，有种选择，接下来涂区域④，有种选择，
接下来涂区域①②，涂区域①有种选择，涂区域②有种选择，
最后涂区域⑤，有种选择，
由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为种.
故答案为：.
7．从这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【答案】(1)720
(2)420
【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求；
（2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求.
【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择；
第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；
第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．
根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数．
（2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个；
第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个．
根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数．
8．已知、、是互不相同的素数，、、是正整数，．问：有多少个不同的正约数？
【答案】
【分析】根据分步乘法计数原理计算可得.
【详解】正整数可分解成，
其中，，均为互不相同的素数，、、为正整数，
则对于因子的选择有种办法，
对于因子的选择有种办法，
对于因子的选择有种办法，
则的不同正约数共有个．6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义
2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法
注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
考点01分类加法计数原理的应用
1．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种 B．6种 C．7种 D．9种
2．已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（ ）
A．12个 B．14个 C．16个 D．18个
3．某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．90种 B．30种 C．14种 D．11种
4．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ）
A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种
5．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？
考点02分步乘法计数原理的应用
6．现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
① ② ③
A． B． C． D．
7．某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．24种 B．4种 C．种 D．种
8．某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果.
9．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
10．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．
考点03组数问题
11．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．8个
12．已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
13．在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（ ）
A．36种 B．48种 C．24种 D．26种
14．“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个.
15．用0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
16．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，若各位上的数字允许重复，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？
考点04选(抽)取与分配问题
17．某学校高二年级的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有（ ）
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
18．2020年初，湖北面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，厦门人民心系湖北，志愿者纷纷驰援，若将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A，B两家医院（每人去一家，每家医院至少安排1人），且甲医生不安排在A医院，则共有 种分配方案.
19．某社区年终活动设置抽奖环节，方案如下：准备足够多的写有“和谐”、“和睦”、“复兴”的卡片，参与者随机逐一抽取四张，若集齐三种卡片就获奖.王大爷按规定参与抽奖，则他直到第四次抽取出卡片才确定获奖的不同情况种数为 .
20．新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗，争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定对某市A,B,C,D四个地区采取抽检，每周都抽检一个地区，且每周都是从上周未抽检的地区中随机抽取一个地区，设第1周抽到A地区，那么第6周也抽到A地区的概率是 （用最简分数表示）．
21．2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有 种．（用数字作答）
22．一个口袋中有5个红球，6个黄球，除了颜色外其他没有区别．求：
(1)若不放回的抽取两球，均为红球的概率；
(2)若放回的抽取两球，均不是红球的概率．
考点05涂色与种植问题
23．现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．180种 B．192种 C．300种 D．420种
24．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
25．（多选）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A． B．
C． D．
26．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（，）等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图（1），圆环分成3等份，分别为，，，则有 种不同的种植方法；
（2）如图（2），圆环分成4等份，分别为，，，，则有 种不同的种植方法．
27．在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有 种（用数字作答）
28．用6种不同颜色染正方体的6个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则染色的种数有多少
基础过关练
1．有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有（ ）种.
A．81 B．64 C．24 D．4
2．高二1、2、3班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．21
3．李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有( )
A．24种 B．10种 C．9种 D．14种
4．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
5．(多选)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则x·y的值可取（ ）
A．－8 B．－12
C．11 D．24
6．（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
7．有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这3名学生做作业的可能情况有 种．
8．已知甲的车牌尾数为9，他的四位同事的车牌尾数分别为0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为 ．
9．小鱼和A，B，C，D，E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是 .如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式.
10．用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？
11．在图中的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
12．某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
能力提升练
1．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（ ）
A．30个 B．42个 C．41个 D．39个
2．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
横式
A． B． C． D．
3．10000的除去1和自己外的正因数的个数是（ ）
A．25 B．24 C．23 D．16
4．（多选）某校高二年级安排甲 乙 丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ ）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲 乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
5．二维码是一种由黑色和白色组成的双色方格阵图，规定如果一个的二维码有对称轴且绕其中心逆时针旋转后能与自身重合，称其为“转转码”，则“转转码”的个数为 .（用数字作答）
6．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有 种．
7．从这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
8．已知、、是互不相同的素数，、、是正整数，．问：有多少个不同的正约数？
