重难培优03 导数常见压轴小题
题型一 镶嵌函数的根个数问题
1．已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得，得到函数的单调性和最值，把方程有三个不同的实数解，转化为方程有两个不同的实数根和，且或，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数，
当时，，且，
画出函数的图象，如图所示，
令，要使得有三个不同的实数解，
则有两个不同的实数根和，
且或，
若且时，此时无解；
若且时，令，
只需要，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
2．已知函数，则方程的根的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】对求导，判断单调性画出图象，令，则，结合图象方程有两解，，结合图象可知方程有两解，也有两解，从而可解.
【详解】
对求导得：，
所以当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，函数在处取得极小值，
在处取得极大值，
作出曲线，如图，
由得，解得，
令，则，结合图象方程有两解，，所以或，
因为，所以, 结合图象可知方程有两解，
又因为，结合图象可知也有两解，
所以方程共有4个根.
故选：B
【点睛】方法点睛:
求函数零点(方程根)的常用的方法:
（1）直接法:直接求解方程得到方程的根；
（2）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A．点是函数的零点 B．的取值范围是
C．是的极大值点 D．，，使
【答案】D
【分析】由导函数得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，A选项，根据得到A错误；B选项，或，有1个实数根，故有1个非零实根，数形结合得到答案；C选项，由图象得到不是的极大值点；对于D选项，求出，，得到D正确.
【详解】当时，，则，
当时，，在单调递增，
当时，，单调递减，且，；
当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，且恒成立，
画出函数的图象如下：
对A，由可得0是函数的零点，故A错误；
对B，方程等价于或，
由图可得有1个实数根，
所以方程有两个不等实根
等价于有1个非零实根，则由图可得或，
解得或，故B错误.
对C，由图可得是的极大值点，不是的极大值点，故C错误；
对D，由图可得，当时，
因为，故，
故结合图象可得时，，
故，，使，故D正确；
故选：D
【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：
①利用换元思想，设出内层函数；
②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；
③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
4．已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，方程可化为或有四个不同实数根，借助导数研究的单调性与最值，数形结合即可判断的取值范围．
【详解】设，则，
又，
所以，则或．
①当时，，求导得．
当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减．
因为，所以．
又，当且时，；
当时，．
②当时，，，
根据以上信息，作出函数的大致图象如图所示．
观察图像可得：函数的图象与函数的图象仅有1个交点，
所以函数的图象与函数的图象有3个交点，
则，所以实数的取值范围为．
故选：A
5．已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出的大致图象，方程有3个不同的实数根等价于曲线与直线一共三个交点，由数形结合判断即可.
【详解】当时，，，
则当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当，又，；
当时，，，
则当时，，当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，则.
所以的大致图象如图所示.
由，解得或.
由图象可知，没有根，
所以关于的方程有3个不同的实数根，
等价于有3个不同的实数根，
由图象可知，有3个不同的实数根，只需.
故选：B.
6．已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导分析函数的单调性及极值，作出函数的图象，把方程有3个不同的实数根转化为方程有3个不同的实数根，数形结合即可求解.
【详解】因为当时，，所以，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以，且；
又因为当时，，
所以在时单调递增，在时单调递减，且，
所以作出函数的大致图象如图：
由得，
所以或，则无解，所以只有方程有3个不同的实数根，
数形结合可知.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题，最后通过数形结合的方式解决问题.
题型二 双变量问题
7．已知函数，若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误.
【详解】，则，令，
当时，单调递减，当时，单调递增，
在上，且，，，即.
综上，的图象如下：结合，，令，
如上图，若且，则，则不一定成立，A错误；
又，故，则不一定成立，B错误；
令，
则，
当时，，得，则；
当时，，得，则，
所以函数在R上单调递增，且，
所以在R上恒成立，得，
即，又，所以，
由，且函数在单调递减，得，即，D正确.
又，则，即，故，C错误.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；进而巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
8．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数，分别求两个函数的值域，将条件转化为两个值域有交集，列不等式，即可求解.
【详解】，，当时，，
函数单调递减，函数的值域是，
，，当时，，
函数单调递增，函数的值域是，
因为，，使得，
所以，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
9．设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，可得，构造函数利用导数即可求出.
【详解】令，由图象可得，
因为，所以，即，
则，
令，
则，令，解得，
当时，，单调递减，，解得，符合，
当，在单调递减，在单调递增，
则，解得，不符合，
综上，.
【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.
10．已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围，然后把目标式转化为一元函数，再引入函数，由导数确定其取值范围．
【详解】由题意时，是减函数，且，
时，是减函数，且，
由且得，，，，
，所以，
，
设，，
时，，是增函数，所以，即，
所以．
故选：C．
11．已知函数，，曲线上总存在两点，，使得曲线在M，N两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得的导数，由题意可得，，且，化为，因此对，都成立，令，，，利用导数研究其最值即可得出．
【详解】解：函数，导数．
由题意可得，，且．
即有，
化为，
而，
，
化为对，都成立，
令，在，单调递增，
，当且仅当取得等号，
，
，即的取值范围是．
故选：A．
12．已知函数，若，，使得，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】首先利用导数分析函数的单调性，极大值和极小值，求出函数的极大值与极小值对应的值，即可求解.
【详解】 ，，
令，即，解得，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为.
令，即，即，解得（舍）或；
令，即，即，解得（舍）或；
的最大值为.
故选:C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求出函数的极大值与极小值是解决本题的关键，属于中档题.
13．（多选）已知函数，，若，，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值，根据最小值进行选择即可.
【详解】由题意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上单调递增，
∴综上知：，
∴，
令，，则
∴，得；，得；
故在上单调递减，在上单调递增.
∴，
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项符合题意；
C：显然符合题意；
D：因为，所以本选项不符合题意，
故选：BC
【点睛】关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
题型三 构造函数比较大小
14．下列不等关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于A项，利用等价转化即得；对于B , C, D项都要结合式子特征，通过观察、拼凑构造函数，利用函数的单调性进行判断.
【详解】对于A项，因，故A项正确；
对于B项，设，则在上恒成立，故函数在上单调递增，
因，故，即，故，故B项正确；
对于C项，因，故构造，
则则在上单调递增，，故C项错误；
对于D项，，，构造函数
则单调递增，，故D项正确．
故选：C.
【点睛】关键点法点睛：本题主要考查构造函数比较大小问题,属于难题.
解决比较大小问题的关键在于将不等式进行等价转化，通过观察特点，拼凑，使其具有相同的结构，构造函数，通过求导得到函数的单调性，利用单调性比较式的大小.
15．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过对的变形，转化为不同函数在处的函数值，进而构造函数，利用导数研究函数单调性，比较大小即可.
【详解】由已知，
，
比较与的大小，即比较与的大小.
构造函数，
则，
设，
则，
令解得（舍），，
当时，，单调递增；
则，且，得，
即，故在单调递增，且，
当时，则恒成立，
由，则，即，.
比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小.
构造函数，，
则，则在单调递减，又，
由，则，
即当时，恒成立，
由，则，
即，即，则，故.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】构造函数比较大小的方法点睛：
分析给出的数值之间的关系，找出相应数值的共性，进而把某个数值看作自变量的取值，然后找出该数值与其他数值之间的关系，把给出的数值转化为相应的函数值，最后构造函数利用函数的单调性比较大小.一般通过作差或作商构造函数，作差法构造函数的关键点是研究函数的单调性与函数的零点，作商法构造函数的关键点是函数值的正负、函数的单调性及函数的最值与的大小关系.
16．若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的性质可判定，构造函数，利用导数研究其单调性可判定.
【详解】因为，利用换底公式可知，
构造函数，
显然时，，则在上单调递增，
时，，则在上单调递减，
所以由，即，
所以，综上.
故选：A
【点睛】难点点睛：观察式子发现利用对数函数的性质可判定，即底数大于1时，底数越大图象在第一象限内越平缓，步骤上可以由换底公式计算；对于后两项对比可以构造，通过其单调性进行对比即可.
17．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，，利用导数求函数最小值，得到和，令即可比较大小.
【详解】令，则，
当时，，所以，所以在上单调递增；
当时，，所以，所以在上单调递增，
所以当时，，
所以，即，所以，所以，
令，则，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以，当时，，
所以，即，所以，所以，
所以.
故选：A.
18．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用单调性可得，作差法比较，可得结果.
【详解】由，
构造函数，则，
当时，，则在上单调递增，
而，所以，即，也就是；
下面再比较与，
，
因为,，
所以，则，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.
19．若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【答案】A
【分析】先比较与的大小，构造函数，利用导数证明得到时，，从而得到，通过，，结合的单调性即可得到，从而得出判断.
【详解】令，则，∴在上单调递增，
，即，
∴，
又，，
∵，，
，故，
∴．
故选：A．
题型四 指对同构问题
20．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式可转化为对任意恒成立，构造利用导数求出的最小值即可.
【详解】由，则，
因为在上为增函数，所以，即对任意恒成立，
设函数，则，
由可得，由可得，
所以在上为减函数，在上为增函数，所以，
因为对任意的恒成立，所以，
所以.
故选：B．
21．若，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，令，
则上式可转化为，利用导数研究单调性，再利用单调性即可求解
【详解】由，得，
所以，
令，
则上式可转化为，
又，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以，
又，
所以，
所以，即，
故选：D
22．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，且对恒成立，设，则问题转化为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分和两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得.
【详解】由题意可知，，即对恒成立．
设，则问题转化为在上恒成立，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以当时，；当时，．
①在上，若恒成立，即，；
②在上，若，则恒成立，即恒成立，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，所以，综上所述，实数的取值范围为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
23．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】把不等式进行变形，引入函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论．
【详解】由已知，，则．
设，则．
因为，则．又，则，即，从而．
当时，，则在内单调递增，
所以，即，
故选：B．
24．已知不等式恒成立，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】将不等式转化为，构造函数，研究函数单调性，将问题转化为恒成立，再运用分离参数法求最值即可.
【详解】因为，所以，.
即.
令，易知在上单调递增，
又，
所以恒成立，即恒成立.
所以.
令，，则，，
由，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，
故实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】同构法的三种基本模式：
①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；
②比商型，如可以同构成，进而构造函数；
③和差型，如，同构后可以构造函数或.
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略：
（1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（2）恒成立；恒成立；
能成立；能成立.
25．已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件构造函数，将原问题转化为在上的单调性求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，
令，所以，
令，所以，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
又，所以在上单调递增，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以有，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
对于导数求参数取值范围问题，一般情况有以下几步：
① 分离参数
② 构造新函数
③对函数求导，分析单调性
④通过函数单调性分析即可解决问题
特别难的时候往往还需要进行二次求导进行分析.
题型五 利用导数求立体几何中的最值
26．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ）
A．当时，V取得最小值 B．当时，V取得最大值
C．当时，V取得最小值 D．当时，V取得最大值
【答案】B
【分析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况即可求解.
【详解】小盒子的容积为，
则，令，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值也是最大值，无极小值，故B正确.
故选：B.
27．已知正四棱锥内接于表面积为的球，则此四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出正四棱锥的高，然后将正四棱锥的体积表示为关于的函数，利用导数确定的单调性，从而可求的最大值，则体积最大值可知.
【详解】设为底面的中心，则三点共线，连接，
因为球的表面积为，所以球的半径，
设四棱锥的高为，
则，
所以正四棱锥的体积，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即该四棱锥体积的最大值为.
故选：A.
28．已知圆锥的母线长为4，当圆锥的体积最大时，其表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设圆锥的底面圆的半径为，高为，求得圆锥的体积为，令，求得，求得函数的单调性，得到时，圆锥的体积取得最大值，再结合圆锥的侧面积和圆的面积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为，则，
则圆锥的体积为，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，取得最大值，即圆锥的体积取得最大值，
此时，圆锥的表面积为.
故选：C.
29．（多选）将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（ ）
A．可以取到中的任意一个值
B．
C．的值可以是任意小的正数
D．
【答案】BD
【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值.
【详解】
过R作圆柱的轴截面，过O作交圆柱轴截面的边于M，N，
由与圆柱的下底面所成的角为，则，所以，
即，故B正确；
当点P，Q均在球面上时，角取得最小值，此时，所以，
所以，故A错误；
令，所以，
所以，另，
解得两根，
所以，
所以在时单调递减，
所以，故D正确，C错误；
故选：BD．
【点睛】关键点睛：本题主要考查运用导数求最值的方法，难度较大，解决问题的关键在于先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值.
30．已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 .
【答案】/
【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得，故只需求出外接球半径的最小值即可.
【详解】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，.
如图，球心在正四棱锥内时，由，可得，
即（*）.
球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.
又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得.
通过对关于的函数求导，即，
易得函数在单调递减，在单调递增，
则.从而，球的体积的最小值.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.
31．在边长为2的等边三角形中，点（与不重合）在边上，于点，将沿折起，连接，得到四棱锥，则四棱锥的体积的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设，，计算，求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】如图所示：设，，则，，
则，，
对于确定的点，当平面时，四棱锥的体积最大，
，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，.
故答案为：.
题型六 恒成立问题
32．若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
【答案】A
【分析】将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值.
【详解】由可得，
由,且,所以，即，
令，则在上单调递增，
所以，令，则,
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以，故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.
33．当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，化简得到在上恒成立，令，求得，得到在上单调递增，转化为在上恒成立，令，利用求得函数的单调性和最大值，得到，即可求解.
【详解】由题意，当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，可得，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
34．若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移项整理得，设，利用导数得到其单调性，分和讨论即可.
【详解】，
，
设，则，
设，则在上恒成立，
在上单调递增，且，
当时，在单调递增，
，即，
当时，则，不妨取，即，
当时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，即，而有在上恒成立，
，即，
综上可得.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是移项整理，利用导数并分类讨论求其最小值，对时需利用隐零点法求解其最值.
35．若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式化为，即得，讨论的取值范围，当时，构造函数，利用函数单调性可得，化为，继而再构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
所以，即,
①若，则，而，符合题意；
②若，令，则在恒成立，
∴在单调递增，又，，，
∴由，得；
由在恒成立，则可化为，
令，，
当时，；当时，，
在单调递减，单调递增，
∴，即有．综上：，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合的结构特点，合理变形为，即而化为，从而可采用构造函数的方法，利用导数即可求解问题.
36．已知，且，若恒成立，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到在上恒成立，参变分离可得，则，利用导数求出，的最大值即可.
【详解】因为，且时恒成立，则恒成立，
当时，，显然恒成立，
则当时，恒成立，
则当时，恒成立，
令，，则，
所以在上单调递增，
则由，即，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题根据是将不等式同构成，结合的单调性得到，再参变分离.
37．已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
【答案】
【分析】首先画出函数的图象，再利用数形结合，通过直线与的图象相切时的临界值，即可求解的取值范围.
【详解】在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，
，两边平方后得，
所以的图象是以为圆心，半径为1，并且在轴的下半部分的半圆，
，，得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
当时，函数取得最小值，
如图，画出函数的图象：
直线恒过定点，当直线与相切时，
设切点，
，可得，由，解得：，
则切线的斜率为2，
当直线与，相切时，直线与半圆相切，由，解得：，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确画出函数的图象，并会根据直线与曲线相切，求直线的斜率.
38．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.
【详解】因为恒成立即，
可得，令，则恒成立.
又，故当时，，故在区间上为增函数.
又恒成立，则在区间上恒成立，即，.
构造，则，令有，
故当时，，为增函数；当时，，为减函数.
故，故，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
题型七 零点问题
39．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在上没有零点，即上，则，构造函数，利用导数研究的值域即可得出结果.
【详解】,
因为在上没有零点，所以在上，
时，，
时，即可，令，且，
，
所以时，或，
所以时，，单调递增，且，时，，单调递减，时，，单调递增，
，，时，.
所以的值域为，
因为，所以实数的取值范围为.
故选：D
40．已知，分别是函数和的零点，且，，则 ．
【答案】1
【分析】求，判断函数在上的单调性，根据函数零点及单调性可得，化简可得的值.
【详解】由题意可得，，
又，当时，，所以在上单调递减，
因为，，且，
又，所以，所以．
故答案为：1.
41．若函数存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数存在零点，转化为方程在上有解，设函数，则有解，得到在有解，问题转化为求在的最小值，利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值.
【详解】由得，
设，则，∴在上单调递增，
∴，∴，，，即．
所以存在零点等价于方程有解，
令，则，
当时，；
当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以．
故选:B
【点睛】方法点睛：函数有零点，转化为方程在上有解，设函数，则方程就转化为有解，结合函数的单调性，转化为.再设，问题就转化为求函数的最小值问题，结合导数，分析函数单调性可解决问题.
42．（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，函数恰有1个零点
B．当时，函数恰有2个极值点
C．当时，函数恰有2个零点
D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
【答案】ABD
【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定极值点的个数和零点个数，从而判断选项的对错.
【详解】因为，
所以，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，
对于A：当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以函数恰有1个零点，A正确；
对于B：当时，，
令，有，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，作出图象如下图：
又，所以方程必有个根，
即必有两个零点，设为，且，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
即函数恰有2个极值点，B正确；
对于CD：当函数有2个零点时，或，
所以或，
将或代入得
或，
解得或，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会转化，比如零点个数问题转化方程根的个数，或者函数图象交点个数.
43．，若有且只有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到，根据函数图象得到或，解得答案.
【详解】当时，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，且，
当时， ，其图象可以由的图象向左平移一个单位，
再向下平移个单位，再把轴上方的图象翻折到轴下方得到，
画出函数图象，如图所示：
，当时，，无零点；
当时，，即，
函数有两个零点，即函数与函数的图象有两个交点，
根据图象知：或，解得或.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题是解题的关键，数形结合的思想需要熟练掌握.
44．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由可得出，令，，分析可知，直线与曲线没有交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
令，显然，则，
令，，
则，
令，得，，列表如下：
增 极大值 减 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为、，
且极大值为，极小值为．
当时，，当时（从左边趋于），；
当时（从右边趋于），，
当时（从右边趋于），.
由图象可知，当时，直线与曲线没有交点，
即在上没有零点．
因此，实数的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题
题型八 隐零点问题
45．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求导可得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求.
【详解】，令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有两个零点，
故选：B.
46．已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围.
【详解】已知函数，函数的定义域为
，
当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点；
当时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
此时最小值为，
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，又
；
，
由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点．
所以有两个零点，a的取值范围为；
故选:A．
47．若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可.
【详解】根据指数函数性质在上单调递增，
故当时，则在上单调递增，
，
根据零点存在定理，在存在唯一零点，
则当时，无零点
时，，
令，则，时，则；
在上单调递减，在上单调递增，
于是时，有最小值
依题意，，解得，所以最小整数为
故选：C
48．函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据导数与函数的单调性、最值的关系以及零点的存在性定理求解.
【详解】对函数求导可得，，
记,则，
当时，，则，
当时，，则，
所以在上，，所以，所以单调递增，
注意到，
所以必存在使得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以在区间上必存在一个零点.
综上，函数在区间上有两个零点.
故选:B.
49．（多选）设函数（a，），下列命题正确的是（ ）
A．若存在负零点，则
B．若，则有且只有一个零点
C．若有且只有两个正零点，则
D．若且存在零点，则的零点都是正的
【答案】BC
【分析】对于A，D选项，研究的零点等价于考虑曲线与直线的交点，分析曲线趋势即可判断；对于B，可判断出函数单调性，由零点存在性定理即可判断；对于C，根据零点个数分析单调性，求出参数范围.
【详解】研究的零点等价于考虑曲线与直线的交点，其中a是直线的斜率．
对于A，D选项，取曲线上位于第二象限的点P，Q，
并固定点P（如图所示）．
则当Q与y轴的距离充分大的时候，
直线PQ的斜率a可以无限趋近于0，并且直线PQ与y轴的交点位于的下方，
于是当且时，满足，
此时曲线与直线的交点的横坐标是负的，即的零点都是负的，故D选项错误；
而此时存在负零点，但不满足，故A选项错误；
对于B选项，若，则在上单调递增，
取，则，所以．
再取，则，所以，
所以有且只有一个零点，并且这个零点位于区间中，B选项正确；
对于C选项，若有且只有两个正零点，
因为，而函数单调递增，
所以至多只有一个极值点，且，
则这个极值点必为正，且，
并且在上单调递减，在上单调递增，
故必有，即，解得，故C选项正确．
故选：BC．
50．（多选）已知且，函数，则（ ）
A．若，则有且仅有1个零点
B．若，则在区间上单调递减
C．若有两个零点，则
D．若，则存在，使得当时，有
【答案】ABD
【分析】对于AC选项，构造函数，结合单调性和最值判断解的个数，对于B选项，结合零点存在性定理判断函数单调性，对于D选项，由对分析可知，存在，使得当时，不等式恒成立，即可判断.
【详解】对于A：时，.
则，即，
令时，，
在上，单调递增，在上，单调递减.
，所以此时有1个零点，所以A正确；
对于B：，
令为增函数，
，
因为，所以，则，所以，
所以在存在，使在上，在上，
所以在递减，在递增，且，
因为，所以，所以，
所以在上，所以在上递减，所以B正确；
对于C：时，有，
令时，，
在上，单调递增，在上，单调递减.
，
当时，，有两个零点，
当时，，有两个零点，
所以C项错误；
对于D：因为，由对分析可知，存在，
使得当时，不等式恒成立，即，
则对于恒成立，所以D项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：（1）利用导数研究函数的单调性、零点等问题，往往要先构造函数，再利用导数研究函数的有关性质，例如本题涉及指数函数和幂函数常常构造形如形式的函数；（2）对于方程无法直接求根时，往往需要二次求导.
1．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】将题干不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解.
【详解】由题意得，，即，
令，因为，，所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，则.
令，则，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，即，则的最大值为.
故选：B
2．已知，，，试比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数以及，利用函数的单调性即可求解.
【详解】设
则当时单调递减，
故
故进而，
设
由于函数和均为定义域内的单调递增函数，
所以为上的单调递增函数，
因此，
故，
故，
因此，
故选：B
3．若，则满足的大小关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用构造函数法，结合导数来求得正确答案.
【详解】由于，所以.
设，
在上单调递增，
所以，所以当时，，
则，即.
设，
，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
而，所以，所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定的定义域；
（2）计算导数；
（3）求出的根；
（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
4．（多选）已知函数（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．在上有唯一零点 D．在上有最小值为
【答案】BD
【分析】求导，由单调性分析极值与零点逐一判断即可.
【详解】，
令，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
在上取极小值为，，，在上有两个零点，，所以，A C错，B D对，
故选：BD．
5．已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．有极小值点
【答案】C
【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D.
【详解】由题意，函数，则，
当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点且，
对A，则，且，
所以，解得，所以A正确；
对B，，且，，故，，
所以，所以B正确；
对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定，
所以C不正确；
对D，由函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，所以D正确；
故选：C.
6．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
【答案】B
【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；
对于B ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得的值；
对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可；
对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案.
【详解】对于A ，，当时，，，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时取得极大值，当时取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，
设切点为，则切线的斜率
化简
由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，，
令，解得或，
当，，当，，当，，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
存在极值点，
由得
令，
，于是，
所以
，
化简得：，
，，于是，
.故选项D正确；
故选：B
7．（多选）已知为函数的零点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】AC
【分析】根据零点的存在性定理求出的范围，即可判断AB；由题意可得，两边同时取对数，结合，即可判断C；当时，函数有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实数根，分离参数可得方程在上有两个不同的实数根，令，利用导数作出函数的图象，结合函数图象即可判断D.
【详解】令，则，
对于A，当时，因为函数都是增函数，
所以函数在上单调递增，
又，
所以函数在上有唯一零点，且，
当时，，所以，
所以函数在上没有零点，
所以，故A正确；
对于B，由A选项知，，，
所以，故B错误；
对于C，由A选项可知，
因为为函数的零点，
所以，两边同时取对数得，
因为，
所以，即，
所以，
联立，消得，
则，解得，
又，所以，所以，故C正确；
对于D，由题意，当时，函数有两个不同的零点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，且，
如图，作出函数的图象，
由图可知，所以，故D错误.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：函数零点性质问题，注意利用零点满足的方程构建零点之间的相互关系，同时注意将零点问题转化函数图象与水平直线的交点个数问题.
8．（多选）设函数，则（ ）
A．
B．函数有最大值
C．若，则
D．若，且，则
【答案】ACD
【分析】根据的解析式直接求解可对A判断；利用导数求最值方法可对B判断；结合给出的已知条件并利用A、B中的结论可对C、D判断求解.
【详解】对A，由题意知，所以，故A正确；
对B，由题意知的定义域为，，
当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到极小值也是最小值，故B错误；
对C，当时，可得，由A知，
所以，
由B知恒成立，所以，故C正确；
对D，当时，得，又因为，所以，
由B知在上单调递增，所以，又由A知，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：灵活运用已知条件，，并结合的对称性和单调性进行求解.
9．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义上的零点，进而得出结果．
【详解】因为，所以
当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意；
当时，由，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
又因为，，
所以，存在一个正数零点，所以不符合题意；
当时，令，解得或，且有，
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
又因为，，
所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点，
则满足，解得或，又因为，所以，
综上，的取值范围是．
故答案为：.
10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为 ；当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为 .
【答案】 /0.5
【分析】在四棱锥内作正四棱柱，要使圆柱体侧面积最大和体积最大，需其底面圆为正四棱柱的内切圆，设出圆柱的底面圆半径为，高为，由比例关系得到，从而求出圆柱侧面积关于半径的关系式，得到其最大值及相应的半径，再表达出圆柱体积关于高的关系式，求导得到其单调性和最值，得到答案.
【详解】如图，在四棱锥内作正四棱柱，
其中分别在棱上，
要使圆柱体侧面积最大和体积最大，则需其底面圆为正四棱柱的内切圆，
连接，设圆柱的底面圆半径为，高为，
则，，连接，则点在上，
在平面内，平行，则，即，
解得，，
圆柱侧面积为，
故当时，圆柱侧面积最大，
圆柱体积，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，圆柱体体积最大，此时，
故答案为：
11．已知函数，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果.
【详解】因为，若，则，
令，则
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，所以，
故的最小值为.
故答案为：.
12．已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由，令，得或，然后分类和讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．
【详解】因为，令，得到，解得或，
又当时，，则，
当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又时，，时，，时，，
其图像如图，所以，当时，有2上解，有2个解，
又因为方程有7个不同的实数解，所以当时，有3个实数解，
又时，，则，
所以时，，时，，
即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，，
又当时，有3个实数解，
所以或，
解得或，
故答案为：或.
【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质.重难培优03 导数常见压轴小题
题型一 镶嵌函数的根个数问题
1．已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则方程的根的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A．点是函数的零点 B．的取值范围是
C．是的极大值点 D．，，使
4．已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型二 双变量问题
7．已知函数，若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
9．设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，，曲线上总存在两点，，使得曲线在M，N两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若，，使得，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
13．（多选）已知函数，，若，，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
题型三 构造函数比较大小
14．下列不等关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
16．若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
19．若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
题型四 指对同构问题
20．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．若，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
22．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
24．已知不等式恒成立，则实数的最大值为 .
25．已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
题型五 利用导数求立体几何中的最值
26．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ）
A．当时，V取得最小值 B．当时，V取得最大值
C．当时，V取得最小值 D．当时，V取得最大值
27．已知正四棱锥内接于表面积为的球，则此四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．已知圆锥的母线长为4，当圆锥的体积最大时，其表面积为（ ）
A． B．
C． D．
29．（多选）将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（ ）
A．可以取到中的任意一个值
B．
C．的值可以是任意小的正数
D．
30．已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 .
31．在边长为2的等边三角形中，点（与不重合）在边上，于点，将沿折起，连接，得到四棱锥，则四棱锥的体积的最大值为 ．
题型六 恒成立问题
32．若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
33．当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
34．若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
35．若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
36．已知，且，若恒成立，则的取值范围 ．
37．已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
38．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
题型七 零点问题
39．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
40．已知，分别是函数和的零点，且，，则 ．
41．若函数存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
42．（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，函数恰有1个零点
B．当时，函数恰有2个极值点
C．当时，函数恰有2个零点
D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
43．，若有且只有两个零点，则实数的取值范围是 ．
44．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为 ．
题型八 隐零点问题
45．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
46．已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
47．若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
48．函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
49．（多选）设函数（a，），下列命题正确的是（ ）
A．若存在负零点，则
B．若，则有且只有一个零点
C．若有且只有两个正零点，则
D．若且存在零点，则的零点都是正的
50．（多选）已知且，函数，则（ ）
A．若，则有且仅有1个零点
B．若，则在区间上单调递减
C．若有两个零点，则
D．若，则存在，使得当时，有
1．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．已知，，，试比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
3．若，则满足的大小关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）已知函数（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．在上有唯一零点 D．在上有最小值为
5．已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．有极小值点
6．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
7．（多选）已知为函数的零点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
8．（多选）设函数，则（ ）
A．
B．函数有最大值
C．若，则
D．若，且，则
9．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 ．
10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为 ；当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为 .
11．已知函数，若，则的最小值为 .
12．已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 .
