17.1 勾股定理 能力提高练习 （含答案）2023-2024学年人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.1 勾股定理 能力提高练习 （含答案）2023-2024学年人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-24 19:17:09 | ||
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文档简介
17.1 勾股定理 能力提高练习
一、单选题
1．如图所示，已知在中，平分，平分，且交于，若，则的值是（ ）
A．25 B．64 C．81 D．144
2．已知点M在y轴上，点，若线段的长为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，；，，；，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点A，B，C都在边长为1的小正方形网格的格点上，于点D，与网格线交于点F，取格点E，连接．对于四个说法：①，②，③，④点F在的平分线上，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 ( )
A． B．
C． D．
7．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
14．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：丈尺．设芦苇长尺，水的深度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时
二、填空题
16．如图，和都是等腰直角三角形，，D是BC上一点，连接CE．若，，则DE的长度为 ．
17．在平面直角坐标系中，点是该平面内任意一点，连接，则的最小值是 ．
18．一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ．
19．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ．
20．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度．
（1）平移后点C的对应点的坐标为 ；（2）点A平移的距离为 ．
21．如图，在直角坐标系中，的顶点A在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．则点的坐标为
22．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
23．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．
24．如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于 ．
25．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．
26．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒．
27．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ．
28．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ．
三、解答题
29．如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
30．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．
31．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
32．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
参考答案：
1．C
2．D
3．A
4．A
5．D
6．C
7．A
8．D
9．D
10．B
11．B
12．C
13．C
14．B
15．D
16．
17．//
18． 或1
19．1
20．
21．/
22．18
23．24
24．
25．
26．9
27．km
28．
29．【详解】（1）证明：∵
∴
又∵
∴；
（2）由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
30．（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
31．（1）解：在Rt△ABC中，AB＝，
由面积的两种算法可得：，
解得：CD＝；
（2）在Rt△ABD中，，
在Rt△ADC中，，
所以，
解得：．
32．(1)结论：DA=DB+DC.
理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，
∴AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴D,C,E三点共线，
∵AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∴AD=DC+CE=DB+DC;
(2)结论：DA=DB+DC,
证明如下：
如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,
∵,,
∴,
∵,
∴=,
∵AB=AC,CE=BD,
∴(SAS),
∴AD=AE, ,
∴,
∴,
∴,
∴DA=DB+DC.
一、单选题
1．如图所示，已知在中，平分，平分，且交于，若，则的值是（ ）
A．25 B．64 C．81 D．144
2．已知点M在y轴上，点，若线段的长为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，；，，；，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点A，B，C都在边长为1的小正方形网格的格点上，于点D，与网格线交于点F，取格点E，连接．对于四个说法：①，②，③，④点F在的平分线上，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 ( )
A． B．
C． D．
7．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
14．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：丈尺．设芦苇长尺，水的深度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （ ）
A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时
二、填空题
16．如图，和都是等腰直角三角形，，D是BC上一点，连接CE．若，，则DE的长度为 ．
17．在平面直角坐标系中，点是该平面内任意一点，连接，则的最小值是 ．
18．一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ．
19．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ．
20．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度．
（1）平移后点C的对应点的坐标为 ；（2）点A平移的距离为 ．
21．如图，在直角坐标系中，的顶点A在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．则点的坐标为
22．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
23．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．
24．如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于 ．
25．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．
26．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒．
27．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ．
28．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ．
三、解答题
29．如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
30．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．
31．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
32．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
参考答案：
1．C
2．D
3．A
4．A
5．D
6．C
7．A
8．D
9．D
10．B
11．B
12．C
13．C
14．B
15．D
16．
17．//
18． 或1
19．1
20．
21．/
22．18
23．24
24．
25．
26．9
27．km
28．
29．【详解】（1）证明：∵
∴
又∵
∴；
（2）由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
30．（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
31．（1）解：在Rt△ABC中，AB＝，
由面积的两种算法可得：，
解得：CD＝；
（2）在Rt△ABD中，，
在Rt△ADC中，，
所以，
解得：．
32．(1)结论：DA=DB+DC.
理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，
∴AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴D,C,E三点共线，
∵AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∴AD=DC+CE=DB+DC;
(2)结论：DA=DB+DC,
证明如下：
如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,
∵,,
∴,
∵,
∴=,
∵AB=AC,CE=BD,
∴(SAS),
∴AD=AE, ,
∴,
∴,
∴,
∴DA=DB+DC.