6.4.3正弦定理 课件（共18张ppt）2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

(共18张PPT)
正弦定理
我们回忆以前的直角三角形的边角关系
正弦=对边斜边
B
A
C
a
c
b
我们不难发现三个正弦中的分母都有c;
整理得
这就是正弦定理
这是在直角三角形中，那么其他的三角形是不是也具有这种关系呢？下面我们一起来探究一下
他们有什么共同点
新知探索
正弦定理的证明之向量法
A
（锐角三角形）如图作垂直，
=
=
即
同理可得
因此：
（钝角三角形）同样的方法大家可以自己尝试去证明（注意向量夹角）
综上可得对于任意的三角形都有
因此我们来总结出正弦定理：
文字语言：在一个三角形中，各边和它对角的正弦的比相等
符号语言：
同学们有没有其他的方法来证明正弦定理呢？
正弦定理证明之几何法
b
a
c
锐角三角形时如图：CD=
同理可得,=
a
b
c
钝角三角形时 CD=
同理可得
综上可得对于任意的三角形都有
正弦定理证明之外接圆法
如图作ABC的外接圆，圆心为O
连接BO并延长交圆与C′
由圆内同一条弦所对的圆周角相等知∠C=∠C′
=
在直角三角形BAC′=2R
O
A
C
B
C′
∟
B′
正弦定理证明之面积法
B
A
C
b
a
c


D
E
如图在锐角ABC中作高CD=bsinA和高AE=csinB
所以=cbsinA=acsinB
bsinA=asinB 即
同理可得
钝角三角形也是同样方法
综上可得对于任意的三角形都有
正弦定理的特征： 边与对角对称
正弦定理的应用：，这三个等式中
已知 两边和一对角 和一对角A
知三求一
已知两角A，B（内角和也知第三角）和任一边
正弦定理的变形公式
1.是外接圆半径
2.
(2.3的主要功能是边角互化，这在解三角形中是非常重要的作用
sin2C－sin2A－sin2B=sinAsinB --=
a=2bsinA =2
等号两边都有正弦且二次齐次
等号两边都有边且一次齐次
边角互化的主要特征：等号两边齐次
4.(比例的等比性质)
5.
A
B
如果与三角形内角和等于矛盾
多以A只能在之间，
6.
（解三角形中很重要的面积公式，记牢）
例题讲解
题型一：（两角一边）
例 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形
解1：由三角形内角和定理，得 C=120°.因为
解法2：易知C=120°设△ABC的外接圆半径为R，
题型二：两边一对角
例. 在△ABC中，已知 解这个三角形.
解：由正弦定理知
∴或
当
当
综上：
或
题型三：三角形形状的判定
在 ABC中，若acosA=bcosB,求证： ABC是等腰三角形或直角三角形。
解：由正弦定理知
sin2A=sin2B
2A=2B或2A+2B=即A+B=
所以 ABC是等腰三角形或直角三角形
变式：在△ABC中，有 = = 试判断此三角形的形状。
等边三角形
题型四：正余弦定理的结合
例 .△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2C－sin2A－sin2B=sinAsinB，求C.
解:∵sin2C－sin2A－sin2B=sinAsinB
∴由正弦定理，得c2－a2－b2=ab
∴由余弦定理，得=-
∵C∈（0，π）
题型五：三角形解的个数
已知a=16，b= ，A=30 .解三角形
解法二：运用正弦定理
∵
当 C=
当 C=
300
A
B
C
16
解法一：数形结合
如图CD=
所以在D的两侧由两个B点满足题意 故两解，后面解法二
D
B
解法三：由余弦定理知
解得c=16或32 后面同上
三角形解的个数判定
A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 absin A 两解
a＝bsin A 一解
a课堂小结：
1.正弦定理的证明
2.正弦定理的常见变形
3.正弦定理的应用
①两边一对角求解三角形
② 两角一边
③三角形解的个数