数学八年级上湘教版2.4线段的垂直平分线同步教案
文档属性
| 名称 | 数学八年级上湘教版2.4线段的垂直平分线同步教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 340.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-09-23 16:52:21 | ||
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文档简介
数学八年级上湘教版2.4线段的垂直平分线同步教案
一、教学内容：
线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；
用直尺和圆规作出已知线段的垂直平分线；
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等定理
二、教学目标
1、要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能利用这两个定理解决一些问题。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；
已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。
4、通过本节学习，进一步拓展学生的推理证明意识和能力
三、知识要点分析
( http: / / www.21cnjy.com )
1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
3. 尺规作图
尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤
作已知线段的垂直平分线
已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
四、重难点
重点：
1、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
2、作已知线段的垂直平分线。
3、三角形三边的垂直平分线性质。
4、已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
难点：
1. 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理和证明
2. 理解三线共点的证明方法。
3. 熟练地作图并能说出作图依据。
【典型例题】
考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理
例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴. 我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成
你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？
有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢. ”
通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了.”
我们只需在线段垂直平分线上任取一点作代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质
例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点.
求证：PA=PB.
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
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想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
证明：取AB的中点C，过PC作直线.
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∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上
考点二：尺规作图
例3、用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段AB（如图）.
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求作：线段AB的垂直平分线.
作法：1. 分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D.
2. 作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试
( http: / / www.21cnjy.com )
观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？
例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.
求证：P点在AC的垂直平分线上.
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证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）.
同理PB=PC.
∴PA=PC.
∴P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.
从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？
（交点P到三角形三个顶点的距离相等. ）
这就是我们今天学习的又一个定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1. 作BC=a；
2. 作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3. 以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4. 连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形（如图所示）
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考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质
例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O
求证：OA=OB=OC.
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证明：∵AB=AC，
AD是BC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.
又∵AB的垂直平分线与AD交于点O，
∴OB=OC=OA（三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）.
【方法总结】
主要运用启发式教学，采用“实验——猜想—— ( http: / / www.21cnjy.com )验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯。
【预习导学方案】
（角平分线和本章知识回顾）
（一）预习前知
1. 角平分线有什么性质？画出三角形三个角的角平分线，它们交于同一点吗？
2. 归纳本章内容
（二）预习导学
1. 已知，如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，点P是角平分线上任一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。
求证：PD=PE
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反思：角平分线到这个角两边的距离有什么样的关系？
2. 建立本章的知识框架图
反思：本章的知识要点之间的内在联系。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
*2、已知，如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为 （ ）
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A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3、如图所示，有A、B、C三个居民小区 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
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A、AB、BC两边高线的交点处
B、AC、BC两边中线的交点处
C、AC、BC两边垂直平分线的交点处
D、∠A、∠B的平分线交点处
二、填空题
4、如图所示，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，BC=18cm，则BE的长度为
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*5、锐角△ABC中，∠A=60°，AB，AC两边的垂直平分线交于点O，则∠BOC的度数是
__________。
*6、在△ABC中，AB=AC，A ( http: / / www.21cnjy.com )B边的中垂线交AC于F，若AB=12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是
7、如图，∠ACB=90°，BC=1，∠A=30°，D为AB中点，DE⊥AC于E，则△CED的周长为
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三、作图题
8、已知△ABC，用直尺和圆规求作其三边的垂直平分线（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）
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四、证明题
**9、两个全等的含、角的三角板和三角板如图所示放置，，，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，，试判断的形状，并说明理由.
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*10、如图，在△ABC中，AD是高，CE为中线，DG⊥CE，G为垂足，DC=BE。
求证：（1）G是CE的中点
（2）∠B=2∠BCE
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试题答案
1、A 2、A 3、C 4、12cm 5、120° 6、32cm 7、
8、略
9、的形状是等腰直角三角形.
证明：连接，由题意得：
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.
又，
.
.
.
.
又，
.
.
所以的形状是等腰直角三角形.
10、分析：由于E点为Rt△ADB ( http: / / www.21cnjy.com )斜边的中点，因而连接DE，则有DE=BE=DC，根据等腰三角形的“三线合一”，可得结论（1）；由（1）∠B=∠BDE，∠DEC=∠BCE，得结论（2）
证明：（1）连接DE，在Rt△ADB中，
∵E为AB中点
∴DE=BE
又∵DC=BE
∴DE=DC
∵DG⊥CE，
∴EG=GC，即G是CE的中点
（2）∵DE=BE
∴∠B=∠BDE
∵DE=DC
∴∠BCE=∠DEC
又∵∠BDE=∠BCE+∠DEC
∴∠B=2∠BCE
一、教学内容：
线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；
用直尺和圆规作出已知线段的垂直平分线；
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等定理
二、教学目标
1、要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能利用这两个定理解决一些问题。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；
已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。
4、通过本节学习，进一步拓展学生的推理证明意识和能力
三、知识要点分析
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1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
3. 尺规作图
尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤
作已知线段的垂直平分线
已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
四、重难点
重点：
1、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
2、作已知线段的垂直平分线。
3、三角形三边的垂直平分线性质。
4、已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
难点：
1. 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理和证明
2. 理解三线共点的证明方法。
3. 熟练地作图并能说出作图依据。
【典型例题】
考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理
例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
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在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴. 我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成
你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？
有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢. ”
通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了.”
我们只需在线段垂直平分线上任取一点作代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质
例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点.
求证：PA=PB.
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
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想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
证明：取AB的中点C，过PC作直线.
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∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上
考点二：尺规作图
例3、用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段AB（如图）.
( http: / / www.21cnjy.com )
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：1. 分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D.
2. 作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试
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观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？
例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.
求证：P点在AC的垂直平分线上.
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证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）.
同理PB=PC.
∴PA=PC.
∴P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.
从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？
（交点P到三角形三个顶点的距离相等. ）
这就是我们今天学习的又一个定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1. 作BC=a；
2. 作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3. 以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4. 连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形（如图所示）
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考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质
例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O
求证：OA=OB=OC.
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证明：∵AB=AC，
AD是BC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.
又∵AB的垂直平分线与AD交于点O，
∴OB=OC=OA（三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）.
【方法总结】
主要运用启发式教学，采用“实验——猜想—— ( http: / / www.21cnjy.com )验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯。
【预习导学方案】
（角平分线和本章知识回顾）
（一）预习前知
1. 角平分线有什么性质？画出三角形三个角的角平分线，它们交于同一点吗？
2. 归纳本章内容
（二）预习导学
1. 已知，如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，点P是角平分线上任一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。
求证：PD=PE
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反思：角平分线到这个角两边的距离有什么样的关系？
2. 建立本章的知识框架图
反思：本章的知识要点之间的内在联系。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
*2、已知，如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为 （ ）
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A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3、如图所示，有A、B、C三个居民小区 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
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A、AB、BC两边高线的交点处
B、AC、BC两边中线的交点处
C、AC、BC两边垂直平分线的交点处
D、∠A、∠B的平分线交点处
二、填空题
4、如图所示，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，BC=18cm，则BE的长度为
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*5、锐角△ABC中，∠A=60°，AB，AC两边的垂直平分线交于点O，则∠BOC的度数是
__________。
*6、在△ABC中，AB=AC，A ( http: / / www.21cnjy.com )B边的中垂线交AC于F，若AB=12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是
7、如图，∠ACB=90°，BC=1，∠A=30°，D为AB中点，DE⊥AC于E，则△CED的周长为
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三、作图题
8、已知△ABC，用直尺和圆规求作其三边的垂直平分线（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）
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四、证明题
**9、两个全等的含、角的三角板和三角板如图所示放置，，，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，，试判断的形状，并说明理由.
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*10、如图，在△ABC中，AD是高，CE为中线，DG⊥CE，G为垂足，DC=BE。
求证：（1）G是CE的中点
（2）∠B=2∠BCE
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试题答案
1、A 2、A 3、C 4、12cm 5、120° 6、32cm 7、
8、略
9、的形状是等腰直角三角形.
证明：连接，由题意得：
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又，
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又，
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所以的形状是等腰直角三角形.
10、分析：由于E点为Rt△ADB ( http: / / www.21cnjy.com )斜边的中点，因而连接DE，则有DE=BE=DC，根据等腰三角形的“三线合一”，可得结论（1）；由（1）∠B=∠BDE，∠DEC=∠BCE，得结论（2）
证明：（1）连接DE，在Rt△ADB中，
∵E为AB中点
∴DE=BE
又∵DC=BE
∴DE=DC
∵DG⊥CE，
∴EG=GC，即G是CE的中点
（2）∵DE=BE
∴∠B=∠BDE
∵DE=DC
∴∠BCE=∠DEC
又∵∠BDE=∠BCE+∠DEC
∴∠B=2∠BCE
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