1.3导数在研究函数中的应用
第一课时 导数与函数的单调性
【考点梳理】
考点1、函数的单调性
在区间(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数．
f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数．
【考向】判断或证明函数的单调性
【例题分析】
例1、已知函数f(x)＝ax2＋lnx(x>0)，求函数f(x)的单调区间．
【变式训练】
1、函数f(x)＝ln(x＋1) (a>1)．讨论f(x)的单调性．
【适应训练】
2、已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.讨论函数f(x)的单调性．
分析：本题考查了导数的计算、导数的应用，体现了较强的分析能力、转化能力及应用能力，还体现了分类讨论思想．解题思路是求函数导数，讨论参数，确定导数的正负，判定函数的增减21世纪教育网版权所有
3、设f(x)＝x3－3ax(a≠0)，求函数f(x)的单调区间．
【课外作业】
4、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线
平行于x轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．
5、已知常数,函数.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.
考点二、求函数的单调区间
【考点梳理】
求函数的单调区间的“两个”方法
方法一：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小
到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
【例题分析】
例1.求函数y＝x2(x－3)的减区间？
例2.已知函数f(x)＝(x－k)ex；求f(x)的单调区间；
【变式训练】
1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
3.已知函数f (x)＝2x3＋tx2－3t2x＋(t≠0)，求f(x)的单调区间．
4.已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)．
(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
【适应训练】
5.已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．21教育网
【课外作业】
6.已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)的零点．
考点三、已知函数的单调性求参数的范围
【考点梳理】
已知函数单调性，求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．21cnjy.com
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．2·1·c·n·j·y
【提醒】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．21·世纪*教育网
【例题分析】
例1. 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a的取值范围．www-2-1-cnjy-com
【变式训练】
1.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是__________．
2.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；
若不存在，说明理由；
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．
【适应训练】
3.已知函数f(x)＝，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
【课外作业】
4.已知函数f(x)＝－－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[－1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．
第二课时 导数与函数的极值、最值
考点一 运用导数解决函数的极值问题
【考点梳理】
函数的极值
当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
【提醒】可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点． 21*cnjy*com
【例题分析】
考向一、知图判断函数极值
例1. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【变式训练】
1．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断正确的是______．(填序号)
【适应训练】
2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为________．
【课外作业】
3.设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
6．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则( )
A．f(x)的极大值为f(，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
考向二、已知函数求极值
【例题分析】
例1．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
【变式训练】
1.求函数f(x)＝sin x＋x，x∈(0,2π)的极值．
【适应训练】
2.已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.
(2)求函数f(x)的极值.
【课外作业】
3．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
考向三、已知极值求参数
【例题分析】
例1 ．设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．
【变式训练】
1．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，0) B. C．(0，1) D．(0，＋∞)
【适应训练】
2．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是 ( )21·cn·jy·com
A. B. C. D.
考点二 运用导数解决函数的最值问题
【考点梳理】
函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，为函数的最小值，为函数的最大值；
若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：【出处：21教育名师】
①求f(x)在(a，b)内的 极值 ；
②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【提醒】函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
【例题分析】
例1. (2015·衡水中学)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(t>0)上的最小值．
【变式训练】
1.设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在上的最大值．
【适应训练】
2.已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a＜0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．
【课外作业】
3.已知函数f(x)＝x2ex，求函数在[－1,1]上的最值．
4.已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．2-1-c-n-j-y
2．(2014·江西高考)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中 a<0.
(1)当 a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间 [1,4]上的最小值为8，求 a的值．
考点三 函数极值和最值的综合问题
【例题分析】
例1.
【变式训练】
1.已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
【适应训练】
2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．www.21-cn-jy.com
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
1.3导数的应用
第一课时 导数与函数的单调性
【考点梳理】
考点1、函数的单调性
在区间(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数．
f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数．
【考向】判断或证明函数的单调性
【例题分析】
例1、已知函数f(x)＝ax2＋lnx(x>0)，求函数f(x)的单调区间．
分析：本题主要考查了函数的性质和利用导数研究函数的最值等知识，同时也考查了分类讨论的思想和函数与方程思想．21教育网
解：∵f(x)＝ax2＋lnx(x>0)，∴f′(x)＝ax＋＝(x>0)
①当a≥0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的；
②当a<0时，f′(x)＝＝
由f′(x)>0得：
由f′(x)<0得：.又x>0，
∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
[点评] 近年来，函数与导数、不等式结合的问题成为高考考查的热点．这类问题或给出新的情景，理解起来有一定的难度，或需要较强的运算和构造能力，给我们整理式子和寻找问题的突破口带来困难．因此，我们在复习时需要对这类问题进行针对性的训练．2·1·c·n·j·y
【变式训练】
1、函数f(x)＝ln(x＋1) (a>1)．讨论f(x)的单调性．
解：f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝
①当1
0，f(x)在(－1，a2－2a)内是增函数；
若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)内是减函数；
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．
③当a>2时，若x∈(－1,0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1,0)内是增函数；
若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)内是减函数；
若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)内是增函数．
【适应训练】
2、已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.讨论函数f(x)的单调性．
分析：本题考查了导数的计算、导数的应用，体现了较强的分析能力、转化能力及应用能力，还体现了分类讨论思想．解题思路是求函数导数，讨论参数，确定导数的正负，判定函数的增减21·世纪*教育网
解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1则当x∈时，f ′(x)>0；故f(x)在上单调递增，
x∈时，f ′(x)<0.故在上单调递减.
3、设f(x)＝x3－3ax(a≠0)，求函数f(x)的单调区间．
分析：求单调区间时，注意对参数a的讨论，以便确定f′(x)的符号．
解：f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
当a＜0时，f′(x)＞0恒成立，即函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
此时函数f(x)没有极值点．
当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0[来源:www.shulihua.net]
＋
f(x)
单调递增
f(－)
单调递减
f()
单调递增
因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间
为(－，)。
【课外作业】
4、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线
平行于x轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．
解：(1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，则g′(x)＝＋2ax＋b.
由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0，
∴b＝－2a－1.
(2)由(1)得g′(x)＝＝.
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴当a＝0时，g′(x)＝－.
由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，
即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，令g′(x)＝0得x＝1或x＝，
若＜1，即a＞，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜，
由g′(x)＜0得＜x＜1，
即函数g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜，
即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；
若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，
即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0单调递增；
当a＝时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， 在(1，＋∞)上
单调递增．
5、已知常数,函数.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.
【解题提示】
(1)先求导数，利用导数的符号判断增减性，表达式中有参数a，需要分类讨论；
（2）注意到定义域，限制a的取值范围，有极值点时其导数有两个变号零点。
【解析】(1)对函数求导可得
,
因为,所以当时,即时,恒成立,
则函数在单调递增,
当时, ，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间单调递减,在单调递增.
(2) 因为,
所以当时，，不存在极值点，
所以要使得有两个极值点，必有。
又的两个极值点只可能是，
且由的定义域可知，，
所以，解得。
此时分别是的极小值点，和极大值点。
令，
且当时，；当时，；
记
当时，所以在时，是减函数，
，故当时，，不合题意。
当时，，所以在时，是减函数，
故当时，，综上所述，满足条件的的取值范围为。
考点二、求函数的单调区间
【考点梳理】
求函数的单调区间的“两个”方法
方法一：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小
到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
【例题分析】
例1.求函数y＝x2(x－3)的减区间？
解析：y′＝3x2－6x，由y′＜0，即3x2－6x＜0，因式分解得3x(x－2)＜0，
解得0＜x＜2.
例2.已知函数f(x)＝(x－k)ex；求f(x)的单调区间；
[分析] 依据导数的符号来判断函数的单调性，再由单调性求最值．
[解析] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘?
－ek－1
↗?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)，
【变式训练】
1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：选A 函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．21·cn·jy·com
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D ∵f(x)＝(x－3)·ex，则f′(x)＝ex(x－2)，令f(x)＞0，得x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
3.已知函数f (x)＝2x3＋tx2－3t2x＋(t≠0)，求f(x)的单调区间．
分析：正确对函数f(x)进行求导，求出f′(x)＝0的根，对根的大小进行讨论，进而求出f′(x)＞0，f′(x)＜0的解集．2-1-c-n-j-y
解：f′(x)＝6x2＋3tx－3t2＝3(2x－t)(x＋t)．令f′(x)＝0，得x＝－t或x＝．[来
∵t≠0，以下分两种情况进行讨论：
①若t＜0，则＜－t．由f′(x)＞0，得x＜或x＞－t；由f′(x)＜0，得＜x＜－t．
②若t＞0，则＞－t．由f′(x)＞0，得x＜－t或x＞；由f′(x)＜0，得－t＜x＜．
∴当t＜0时，f(x)的递增区间为，(－t，＋∞)，递减区间为；
当t＞0时，f(x)的递增区间为(－∞，－t)，，递减区间为．
4.已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)．
(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解：(1)函数f(x)的定义域为R.
由已知得f′(x)＝－a.
∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数，
∴f′(－x)＝－f′(x)，即－a＝－＋a，
解得a＝.
(2)由(1)f′(x)＝－a＝1－－a.
①当a≥1时，f′(x)＜0恒成立，
∴a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减．
②当0＜a＜1时，由f′(x)＞0得(1－a)(ex＋1)>1，
即ex＞－1＋，解得x＞ln，
当0＜a＜1时，由f′(x)＜0得(1－a)(ex＋1)＜1，
即ex＜－1＋，解得x＜ln.
∴a∈(0,1)时，函数y＝f(x)在上单调递增，在上单调递减．
【适应训练】
5.已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．【出处：21教育名师】
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x
知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，则f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
【课外作业】
6.已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)的零点．
解析：(1)当x＞时，f′(x)＝1－＝，由f′(x)＞0得x＞1.
所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
当x≤时，f(x)＝x2＋2x＋a－1＝(x＋1)2＋a－2，
所以f(x)在(－1，)上是增函数，
所以f(x)的递增区间是(－1，)和(1，＋∞)．
(2)当x＞时，由(1)知f(x)在(，1)上递减，在(1，＋∞)上递增且f′(1)＝0.
所以f(x)有极小值f(1)＝1＞0，此时f(x)无零点．
当x≤时，f(x)＝x2＋2x＋a－1，Δ＝4－4(a－1)＝8－4a.
当Δ＜0，即a＞2时，f(x)无零点；
当Δ＝0，即a＝2时，f(x)有一个零点－1；
当Δ＞0，且f()≥0时，即，－≤a＜2时，f(x)有两个零点：x＝或x＝，即x＝－1＋或x＝－1－.
当Δ＞0且f()＜0，即，a＜－时，f(x)仅有一个零点－1－.
考点三、已知函数的单调性求参数的范围
【考点梳理】
已知函数单调性，求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． 21*cnjy*com
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
【提醒】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
【例题分析】
例1. 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a的取值范围．
分析：先求出f′(x)，则由题意知f′(x)≥0在区间[2，＋∞)上恒成立，从而转化为恒成立问题．[来源:www.shulihua.net]
解：要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0，∴2x3－a≥0，
∴当x∈[2，＋∞)时，a≤2x3恒成立．
∴a≤(2x3)min．∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是增函数，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16．
当a＝16时， f′(x)＝≥0且只有f′(2)＝0，
∴实数a的取值范围是a≤16．
【变式训练】
1.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是__________．
答案： 解析：由f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上单调，又f′(x)＝3x2＋2x＋m，则f(x)在R上只能单调递增．∴Δ＝4－12m≤0，∴．
2.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；
若不存在，说明理由；
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．
[分析] (1)求f′(x)转化成恒成立问题．
(2)假设存在a，求出a值进行检验．
[解析] (1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
故f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，则a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．
∵－1在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明：∵f(－1)＝a－2∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a的上方．
【适应训练】
3.已知函数f(x)＝，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}，f′(x)＝.
①当a＝0时，f(x)＝x(x≠0)，f′(x)＝1，
则x∈(－∞，0)，(0，＋∞)时，f(x)为增函数；
②当a>0时，由f′(x)>0得，x>2a或x<0，
由于此时02a时，f(x)为增函数，x<0时，f(x)为增函数；
由f′(x)<0得，0③当a<0时，由f′(x)>0得，x>0或x<2a，由于此时2a0时，f(x)为增函数．
由f′(x)<0得，2a综上，当a＝0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
当a>0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2a，＋∞)，单调减区间为(0，a)，(a,2a)．
当a<0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，2a)，(0，＋∞)，单调减区间为(2a，a)，(a,0)．
(2)①当a≤0时，由(1)可得，f(x)在(1,2)上单调递增，且x∈(1,2)时，x≠a.
②当0<2a≤1时，即0③当1<2a<2时，即④当2a≥2，即a≥1时，由(1)可得，f(x)在(0，a)，(a,2a)为减函数，同时需注意a?(1,2)，满足这样的条件时f(x)在(1,2)单调递减，所以此时a＝1或a≥2.
综上所述，a的取值范围是∪{1}∪[2，＋∞)．
【课外作业】
4.已知函数f(x)＝－－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[－1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝时，f(x)＝－－x，
f′(x)＝[(ex)2－3ex＋2]＝(ex－1)(ex－2)，
令f′(x)＝0，得ex＝1或ex＝2，
即x＝0或x＝ln 2；
令f′(x)＞0，则x＜0或x＞ln 2；
令f′(x)＜0，则0＜x＜ln 2.
∴f(x)的递增区间是(－∞，0)，(ln 2，＋∞)；
递减区间是(0，ln 2)．
(2)f′(x)＝＋－a，
令ex＝t，由于x∈[－1，1]，
∴t∈.
令h(t)＝＋，
h′(t)＝－＝，
∴当t∈时，h′(t)＜0，函数h(t)为单调减函数；
当t∈(，e]时，h′(t)＞0，函数h(t)为单调增函数．
故h(t)在上的极小值点为t＝.
又h(e)＝＋＜h＝＋e，
∴≤h(t)≤e＋.
∵函数f(x)在[－1，1]上为单调函数，
若函数f(x)在[－1，1]上单调递增，
则a≤＋对t∈恒成立，
所以a≤；
若函数f(x)在[－1，1]上单调递减，
则a≥＋对t∈恒成立，
所以a≥e＋，
综上可得a的取值范围是(－∞，]∪.
第二课时 导数与函数的极值、最值
考点一 运用导数解决函数的极值问题
【考点梳理】
函数的极值
当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
【提醒】可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．【来源：21·世纪·教育·网】
【例题分析】
考向一、知图判断函数极值
例1. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【版权所有：21教育】
【变式训练】
1．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断正确的是______．(填序号)
答案：④ 解析：函数的单调性由导数的符号确定，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，
同理f(x)在(2,4)上为减函数，
在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，
所以可排除①和②，可选择③．
由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，
所以x＝2时，函数有极大值；
而在的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在的左右两侧均为增函数，
所以不是函数的极值点．排除④和⑤．
【适应训练】
2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为________．
解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．
答案 1
【课外作业】
3.设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是
【答案】C
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
解析：选A 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－，选A.21cnjy.com
5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )21教育名师原创作品
解析：选D 因为′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
6．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则( )
A．f(x)的极大值为f(，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
答案 D
解析 由函数y＝x·f′(x)的图像可知，
x∈(－∞，－3)，f′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈(－3,3)，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(3，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴选D.
【参考答案】
考向二、已知函数求极值
【例题分析】
例1．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
【变式训练】
1.求函数f(x)＝sin x＋x，x∈(0,2π)的极值．
解：f′(x)＝cos x＋，令f′(x)＝cos x＋＝0，
得cos x＝－．
又∵x∈(0,2π)，∴x＝或x＝．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
＋
单调递减
极小值
－
单调递增
∴当x＝时，f(x)取极大值＋；
当x＝时，f(x)取极小值－．
【适应训练】
2.已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.
(2)求函数f(x)的极值.
【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,求出切线方程,欲求极值,先求单调性,要注意对参数a进行讨论.21世纪教育网版权所有
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x>0),
所以f(1)=1,f'(1)=-1,
所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
(2)由f′(x)= ,x>0可知:
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a;
因为x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
【课外作业】
3．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
解：(1)由于f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
则f′(1)＝3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3；
f′(2)＝12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3，
于是有f(1)＝－，f′(1)＝－3，
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
则g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x，
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3，于是函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减．
所以函数g(x)在x＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.
考向三、已知极值求参数
【例题分析】
例1 ．设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．
解析：由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
且f′(x)＝－2ax－1＝，
由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得a＝－，
又当a＝－时，f′(x)＝＝，
当01时，f′(x)>0，
所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a＝－.
答案：－
【变式训练】
1．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，0) B. C．(0，1) D．(0，＋∞)
解析 由题知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0，1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝?x0＝1，令2a＝1?a＝，结合图象知0【适应训练】
2．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
解析 若函数f(x)在区间上无极值，则当x∈时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．当x∈时，y＝x＋的值域是；当x∈时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，即a≤x＋恒成立，a≤2；当x∈，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，即a≥x＋恒成立，a≥.因此要使函数f(x)在上有极值点，实数 a的取值范围是，故选C.
答案 C
【课外作业】
考点二 运用导数解决函数的最值问题
【考点梳理】
函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，为函数的最小值，为函数的最大值；
若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的 极值 ；
②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【提醒】函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
【例题分析】
例1. (2015·衡水中学)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(t>0)上的最小值．
解：(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.
又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，
故切线的斜率为g′(1)＝4e.
所以切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
①当t≥时，在区间上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tln t.
②当0所以f(x)min＝f＝－.
【变式训练】
1.设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在上的最大值．
解：(1)f′(x)＝－2bx，
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴解得
(2)由(1)得f(x)＝ln x－x2，
则f′(x)＝－x＝，
∵当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<1；
令f′(x)<0，得1【适应训练】
2.已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a＜0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．
解 (1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0得x＝或x＝2，
由f′(x)＞0得x∈或x∈(2，＋∞)，
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
深度思考 对于第(2)问已知函数f(x)在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解法你了解吗？(先求f(x)的最值再解方程求参数)
(2)f′(x)＝，
a＜0，由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.当x∈时，
f(x)单调递增；
当x∈时，f(x)单调递减；
当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f ＝0.
①当－≤1，即－2≤a＜0时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．www-2-1-cnjy-com
②当1＜－≤4，即－8≤a＜－2时，f(x)在[1，4]上的最小值为f ＝0，不符合题意．
③当－＞4，即a＜－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上，a＝－10.
规律方法 (1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．
【课外作业】
3.已知函数f(x)＝x2ex，求函数在[－1,1]上的最值．
[解析] ∵f(x)＝x2ex，
∴f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(2x＋x2)．
令f′(x)＝0，∴x＝0或x＝－2(舍去)．
∵f(0)＝0，f(－1)＝e－1＝，f(1)＝e，
∴f(x)max＝f(1)＝e，f(x)min＝f(0)＝0.
4.已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．
解析：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴?
∴f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极大值＝f(0)－f(2)＝4.
答案：4
2．(2014·江西高考)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中 a<0.
(1)当 a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间 [1,4]上的最小值为8，求 a的值．
解：(1)当a＝－4时，f(x)＝(4x2－16x＋16) ，其中x>0.则f′(x)＝.
由f′(x)>0得02.
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝，a<0，
由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增；当x∈－，－时，f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1时，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4时，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－>4时，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有，a＝－10.
考点三 函数极值和最值的综合问题
【例题分析】
例1.
【变式训练】
1.已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
解：(1)f′(x)＝
＝，
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．21*cnjy*com
又因为a>0，所以－30，即f′(x)>0，
当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f(x)＝.
因为f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．
而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
【适应训练】
2.
【课外作业】
3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．www.21-cn-jy.com
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0， ①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0， ②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
8
?
13
?
?
4
13，最小值为.
