1.2反比例函数的图象与性质 课件

课件49张PPT。1.2 反比例函数的图象与性质如何画反比例函数 的图象？列表：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，因此，
让x取一些负数值和一些正数值，并且计算出相
应的函数值，列成下表：描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，
相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.
如下图所示. 观察左图，y轴右边的
各点，当横坐标x逐渐增大
时，纵坐标y如何变化？
y轴左边的各点是否也
有相同的规律？当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小；当x＜0时，也有这一规律.我们可以证明：对于反比例函数 ，
连线：根据以上分析，我们可以把y轴右边各点和左边
各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来. 从 看出，x取任意非零实数，都有y≠0，因此这两支曲线与x轴都不相交.由于x不能取0 ，
因此这两支曲线与y轴也都不相交.

这样就画出了 的图象，如下图所示. 在下图所示的直角坐标系内，画出反比例函数 的图象.
（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如
何变化？（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？观察画出的 ， 的图象，思考下列问题：
可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限. 对于y轴右边的点，当自变量
x逐渐增大时，函数值y反而减小；
对于y轴左边的点也有这一性质. 一般地，当k > 0时，反比例函数 的图象
由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们
与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随
自变量x 的增大而减小.1. 画出下列反比例函数的图象： 解 的图象与 的图象有什么关系？ 如何画反比例函数 的图象？ 当x=3时， 的函数值为-2，而 的
函数值为2．在平面直角坐标系内，点A（3，-2）与B（3，2）关于x轴对称，如下图所示: 类似地，当x取任一非零实数a时， 的函数值
为 ，而 的函数值为 ，从而都有点P(a， )与点Q(a， )关于x轴对称，因此 的图象与 的图象关于x轴对称. 于是只要把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就得到 的图象，如下图中的红色曲线所示． 从图中看出： 的图象由分别在第二、四
象限的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，
在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大. 类似地，当k＜ 0时，反比例函数 的图象与
的图象关于x 轴对称．从而当k＜0时，反比例函数 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大. 由于我们已经知道了当k＜ 0时反比例函数 的图象的性质，因此今后画反比例函数 （k＜ 0）的图象时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.举
例例1

画反比例函数 的图象.列表：让x取一些非零实数，并计算出相应的函数值y，
列成下表.
描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，
相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.连线：把y 轴左边各点和右边各点分别用一条
光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数
的图象，如下图所示.
●●●●●●●●●●综上所述，我们得到： 反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为
双曲线.
画出下列反比例函数的图象：(1)(2)(1) 解 （1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式； （2） 判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数
的图象上；（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，
函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式； 解 因为反比例函数 的图象经过点 P（2，4），
即点P 的坐标满足这一函数表达式，
因而 ，
解得 k = 8.
因此，这个反比例函数的表达式为 . （2） 判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数
的图象上；解 把点A，B 的坐标分别代入 ，可知点A 的坐
标满足函数表达式，点B的坐标不满足函数表达
式，所以点A 在这个函数的图象上，点B 不在这
个函数的图象上.
解 因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第 一、
三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大
而减小.
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，
函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
例2
下图是反比例函数 的图象.根据图象，回答下列问题：

（1）k 的取值范围是k ＞ 0还是k ＜ 0？说明理由；
（2）如果点A（-3， ），B（-2 ， ）是该函数图象
上的两点，试比较 ， 的大小.（1）k 的取值范围是k ＞ 0还是k ＜ 0？说明理由；解 因为点A(-3， ），B（-2， ）是该图象上的两点，
且-3 ＜ 0，-2 ＜ 0，所以点A，B 都位于第三象限.
又因为-3 ＜ -2，由反比例函数图象的性质可知：
＞ .

（2）如果点A（-3， ），B（-2 ， ）是该函数图象
上的两点，试比较 ， 的大小.
例3
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.举
例× 由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点P
（-3，4）是这两个函数图象上的点， 即点P的坐标
分别满足这两个表达式.因此因此，这两个函数表达式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.P 1.已知反比例函数 的图象经过点M（-2，2）.
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数
的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自
变量x 的增大如何变化？
（1）求这个函数的表达式；解 因为k ＜ 0，所以这个反比例函数的图象位于第
二、四象限，在每个象限内，函数值y随自变量
x的增大而增大.
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自
变量x 的增大如何变化？
由题意所以 m+3<0.所以 m<-3.所以所以当x = - 4时，反比例函数例1 已知反比例函数 的图象经过点
(2，-1)，下列说法正确的是 （ ）
A.点(-4，2)在它的图象上
B.它的图象分布在一、三象限
C.当x>0时，y随x的增大而增大
D.当x<0时，y随x的增大而减小C例2二、四 反比例函数 的图象在第 象限.结 束