(共22张PPT)
18.1.2平行四边形的性质
华师大版 八年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2．经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体
会图形性质探究的一般思路．
新知导入
我来当法官！
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是这样分的：如图2，利用平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个三角形，你认为四个孩子所得三角形土地的面积相等吗？
问题 你认为公平吗？
老大
老二
老三
老四
图2
新知讲解
合作学行四边形的对角线
问题 上面问题与平行四边形的哪个基本要素有关？
图形与几何
平行四边形
定义
性质
判定
边
角
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
对角线
问题：如图,在□ABCD中,当连结对角线AC、BD相交于点O时,除平行四边形中对边平行且相等、对角相等外,图中还有相等的线段吗？并说明理由。
A
B
C
D
O
O
发现
AO=CO，BO=DO
思考
（1）请你用演绎推理证明这个结论？
（2）你能归纳你得到的平行四边形的性质吗？
已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC， AB=DC ，
∴∠ABD=∠CDB， ∠BAO=∠DCO.
∴△ABO ≌△CDO.
∴ OA=OC，OB=OD.
求证：OA=OC，OB=OD.
提炼概念
如图□ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O．
几何语言：
定理3 平行四边形的对角线互相平分．
典例精讲
例5 如图□ ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在□ ABCD中
∵∴AB=6，AO+BO+AB=15，
∴AO+BO=15-6=9．
又∵AO=OC，BO=OD(平行四边形对角线互相平分），
∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=9×2=18．
例6 如图□ ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD相交于点E和点F．求证：OE=OF．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴OB=OD(平行四边形对角线互相平分）．
又∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FDO．
又∵ ∠EBO=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO．
∴OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．
例7 如图□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2．求边AB和BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC(平行四边形对角线互相平分）．
∵ △AOB的周+2= △BOC的周长，
∴AO+BO+AB+2=BO+CO+BC，
即 AB+2=BC．
又∵ □ ABCD的周长=16，
∴2（AB+BC)=16，
即4AB+4=16．
∴AB=3，BC=5．
例8 如图，在□ ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为E ，且BE=5cm，AD=7cm．求AD和BC之间的距离．
解：设AD和BC之间的距离为x cm ，
则□ ABCD的面积等于AD·x．
∴AD·x=AC·BE，
即7x=21×5，
x=15(cm)，
即AD和BC之间的距离为15cm．
归纳概念
在应用平行四边形的性质时，我们应从三个方面去考虑：从边、角、对角线看它们的性质；从“平行四边形的对角线互相平分”中得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差”；熟记这些结论，能为计算带来很多方便．
课堂练习
必做题
1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，AD=6，则△BOC的周长是（ ）
A、10 B、14
C、20 D、22
D
A
B
C
O
2.若平行四边形的对角线长分别为x和y，一边长为12，则x和y的值可能是（ ）
A、8和14 B、10和14 C、18和20 D、10和36
B
C
选做题
3.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2.求边AB和BC的长.
B
C
D
A
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵△AOB比△BOC周长小2
∴AB+2=BC
∵四边形ABCD周长为16，
∴AB=3,BC=5
综合拓展题
4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
E
F
O
证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，
∴OD=OB
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠AFD=∠CEB=90°
又∵∠DOF=∠BOE
∴△ODF≌△OBE
∴OF=OE
课堂总结
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
作业布置
必做题
1.□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，AD=a,则a的取值范围是 ；
1＜a＜7
选做题
2.如图，在□ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交于点E、F，AB=4，AD=3,OF=1.3.求四边形BCFE的周长.
A
B
C
D
E
F
O
解：∵平行四边形ABCD的对角线交于点O，
∴BO=OD，AB//DC
∴∠EBO=∠FDO
又∠EOB=∠FOD
∴△BOE≌△DOF ∴BE=DF
∴四边形BCFE的周长=CD+BC+2OF=9.6
综合拓展题
3. 如图，已知 ABCD与 EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：如图，连结BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．
谢谢
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分课时教学设计
第2课时《18.1.2平行四边形的性质 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 在掌握平行四边形部分性质的基础上进一步研究平行四边形的其他性质：平行四边形的对角线互相平分．会运用平行四边形的性质解决一些简单的问题，并在应用中探索平行线的性质．
学习者分析 通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法，经历探索平行四边形性质的过程．学会在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，享受运用知识解决问题的成功体验．
教学目标 1．理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征； 2．会利用平行四边形的特征进行相关的计算和说明．2
教学重点 理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征．
教学难点 会利用平行四边形的特征进行相关的计算和说明．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 【来源：21·世纪·教育·网问题 你认为公平吗？ 一位饱经苍桑的老人，经一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地。他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的（如图）： （1）、老大的土地面积和老三的土地面积相等吗？ （2）、找老大的土地面积和老四的土地面积这两个三角形的底和高，你有什么发现？ （3）、当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们：老人这样分地合理吗？ 】 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 会运用平行四边形的性质解决一些简单的问题，并在应用中探索平行线的性质．活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发.在掌握平行四边形部分性质的基础上进一步研究平行四边形的其他性质：平行四边形的对角线互相平分．环节二：新课讲解 ·世纪*教育网【活动】请同学们画一个□ABCD，对角线AC和BD相交于O，用刻度尺测量OA，OB，OC，OD的长度，并比较它们的大小关系．再画一个试一试. 【答案】OA ＝ OC， OB ＝ OD． 【结论】平行四边形的对角线互相平分． 合作探究 在上节课平行四边形的旋转过程中，我们也观察到了OA与OC，OB与OD能够互相重合，请同学们用学过的知识来说明这一现象 【回答】 □ABCD是一个中心对称图形，O是它的对称中心， OA ＝ OC， OB ＝ OD． 【总结】由此我们得出了平行四边形的又一个重要特征：平行四边形的对角线互相平分. 应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA ＝ OC，OB ＝ OD（平行四边形的对角线互相平分）． 【问题提出】你能证明这个定理吗？ 证明：如图，∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥CD，AB＝CD， ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4, ∴ △AOB ≌△COD（ASA）, ∴ OA＝OC，OB＝OD. 21世纪边形在应用平行四边形的性质时，我们应从三个方面去考虑：从边、角、对角线看它们的性质；从“平行四边形的对角线互相平分”中得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差”；熟记这些结论，能为计算带来很多方便． 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法，经历探索平行四边形性质的过程．1世活动意图说明： 指导学生建立模型，鼓励学生大胆探索．理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征． 环节三：例题讲解网例5 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？ 解：在□ ABCD中 ∵∴AB=6，AO+BO+AB=15， ∴AO+BO=15-6=9． 又∵AO=OC，BO=OD(平行四边形对角线互相平分）， ∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=9×2=18． 例6 如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. 解：∵ABCD是平行四边形， ∴OB=OD(平行四边形对角线互相平分）． 又∵AB∥CD， ∴∠EBO=∠FDO． 又∵ ∠EBO=∠DOF， ∴△BEO≌△DFO． ∴OE=OF． 例7 如图，平行四边形ABCD的周长为16，三角形AOB的周长比三角形BOC的周长小2.求AB和BC的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC(平行四边形对角线互相平分）． ∵ △AOB的周+2= △BOC的周长， ∴AO+BO+AB+2=BO+CO+BC， 即 AB+2=BC． 又∵ □ ABCD的周长=16， ∴2（AB+BC)=16，即4AB+4=16． ∴AB=3，BC=5． 例8 如图,在平行四边形ABCD中，AC=21,BE⊥AC,BE=5，AD=7.求AD和BC之间的距离. 2 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题．． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学．会利用平行四边形的特征进行相关的计算和说明．．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，AD=6，则△BOC的周长是（ ） A、10 B、14 C、20 D、22 2.若平行四边形的对角线长分别为x和y，一边长为12，则x和y的值可能是（ ） A、8和14 B、10和14 C、18和20 D、10和36 选做题： 3.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2.求边AB和BC的长. 【综合拓展类作业】 4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.求证：OE=OF.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，AD=a,则a的取值范围是 ； 选做题： 2.如图，在□ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交于点E、F，AB=4，AD=3,OF=1.3.求四边形BCFE的周长. 【综合拓展类作业】 3. 如图，已知 ABCD与 EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF.
教学反思 课堂小结
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级下册 第18章
课标要求 1. 掌握平行四边形的定义和基本性质。2. 探索并证明平行四边形的判定方法并掌握其应用。3. 掌握平行四边形与其他图形的关联及其在实际生活中的应用．
内容分析 平行四边形章节主要涵盖了平行四边形的定义、性质、判定方法，以及与其他几何图形的关联和实际应用。此章节的目的是帮助学生建立空间概念，提高几何推理能力，并为后续学习更复杂的几何图形打下基础．教材详细阐述了平行四边形的性质，包括对边相等、对角相等、邻角互补等。同时，也介绍了平行四边形的五种判定方法，如两组对边分别平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分等。这些性质和判定方法是解决平行四边形问题的关键．
学情分析 章内容的前后联系与作用:本章内容是在七年级下学期对多边形的概念、多边形的内角和及外角和公式研究的基础上，对特殊四边形的进一步整理和探究，也是对平行线和三角形知识的应用和深化:也是下一章研究特殊平行四边形的基础，是学习下一章特殊平行四边形的必备知识．
单元目标 教学目标理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性．2、探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．3、探索并证明平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．4、了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线之间的距离．5、会用平行四边形的性质、判定解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．（二）教学重点、难点教学重点：1. 平行四边形的定义和基本性质。2. 平行四边形的判定方法及其应用。3. 平行四边形与其他图形的关联及其在实际生活中的应用．教学难点：1. 对平行四边形性质的深入理解和灵活应用。2. 掌握平行四边形的多种判定方法，并能够在实际问题中准确运用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：教材还介绍了平行四边形与三角形、矩形、菱形等图形的关联。例如，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的所有性质，并额外具有一些特殊性质。这种关联有助于学生形成系统的几何知识网络。教材中给出了多个平行四边形的实际应用例子，如篱笆围成的菜地、窗户的边框等。这些例子不仅增强了学生对平行四边形概念的理解，也激发了他们的学习兴趣．2.本章教学建议：华师大八年级下册的数学教材在平行四边形章节的编写上具有以下特色：1、进一步加强说理能力的培养，为在九年级形成系统而完整的推理论证能力打下基础。从培养学生的逻辑思维能力来说，平行四边形这一阶段处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段。这一章内容比较简单，说理方法也相对比较单一，学生前面已经进行了一些推理证明的训练。但这种训练只是初步，要进一步的巩固和提高。教学中同样要重视推理论证的教学，进一步提高学生的思维能力。2.引导学生梳理知识内容，形成知识网络。这一章图形的性质和判定方法也比较多，虽然难度都不是很大，但要全部记住这些定理，也要花费许多时间和精力。解决这个问题也可以采用图示的办法。在学完了一个知识点后适时的引导学生对所学内容进行梳理，画出主要内容的图表，有利于学生掌握图形的概念和性质。3.重视信息技术的应用，提高学生几何的学习兴趣。在本章的教学中，还是要重视信息技术工具的使用。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来。许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质。3.重视数学思想方法的教学在平行四边形性质和判定定理的呈现顺序都是“探索--猜想-证明”，教学中一定要把握这条主线，不要轻易省略“探索”和“猜想”这两个过程，以免使几何学习变成仅仅是逻辑推理的训练，降低学生自主活动和自主探索的空间，不利于学生“基本活动经验”的获得。探索平四边形性质的方法，教材中是用图形的旋转来发现平行四边形的中心对称性以及对边、对角和对角线之间的关系，此方法直观，学生容易理解。教学中也可用测量法探索平行四边形的性质。发现的结论验证，验证过程必须注意两点:一是出发点正确；二是推理过程正确。在教学中应注意让学生搞清由因得果的关系。探索平行四边形判定的方法，是把性质定理的条件和结论互换，逆向思维，并自主动手，实验操作，探索所得的新命题是否成立。4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数18.1.1平行四边形的性质118.1.2平行四边形的性质118.2.1平行四边形的判定（1）118.2.2平行四边形的判定（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1.1平行四边形的性质1、在学生对平行四边形认识的原有基础上，进一步研究平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，平行四边形的对边相等，对角相等.2、引导学生通过实践操作、探究发现平行四边形的性质，学会在实践中思考、观察、发现、培养学生的动手实践能力. 1.平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，平行四边形的对边平行且相等，对角相等．2.运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．活动一：通过观察平行四边形的图片，使学生获得初步的感性认识，激发学生的兴趣．活动二：探究平行四边形对边相等，对角相等的性质．18.1.2平行四边形的性质1．理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征；2．会利用平行四边形的特征进行相关的计算和说明．1.理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征．2.会利用平行四边形的特征进行相关的计算和说明.活动一：会运用平行四边形的性质解决一些简单的问题，并在应用中探索平行线的性质．活动二：理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征．18.2.1平行四边形的判定（1）1．理解并掌握“平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形”．2．理解并掌握“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”．3．理解并掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．1.平行四边形的判定方法及应用．2．平行四边形的判定定理的灵活应用．活动一：在探究活动中理解并掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形．活动二：进一步掌握平行四边形的判定，会运用判定方法进行证明.活动三：巩固例题．18.2.2平行四边形的判定（2）1.掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理．2.利用平行四边形的判定进行简单的推理和证明． 1.掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理．2.平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．活动一：在探究活动中理解并掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形.活动二：进一步掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理，会运用判定方法进行证明．
《第18章 平行四边形》单元教学设计
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分课时学案
课题 18.1.2平行四边形的性质 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1．理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征；2．会利用平行四边形的特征进行相关的计算和说明．
重点 理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征．
难点 会利用平行四边形的特征进行相关的计算和说明．
教学过程
导入新课 【引入思考】问题 你认为公平吗？一位饱经苍桑的老人，经一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地。他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的（如图）：（1）、老大的土地面积和老三的土地面积相等吗？（2）、找老大的土地面积和老四的土地面积这两个三角形的底和高，你有什么发现？（3）、当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们：老人这样分地合理吗？ 】
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容探究一：【活动】请同学们画一个□ABCD，对角线AC和BD相交于O，用刻度尺测量OA，OB，OC，OD的长度，并比较它们的大小关系．再画一个试一试.【答案】OA ＝ ， OB ＝ ．【结论】平行四边形的对角线 ．探究二：在上节课平行四边形的旋转过程中，我们也观察到了OA与OC，OB与OD能够互相重合，请同学们用学过的知识来说明这一现象【回答】 □ABCD是一个 图形，O是它的 ，OA ＝ OC， OB ＝ OD．【总结】由此我们得出了平行四边形的又一个重要特征：平行四边形的对角线互相平分.应用格式：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA ＝ OC，OB ＝ OD（平行四边形的对角线互相平分）．【问题提出】你能证明这个定理吗？提炼概念（本节课主要内容提炼）在应用平行四边形的性质时，我们应从三个方面去考虑：从边、角、对角线看它们的性质；从“平行四边形的对角线互相平分”中得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差”；熟记这些结论，能为计算带来很多方便．典例精讲 例5 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？例6 如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.例7 如图，平行四边形ABCD的周长为16，三角形AOB的周长比三角形BOC的周长小2.求AB和BC的长.例8 如图,在平行四边形ABCD中，AC=21,BE⊥AC,BE=5，AD=7.求AD和BC之间的距离.
课堂练习 巩固训练1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，AD=6，则△BOC的周长是（ ）A、10 B、14C、20 D、222.若平行四边形的对角线长分别为x和y，一边长为12，则x和y的值可能是（ ）A、8和14 B、10和14 C、18和20 D、10和363.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2.求边AB和BC的长.4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.求证：OE=OF.课后作业必做题：1.□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，AD=a,则a的取值范围是 ；选做题： 2.如图，在□ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交于点E、F，AB=4，AD=3,OF=1.3.求四边形BCFE的周长.【综合拓展类作业】3. 如图，已知 ABCD与 EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF.
课堂小结
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