湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题（含解析）

长沙市周南中学2024年上学期高二年级入学考试数学试卷
考试时间：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（作业17：2）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数是定义在R上的奇函数，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．四个数，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（作业4：2）椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．已知，是两个不共线的单位向量，向量（，）．“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在第19届杭州亚运会期间，某项目有A，B，C，D四个不同的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到A服务站的不同分法的种数为（ ）
A．80 B．120 C．160 D．60
7．（作业3：4）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点P为椭圆C的上顶点，直线与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为，则椭圆C的短轴长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对部分给分，有选错的得0分．
9．（作业11：7）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
10．（作业13：8）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中
B．此次比赛得分及格的共有60人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.75
D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75
11．（作业2：8）在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为
C．过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为
D．当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（作业13：10）某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为__________．
13．（作业5：2）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为__________．
14．如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有__________条．（用数字作答）
四、解答题：本大题共8小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
分值：13+15+15+17+17
15．如图所示，在平面四边形ABCD中，，，．
（1）求的值；
（2）若，，求BC的长．
16．（作业16：19）已知：在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，．M为棱PD的中点．
（1）求证：平面平面PCD；
（2）求点P到平面MAC的距离．
17．（作业8：14改编）已知为等差数列，为等比数列，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）记，对任意的，恒有，求的取值范围．
18．（作业17：22改编）已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若，证明：当时，；
（3）若在有两个零点，求a的取值范围．
19．已知抛物线，Q为抛物线外一点，过点Q作抛物线的两条切线，切点分别为A，B（A，B在y轴两侧），QA与QB分别交x轴于M，N．
（1）若点Q在直线上，证明直线AB过定点，并求出该定点；
（2）若点Q在曲线上，求四边形AMNB的面积的范围．
长沙市周南中学2024年上学期高二年级入学考试数学试卷
参考答案
B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．D 7．A 8．B 9．ACD 10．ABD 11．BCD
8．【解析】由题意得到方程组①和②，即可解出a、b，求出短轴长．
【详解】椭圆的面积，即①
因为点P为椭圆C的上顶点，所以
因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以
因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②
②联立解得：．
所以椭圆C的短轴长为．
故选：B
11．【解析】对于A选项，，
在中即为异面直线与所成的角，
，
异面直线与所成的角的余弦值为．故A错误；
对于B选项，取的中点的中点，取的中点，连接，，，
，同理可得，又面，面，面，面，面，面，
又，面，面面，
又面，面，轨迹为线段，
在中，过作，此时取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如图，在中，．故B项正确；
对于C选项，过点的平面截正方体，
平面平面，则过点的平面必与与交于两点，
设过点的平面必与与分别交于、，
过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得，如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，
如图以为原点，分别以方向为轴 轴 轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，，
，，，，，，
，解得，，，，，在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即过点的平面截正方体所得的截面周长为．故C正确；
对于D选项，如图所示，取的中点，则，过作，
且使得，则为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球的半径，在中，，
．故D项正确，故选：BCD．
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】66
纵向有6条道路，横向有5条道路，认为点P路口处（画“×”的格点）四个方向均不可通行，则从西南角A地到东北角B地的最短路线________条.
15．(1)(2)
（I）在中，由余弦定理得
(II)设
在中，由正弦定理，
故
16．【详解】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，以AD所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
由已知可得A（0，0，6），0，0），4，0），1，8），0，1），
∵M为PD的中点，，
所以，，，
所以，所以AM⊥CD，
又点M为PD中点，PA＝AD＝1，
∵PD∩CD＝D，PD，∴AM⊥平面PCD，
又因为AM 平面MAC，故平面MAC⊥平面PCD；
（2）解：设平面MAC的法向量为，则，∴，
令x＝1，则y＝﹣1，z=1，∴
，设点P到平面MAC的距离为d，
，
∴点P到平面MAC的距离为．
17．解：若的公差为，结合题设可得：，又，故，
，
若的公比为且，结合题设可得：，又，故，
．
（2）答案：
由题设，，要使任意恒有，
，则恒成立
当为奇数时，恒成立，而，
故当时，对任意的恒成立；
当为偶数时，恒成立，而，
故当时，对任意的恒成立；
综上，存在实数，使得对任意的，恒有．
18．（1）y=x+1
（2）当时，，，则，
令，则，令，解得.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，当，有最小值为，
即，即，所以在上单调递增，所以，命题得证.
（3）若在有2个零点，则方程在上有2个解，
即在上有2个解，令，，
则，由得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当；当；
所以时，，所以.
19．【答案】（1）证明见解析，定点（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合处的切线方程求得直线所过定点.
（2）先求得四边形的面积的表达式，然后利用导数求得面积的取值范围.
【小问1详解】
设，直线，
联立，可得.
在轴两侧，，
，
由得，
所以点处的切线方程为，
整理得，
同理可求得点处的切线方程为，
由，可得，
又在直线上，.
直线过定点.
【小问2详解】
由（1）可得在曲线上，
.
由（1）可知，
，
，
令在单调递增，
四边形的面积的范围为.