吉林省第二实验学校2023-2024学年度下学期九年级第一次月考
数学试题
本试卷包括三道大题，共24小题。共6页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、校区、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
2．历时七年的建设，全长407000米的济南至郑州高速铁路于2023年12月8日10时58分实现全线贯通运营，济南至郑州最快1小时43分可达，济郑高铁的开通将结束两个人口亿级的大省没有高铁直连的历史．将407000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
4．如图是正方体的展开图，将它折叠成正方体后“龙”字的对面是（ ）
A．学 B．业 C．进 D．步
5．在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．木工弹线 B．泥工砌墙
C．弯路改直 D．射击瞄准
6．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过点A作轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若，则k的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
二、填空题（每小题3分，18分）
9．因式分解：______．
10．若关于x的方程有两个相等的实数根，则______．
11．2024年元旦期间，小华和家人到公园景区游玩．公园里有大小两种游船，小华发现：1艘大船与1艘小船一次满载游客共26人，2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人．若设一艘大船一次满袋人数为x人，则根据题意x的值为______．
12．如图，多边形ABCDE为内接正五边形，PA与相切于点A，则______．
13．如图，在平行四边形ABCD中，以C为位似中心，作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的位似比为2∶3，连接BP，DP，若平行四边形PECF的面积为20，则与的面积之和为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形AOBC的周长为14，的周长大于8，则h的取值范围为______．
三、解答题（共78分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．请用画树状图或列表等方法求出小明和小张在同一区域观看比赛的概率。
17．阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．市教育局向中小学生推出“童心读书会”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点1200米和1800米的两地同时出发，参加分享活动．乙同学的速度是甲同学的速度的1.2倍，甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的速度．
18．如图中，，CD平分交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作交AB于点E．
（1）求证：与AC相切；
（2）若，则AE的长为______．
19．春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动。为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98。
八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：86，86，86，90，94．
抽取的七、八年级学生测试成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 “优秀”等级所占百分比
七 89.4 89 a 30%
八 89.4 b 86 30%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______%；
（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，按步骤完成下列问题：
（1）如图1，已知点M、A、N均在格点上，求作点A关于直线MN的对称点，连结；
（2）如图2，的顶点均在格点上，格点E是BC边上一点，请在线段BC上找一点F，连结EF，使；
（3）如图3，的顶点均在格点上，求作点Q关于直线PR的对称点．
21．图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（℃）。华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如表所示的数据。
摄氏温度值 0 10 20 30 40
华氏温度值 32 50 68 86 104
（1）在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接；
（2）求y与x之间的函数解析式；
（3）某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16。求该温度区间的最大温差是多少摄氏度。
22．【模型建立】：如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且，探究图中线段EF，BE，DF之间的数量关系．小宋的探究思路如下：延长CB到点G，使，连接AG，先证明，再证明．EF，BE，DF之间的数量关系为______．若，则______．
【模型应用】：如图2，在矩形ABCD中，，点F为CD中点，，求BE的长．
【拓展提升】：通过对图2的分析，小宋同学在深人思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示）
23．在平行四边形ABCD中，，点E是AB上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连结PE，将线段PE绕点E顺时针旋转得到线段EF，连结PF，设点P的运动时间为t秒．
（1）用t表示线段AP的长度；
（2）连结AC，求的值；
（3）当点F在平行四边形ABCD的对角线上时，求t的值；
（4）连结DE，当DE分线段PF为1∶2的两部分时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点P、Q都是该抛物线上的点，P、Q的横坐标分别为m，，当点P、Q不重合时，连结PQ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）当线段PQ与对称轴为相交时，设其交点为M，当M不与P或Q重合时，以MQ为一边构造矩形MQGN，其中，同时使得点Q、G、N在的同侧．
①当抛物线在矩形MQGN的内部任意一点的纵坐标恒为负数时，求m的取值范围；
②当矩形MQGN被x轴分为面积相等的两部分时，直接写出m的值．参考答案
一，选择题
1.B.2.B.3.D.4.C.5.C.6.B.7.D.8.D
二.填空题
9.(b-1)2.10.1.11.18.12.36°.13.10.14.-3三.解答题
15.【解答】解：(2ab)(at2b)-2a(ab)
=2a+4ab-ab-2b2-2a+2ab
=5ab2b2;
当a=-2,b=1时，
原式=-10-2=-12
16.【解答】画树状图如下：
开始
AB CD A B CD A B C D AB C D
“小明和小张在同一区域观看比赛的概率为生=上
164
17.【解答】解：设甲同学的速度为x米/分，则乙同学的速度为1.2x米/分，
由题意得：
1800-1200=4,
1.2x
X
解得：x=75,
经检验，X=75是原方程的解，且符合题意，
.1.2x=1.2×75=90,
答：甲同学的速度为75米/分，乙同学的速度为90米/分.
18.【解答】(1)证明：过D作DF⊥AC于F,
∠B=90,
∴AB⊥BC,
,CD平分∠ACB交AB于点D,
D
:.BD=DF,
∴DF是圆的半径，
B
∴⊙D与AC相切；
(2)AE=1.
19.【解答】(1)89,88,20%；
(2)七年级的学生测试成绩更好，
理由：七年级学生成绩的中位数，众数都比八年级高；
(3)3500×4+2800×50%=1400+1400=2800(人)，
10
答：估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数为2800人.
20.【解答】
P
R
21.【解答】
解：(1)平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接，如图：
(2)设y与x的函数解析式为y=kx+b.
将(0,32)，(10,50)代入y=kxb中，得：
b=32
(10k+b=50
解得k=1.8
b=32
y与x的函数解析式为y=1.8x432;
(3)根据题意得：1.8x+32-=16.
当1.8x432-x=16时，
解得x=-20;
当×(1.8x+32)=16时，
解得x=-60,-20-(-60)=40℃，
该温度区间的最大温差是40摄氏度：
图1
图2
22.(1)
EF=BE+DF
3
2)9
(3)
b-a
b+a
23.(1)当0≤t<4时，AP=4-3t;当4(2)
2-5
(3)
1
152
15、
、69
(4)
104
6A
63、27
24.my=-+2+32)（3或号空)3)m2-6或m549生y同
