多边形的内角和
图片预览
文档简介
§7．3．2 多边形的内角和教案
【教学目标】
1.知识目标：
（1）通过探究，归纳出多边形的内角和及外角和公式；
（2）会灵活运用多边形的内角和及外角和公式进行计算。
2.能力目标：
（1）在经历探索多边形内角和公式的过程中，渗透数学转化思想，进一步发展学生的合情推理意识；
（2）培养学生主动探究的习惯，在应用多边形内角和公式解决问题过程中，渗透方程思想。
3.情感目标：
通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神；使学生懂得数学内容普遍存在相互联系，相互转化的特点。
【教学重点与难点】
重点： 多边形的内角和及外角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算。
难点： 如何引导学生参与到探索多边形的内角和公式过程中，通过动手实践、观察分析、归纳总结得出多边形的内角和公式。
【教具准备】
多媒体课件、量角器、直尺、小黑板。
【教学过程】
1．问题情境，导入新知
（1）同学们:老师给你们讲个故事好不好？
内角四兄弟之争
在一个长方形里住着四个内角，平时，它们四兄弟非常和睦，团结。可是有一天，老大突然不高兴，发起脾气来，它指着老二说：“我最有本事，凭什么让我们度数都是90°，我的度数要比你们大！”“不行啊！”老二说：“大哥：这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老大很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
（2）问题：三角形的内角和是多少度？
问题：思考特殊的四边形，长方形、正方形的内角和分别是多少度呢？
（3）问题：任意四边形的内角和是多少度？
2．合作交流，探究新知
（1）探究活动一：
探索任意四边形的内角和
问题：（1）你是如何得出四边形的内角和
等于360°这个结论的？
方法一 180°×2=360°
（2）问题：你还有其它办法吗？你是怎样得到的？
（3）学生说明方法：
方法二：在四边形的任一条边上取一个点，再把它与各顶点相连，将四边形分成3个三角形。这3个三角形所有内角之和既包括四边形的所有内角还包括顶点在边上的一个平角，四边形的内角和就等于3×180°-180°=360°。
方法二 方法三
方法四
方法三：可以在四边形的内部取一点，把这一点与各个顶点连接起来，把四边形分成四个三角形，因此，四边形的内角和为
4×180°-360°=360°。
方法四：可以在四边形的外部取一点，把这一点与各个顶点连接起来，这样把四边形分成四个三角形，因此，四边形的内角和为
3×180°-180°=360°。
（3）探究活动三：
探索多边形的内角和
①要求：选择一种最简单的分割多边形的方法，分别求出四边形、五边形的内角和等于多少度？n边形的内角和等于多少度？ （n是大于或等于3的整数）并完成以下表格。
多边形的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的内 角 和
3
4
5
…… …… …… …… ……
n
②请一些学生展示探究成果
I借助方法一探索多边形内角和：
从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，它将五形分为3个三角形，五边形的内角和等于180°×3=540°；
从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于
180°×（n-2）
引导学生寻找规律
问题：在探索多边形内角和时，这些多边形的边数与分成三角形的个数都存在着什么样的关系呢？
答：分成三角形的个数等于多边形的边数减去2。
引导学生归纳
四边形的内角和可以表示为(4-2) ×180°
五边形的内角和可以表示为(5-2) ×180°
n边形的内角和可以表示为(n-2) ×180°
II借助其它方法能否由此说明多边形的内角和等于
（n－2）·180？
问题：我们再回过头来看看探索多边形的内角和的过程，有一个什么显著的特点呢？
引导学生观察是把多边形转化成三角形来解决问题。
3．强化训练，掌握新知
（一）快速抢答
(1)多边形的内角和随着边数的增加而 增加 ，
边数增加一条时，它的内角和增加 180 度
（2）十二边形的内角和等于 1800 度
（3）一个多边形的内角和等于720°，
那么这个多边形是 六 边形.
（4）如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角 也互补 .
（二）应用新知
例1：如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外角和等于多少度？
解：如图，六边形ABCDEF中，
∠1+∠7=180 °，∠2+∠8=180 °，
∠3+∠9=180 °，∠4+∠10=180 °，
∠5+∠11=180 °，∠6+∠12=180 °.
∵ ∠7+∠ 8+∠9+ ∠10 +∠11+ ∠12 =（6－2）×180 °= 720°,
∴ ∠1+∠ 2+∠3+ ∠4 +∠5+ ∠6 = 6×180 °－720 ° = 360°.
所以六边形的外角和等于360°.
对于 n 边形，结论仍然成立吗？
探究学习
探究多边形的外角和
n边形的外角和=n个平角-内角和
=n×180°-(n-2) × 180°
=360°
结论：多边形的外角和等于360°
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
（三）学以致用
1小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008度的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？
解：小明的想法不能实现。
2正八边形每个内角等于多少度？
方法一：
解：每个内角相应的外角度数是：360°÷8=45°
180°-45°=135°
所以正八边形每个内角等于135°
方法二：
解：（8-2）× 180°÷8=135°
所以正八边形每个内角等于135°
3一个多边形每个内角都为150°，求此多边形的内角和。
方法一：
解：每个内角相应的外角度数是：180°- 150°=30°
360°÷30°=12
（12-2）×180°=1800°
所以多边形的内角和是1800°。
方法二：
解：设这个多边形的边数为n
根据题意，得
（n－2）· 180＝150 · n
解得 n = 12
（12-2）×180°=1800°
则这个多边形的内角和是1800°
（四）延伸拓展
4如图，求：∠M1+∠M2+∠M3+……+∠M6= 360 度
4．课堂小结，体验收获
“通过这节课的学习，谈谈你有什么收获！”
1、 n边形的内角和等于(n-2)×180°；
2、多边形的外角和是360度；
3、会运用多边形的内角和与外角和解决有关问题；
4、在解决问题时，体验了从未知到已知的转化思想；
5．布置作业，巩固提高
完成课本习题7.3第2题,第7题
6．课后思考题：
小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和2006°。你知道该同学漏加的那个内角的度数吗？你能算出这个多边形的边数吗？
M4
M5
M6
M1
M2
M3
【教学目标】
1.知识目标：
（1）通过探究，归纳出多边形的内角和及外角和公式；
（2）会灵活运用多边形的内角和及外角和公式进行计算。
2.能力目标：
（1）在经历探索多边形内角和公式的过程中，渗透数学转化思想，进一步发展学生的合情推理意识；
（2）培养学生主动探究的习惯，在应用多边形内角和公式解决问题过程中，渗透方程思想。
3.情感目标：
通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神；使学生懂得数学内容普遍存在相互联系，相互转化的特点。
【教学重点与难点】
重点： 多边形的内角和及外角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算。
难点： 如何引导学生参与到探索多边形的内角和公式过程中，通过动手实践、观察分析、归纳总结得出多边形的内角和公式。
【教具准备】
多媒体课件、量角器、直尺、小黑板。
【教学过程】
1．问题情境，导入新知
（1）同学们:老师给你们讲个故事好不好？
内角四兄弟之争
在一个长方形里住着四个内角，平时，它们四兄弟非常和睦，团结。可是有一天，老大突然不高兴，发起脾气来，它指着老二说：“我最有本事，凭什么让我们度数都是90°，我的度数要比你们大！”“不行啊！”老二说：“大哥：这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老大很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
（2）问题：三角形的内角和是多少度？
问题：思考特殊的四边形，长方形、正方形的内角和分别是多少度呢？
（3）问题：任意四边形的内角和是多少度？
2．合作交流，探究新知
（1）探究活动一：
探索任意四边形的内角和
问题：（1）你是如何得出四边形的内角和
等于360°这个结论的？
方法一 180°×2=360°
（2）问题：你还有其它办法吗？你是怎样得到的？
（3）学生说明方法：
方法二：在四边形的任一条边上取一个点，再把它与各顶点相连，将四边形分成3个三角形。这3个三角形所有内角之和既包括四边形的所有内角还包括顶点在边上的一个平角，四边形的内角和就等于3×180°-180°=360°。
方法二 方法三
方法四
方法三：可以在四边形的内部取一点，把这一点与各个顶点连接起来，把四边形分成四个三角形，因此，四边形的内角和为
4×180°-360°=360°。
方法四：可以在四边形的外部取一点，把这一点与各个顶点连接起来，这样把四边形分成四个三角形，因此，四边形的内角和为
3×180°-180°=360°。
（3）探究活动三：
探索多边形的内角和
①要求：选择一种最简单的分割多边形的方法，分别求出四边形、五边形的内角和等于多少度？n边形的内角和等于多少度？ （n是大于或等于3的整数）并完成以下表格。
多边形的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的内 角 和
3
4
5
…… …… …… …… ……
n
②请一些学生展示探究成果
I借助方法一探索多边形内角和：
从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，它将五形分为3个三角形，五边形的内角和等于180°×3=540°；
从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于
180°×（n-2）
引导学生寻找规律
问题：在探索多边形内角和时，这些多边形的边数与分成三角形的个数都存在着什么样的关系呢？
答：分成三角形的个数等于多边形的边数减去2。
引导学生归纳
四边形的内角和可以表示为(4-2) ×180°
五边形的内角和可以表示为(5-2) ×180°
n边形的内角和可以表示为(n-2) ×180°
II借助其它方法能否由此说明多边形的内角和等于
（n－2）·180？
问题：我们再回过头来看看探索多边形的内角和的过程，有一个什么显著的特点呢？
引导学生观察是把多边形转化成三角形来解决问题。
3．强化训练，掌握新知
（一）快速抢答
(1)多边形的内角和随着边数的增加而 增加 ，
边数增加一条时，它的内角和增加 180 度
（2）十二边形的内角和等于 1800 度
（3）一个多边形的内角和等于720°，
那么这个多边形是 六 边形.
（4）如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角 也互补 .
（二）应用新知
例1：如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外角和等于多少度？
解：如图，六边形ABCDEF中，
∠1+∠7=180 °，∠2+∠8=180 °，
∠3+∠9=180 °，∠4+∠10=180 °，
∠5+∠11=180 °，∠6+∠12=180 °.
∵ ∠7+∠ 8+∠9+ ∠10 +∠11+ ∠12 =（6－2）×180 °= 720°,
∴ ∠1+∠ 2+∠3+ ∠4 +∠5+ ∠6 = 6×180 °－720 ° = 360°.
所以六边形的外角和等于360°.
对于 n 边形，结论仍然成立吗？
探究学习
探究多边形的外角和
n边形的外角和=n个平角-内角和
=n×180°-(n-2) × 180°
=360°
结论：多边形的外角和等于360°
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
（三）学以致用
1小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008度的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？
解：小明的想法不能实现。
2正八边形每个内角等于多少度？
方法一：
解：每个内角相应的外角度数是：360°÷8=45°
180°-45°=135°
所以正八边形每个内角等于135°
方法二：
解：（8-2）× 180°÷8=135°
所以正八边形每个内角等于135°
3一个多边形每个内角都为150°，求此多边形的内角和。
方法一：
解：每个内角相应的外角度数是：180°- 150°=30°
360°÷30°=12
（12-2）×180°=1800°
所以多边形的内角和是1800°。
方法二：
解：设这个多边形的边数为n
根据题意，得
（n－2）· 180＝150 · n
解得 n = 12
（12-2）×180°=1800°
则这个多边形的内角和是1800°
（四）延伸拓展
4如图，求：∠M1+∠M2+∠M3+……+∠M6= 360 度
4．课堂小结，体验收获
“通过这节课的学习，谈谈你有什么收获！”
1、 n边形的内角和等于(n-2)×180°；
2、多边形的外角和是360度；
3、会运用多边形的内角和与外角和解决有关问题；
4、在解决问题时，体验了从未知到已知的转化思想；
5．布置作业，巩固提高
完成课本习题7.3第2题,第7题
6．课后思考题：
小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和2006°。你知道该同学漏加的那个内角的度数吗？你能算出这个多边形的边数吗？
M4
M5
M6
M1
M2
M3