概率及线性关系专题复习（含解析）
文档属性
| 名称 | 概率及线性关系专题复习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-25 15:30:26 | ||
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文档简介
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概率及线性关系专题复习
一、随机事件（概率）
1．连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件“第一次朝上的点数为奇数”，事件“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件与事件互斥
C． D．事件与事件相互独立
2．抛掷一枚质地均匀的股子，记“点数为，其中，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ）
A． B．为互斥事件
C． D．为对立事件
3．今年“五一”假期，各大商业综合体 超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ）
A．小王和小张都中奖的概率为0.08
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
4．甲 乙 丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中.
（1）若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；
（2）当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率.
二、条件概率
5．一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
6．甲 乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，则在这个问题已被正确解答的条件下，甲 乙两位同学都能正确解答该问题的概率为（ ）
A． ‘ B． C． D．
7．若随机事件，则（ ）
A． B． C． D．
8．抛掷甲.乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲.乙两骰子的点数之和大于7”，则下列概率正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲 乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲 乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
（1）甲 乙任选1个独立竞猜，求甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）甲 乙各任选2个独立竞猜，设甲 乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.
三、全概率
10．已知某地市场上供应的洗衣机中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有7名选手，其中5名男生，2名女生；乙组有7名选手，其中4名男生，3名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则下列结论错误的是（ ）
A．，是对立事件 B．
C． D．
12．有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
13．某市教育局组织各学校举行教师团体羽毛球比赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两个学校的教师团队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为，（注：比赛结果没有平局）．以下说法正确的是（ ）
A．甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是
B．甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是
C．甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率是
D．若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，则甲队明星队员M上场的概率是
14．为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植、、三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后，会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.
（1）在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；
（2）在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望.
四、两点分布
15．某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为，则射击一次，击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率，乙胜的概率为．则（ ）
A．当采用“三局两胜”制，甲胜的概率为
B．当采用“三局两胜”制，乙胜的概率为
C．当采用“五局三胜”制，甲胜的概率为
D．当采用“五局三胜”制，乙胜的概率为
18．下列说法正确的有（ ）
A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，
B．假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，两个孩子都是女孩的概率是
C．份不同的礼物分配给甲乙丙三人，每人至少分得一份，共有种不同分法
D．个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法
19．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个红球的概率是
B．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为
五、二项分布
20．若随机变量，则（ ）
A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6
21． 设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（ ）
A． B． C． D．
23．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3：2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制的比赛中，甲队打完4局才胜的概率为（ ）
A． B．
C． D．
24．西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
（1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
（2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
六、超几何分布
25．从一副不含大小王的52张扑克牌（即 不同花色的各4张）中任意抽出5张，恰有3张A的概率是（ ）
A． B． C． D．
26．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 等于（ ）
A． B． C． D．
27．从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分．按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ ）
A． B．3 C． D．
28．下列关于随机变量的说法正确的是（ ）
A．若服从正态分布，则
B．已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则
C．若服从超几何分布，则期望
D．若服从二项分布，则方差
29．某厂生产的产品每件包装成一箱，每箱含，，件次品的概率分别为，，在出厂前需要对每箱产品进行检测，质检员甲拟定了一种检测方案：开箱随机检测该箱中的件产品，若无次品，则认定该箱产品合格，否则认定该箱产品不合格．
（1）在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，求该箱产品不含次品的概率；
（2）若质检员甲随机检测一箱中的件产品，抽到次品的件数为，求的分布列及期望．
七、正态分布
30．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
31．某学校共1200人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为（ ）
A．240人 B．210人 C．180人 D．150人
32．某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759
33．下列命题中正确是（ ）
A．命题的否定
B．线性回归直线必过样本点的中心
C．若随机变量服从正态分布，，则；
D．函数在处的切线方程为
八、期望及方差关系
34．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
35．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
37．随机变量满足，且，则与的值分别为（ ）
A． B．3，4 C．4，3 D．
38．是随机变量，（ ）
A．若，则，
B．若，则
C．若，则，
D．若，则
九、线性回归方程
39．某商店的某款商品近5个月的月销售量（单位：千瓶）如下表：
第个月 1 2 3 4 5
月销售量 2.5 3.2 4 4.8 5.5
若变量和之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．点一定在经验回归直线上
B．
C．相关系数
D．预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶
40．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绕（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号 1 2 3 4 5
学习时间 30 40 50 60 70
数学成绩 65 78 85 99 108
（1）请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附：，．．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
41．某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
（1）求关于的经验回归方程；
（2）该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；
（3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
十、2*2联与独立检验
42．为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：
球队胜 球队负 总计
上场 22
未上场 12 20
总计 50
（1）求的值，据此能否有的把握认为球队胜利与球员有关；
（2）根据以往的数据统计，球员能够胜任前锋 中锋 后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：，当出任前锋 中锋 后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为：，则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；
②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求球员担当守门员的概率；
③在2022年的4场联赛中，用X表示“球队赢了比赛的条件下球员担当守门员”的比赛场次数，求的分布列及期望．
附表及公式：
．
43．近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机
抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）是否存99.9\%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关
（2）M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A，B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜，如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为；如果周一选择B平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为，求张无忌周二选择B平台买菜的概率：
（3）用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X，事件“”的概率为P(X=k)，使得P(X=k)取得最大值k的值
参考公式.其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
答案解析部分
1．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：连续投掷一个骰子两次， 每次骰子朝上的点数包含的基本事件共有36种情况：
A、因为事件包含18种情况，所以，故A正确；
B、事件和同时发生，例如：事件“第一次朝上的点数为3，第二次朝上的点数为2”，
所以事件和不是互斥事件，故B错误；
C、事件包含18种情况，事件也包含18种情况，其中第一次点数为奇数且点数和能被2整除，包括9种情况，
所以，故C正确；
D、由，，且，所以，即事件和相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可判断A；根据互斥事件的定义，举例说明，即可判断B；根据事件的关系，结合古典概型的概率计算即可判断C；根据独立事件的判定方法即可判断D.
2．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、抛掷一枚骰子基本事件包括：，则，故A正确；
B、因为表示点数为2是偶数，而表示奇数，所以，为互斥事件，故B正确；
C、因为表示点数为1，表示奇数，所以，故C错误；
D、因为，所以为对立事件，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意，逐项判断即可.
3．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：由 小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2 可知：
A、小王和小张都中奖的概率为，故A正确；
B、小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误；
C、小王和小张中只有一个人中奖的概率为，故C正确；
D、小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率公式求解即可.
4．【答案】（1）解：因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率.
（2）解：这三人都没答对该试题的概率，
当且仅当时，等号成立，
此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，
这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，三人至少有两人答对该试题的概率.
【解析】【分析】（1）根据题意分甲答对，乙答对，丙答对种情况，分别求出相应的概率，从而求解即可；
（2）由题意可知当三人都没答对该试题的概率，从而求出，再从反面求出三人中恰有一人答对该试题的概率，即可求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，事件AB为“第1次拿出的是白球，第2次拿出的是白球”，，
.
故答案为：D.
【分析】由题意先求出事件事件A和事件AB的概率，结合全概率公式求 .
6．【答案】D
【解析】【解答】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，又因为甲 乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，则
故
所以在这个问题已被正确解答的条件下，甲 乙两位同学都能正确解答该问题的概率为：
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，再结合独立事件求概率公式得出在这个问题已被正确解答的条件下，甲 乙两位同学都能正确解答该问题的概率。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据条件概率公式直接求解.
8．【答案】C,D
【解析】【解答】B、根据抛掷骰子的情况，根据种方法，如图所示
其中，，故B错误；
A、，故A错误；
C、 ，故C正确；
D、 ，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】分别列出各种情况，求出两事件的概率，再根据概率公式计算.
9．【答案】（1）解：设“甲猜对一个灯谜”，“乙消对一个灯谜”，
则
因为甲 乙恰有一人猜对的事件为，
所以
所以，甲 乙恰有一人猜对的概率为.
（2）解：设“甲猜对两道题”，“甲中奖”，
则
所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.
（3）解：由（1）知.
易知甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为.
则
所以的分布列为
0 1 2 3 4
因此，的数学期望
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件、独立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）由（1）知事件A和事件B的概率，再利用已知条件得出甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值，再利用独立事件求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：从该地市场上购买一台洗衣机，记“买到的洗衣机是甲厂产品”为事件，“买到的洗衣机是乙厂产品”为事件，“买到的洗衣机是合格产品”为事件B.
所以则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是.
故答案为：D.
【分析】根据全概率公式进行计算就可求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】解： A、根据对立事件的概念可得，A1，A2是对立事件，结论正确，A不符合题意；
B、根据题意，，结论正确，B不符合题意；
C、当A1发生时，乙组有5名男生，3名女生，其中抽取的不是1名女生的情况有5种，故，结论错误，C符合题意；
D、，结论正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据对立事件的概念判断A，根据全概率公式判断B，根据条件概率公式判断C、D.
12．【答案】B,C
【解析】【解答】
解：记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”
则，，
A、即，故A错误；
B、
，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC
【分析】运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.
13．【答案】B,C
【解析】【解答】解：若甲队明星队员M不出场，且甲乙两队比赛4局， 则甲队按3：1获胜，即前3局，甲队输1局，
所以甲队获胜的概率为，故A错误，B正确；
甲队3局获胜的事件记为A，前3局比赛，甲队明星队员M出场的事件记为B，
则，，
所以 甲队最终获胜的概率是 ，故C正确；
甲队明星队员M上场的概率是：
，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对AB：根据独立重复事件概率运算求解；对C：利用全概率公式运算求解；对D：利用条件概率公式运算求解.
14．【答案】（1）解：设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3.
在第一次种植的情况下，第三次种植的概率为
；
（2）解：由已知条件，在第1次种植的前提下：
，，，
，，，
因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，
，
，
所以的分布列为：
1 2
.
【解析】【分析】 (1) 设，，表示第次种植作物，，的事件，根据独立事件概率公式运算求解；
(2) 由题意可知：随机变量的可能取值为1，2，结合全概率公式运算求解，进而可得分布列和期望.
15．【答案】B
【解析】【解答】设该运动员射击一次，击中目标的概率为，
若该运动员三次射击中，至少有一次击中目标的概率为，解得.
故答案为：B.
【分析】设该运动员射击一次，击中目标的概率为，则得出三次都击不中目标的概率是(1-p)3，从而可得出，然后解出p的值即可得答案.
16．【答案】C
【解析】【解答】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，
则，
，则.
故答案为：C
【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，根据独立重复试验的概率公式，分给求得和，结合条件概率的计算公式，即可求解.
17．【答案】B,C
【解析】【解答】因为每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，
若比赛采用三局两胜制，甲胜的情况为连胜两局结束比赛或前两局胜一局第三局获胜，其概率为：，乙胜的概率为
A不符合题意，B符合题意；
若采用五局三胜制，则甲胜的情况为连续三局获胜结束比赛，或前三局有一局负，第四局胜，或前四局有两局获胜，第五局获胜.
其概率为：，乙胜的概率为
C符合题意，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】 根据独立事件的概率，依次计算三局两胜制和五局三胜制甲获胜的概率，即可得答案.
18．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对于A，若离散型随机变量X的数学期望为E(X)=5，方差为D(X)=2，
则E(2X-1)= 2E(X)-1=9，D(2X-1)= 2 D(X)=8，A正确；
对于B，假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，设两个孩子为甲和乙，则两个孩子的性别可能为：①甲为男孩，乙为男孩，②甲为男孩，乙为女孩，③甲为女孩，乙为男孩，④甲为女孩，乙为女孩，共4种情况，两个孩子都是女孩只占其中1种情况，故两个孩子都是女孩的概率是，B正确；
对于C，4份不同的礼物分成3组的方式只有1，1，2，所以只有=6种情况，再分配给三人，有=6种方式，
最后根据分步乘法计数原理可知，共有6x6=36种不同分法，C错误；
对于D，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，采用挡板法可知，共有种不同分法，D正确.故选ABD.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查了离散型随机变量分布列的期望，考查了逻辑推理和运算能力.由题意，利用均值方差的性质即可得到判断选项A；利用列举法即可判断选项B；利用先分组，再排列即可判断选项C；采用隔板法即可判断选项D.
19．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A选项，从中任取球，恰有一个红球的概率是，A对；
对于B选项，从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，
则次取球中恰好有两个白球的概率为，B不符合题意；
对于C选项，从中不放回的取球2次，每次任取球，
记事件第一次取到红球，记事件第二次取到红球，
则，C不符合题意；
对于D选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率，D对.
故答案为：AD.
【分析】由古典概率概率计算公式可判断A，由独立重复事件概率计算可判断B，由条件概率计算公式可判断C，由间接法，求得3球都是红球的概率即可判断D.
20．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据二项分布的可得，再结合方差的性质运算求解.
21．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知，二项式，
因为，
可得且，
A、若选项A成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，故A错误；
B、若选项B成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，故B错误；
C、若选项C成立，则， 解得，
代入上式验证成立，C正确；
D、若选项D成立，则， 解得，显然不成，所以D错误.
故答案为：C.
【分析】利用二项式的展开式和题设条件，得到且，结合选项和二项分布的期望与方程的公式，逐项判定，即可求解.
22．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知，每次摸球中中奖的概率，则，
因此 ξ的 期望为.
故选：A.
【分析】计算出每次摸球中中奖的概率，可知，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.
23．【答案】A
【解析】【解答】依题意可知，甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 ，若甲队打完4局才胜，则甲队在前3局中胜两场，而第4局必胜．故
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和二项分布求概率公式，进而得出在5局3胜制的比赛中，甲队打完4局才胜的概率。
24．【答案】（1）解：设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，
则；
因此从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为.
（2）解：由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，
由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则
，，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
P
.
【解析】【分析】(1)使用组合数的相关知识并结合古典概型公式，即可求得概率；
(2)根据二项分布模型计算出分布列，即可求得期望.
25．【答案】C
【解析】【解答】设X为抽出的5张牌中含A的张数，可知X服从超几何分布，其中 ，
则 .
故答案为：C.
【分析】设X为抽出的5张牌中含A的张数，可知X服从超几何分布，其中 ，进而求出 即可.
26．【答案】D
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据超几何分布的概率公式计算出各种可能的概率然后结合题意得出结果即可。
27．【答案】A
【解析】【解答】解：设得分为，根据题意可以取2，3，4
则，
，
.
则分布列为：
2 3 4
所以得分期望为.
【分析】利用取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.
28．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解： A、由于X~N(1，2)，所以D(X)=2，根据方差的性质，D(2X+2) =22D(X) =8，A正确；
B、X服从二项分布B(2，p)，∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=2p-p2=，解得p=，∴P(Y<0) =，根据正态分布的对称性可得，P(2C、X服从超几何分布H(4，2，10)，根据超几何分布的期望公式，E(X)==，C正确；
D、X服从二项分布B(4，)，根据二项分布方差公式得，D(X)=np(1-p)==，D正确；
故答案为：ACD．
【分析】A选项，先得到D(X)=2，进而根据方差的性质求解；B选项，根据二项分布求出概率，得到方程，求出p=，再根据正态分布的对称性求出概率；C选项，根据超几何分布的期望公式求解；D选项，由二项分布方差公式求解.
29．【答案】（1）解：记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件，“该箱产品不含次品”为事件，
则，
，
由条件概率公式得，
所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为．
（2）解：由题意可得可以取，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以．
【解析】【分析】(1)利用全概率公式先求出，再利用条件概率公式即可求解.
(2)利用组合知识分别求取X=0，1，2的概率，再利用离散型随机变量的期望公式.
30．【答案】B
【解析】【解答】解：因为可知正态曲线的对称轴为，
则由对称性可知，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
31．【答案】C
【解析】【解答】解：由 成绩近似服从正态分布，若，
可得，所以 估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为人.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布曲线的对称性，求得，进而求得成绩不及格的学生人数，得到答案.
32．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
∴
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的对称性及所提供的数据运算即可.
33．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：对于A中，命题的否定为，所以A不正确；
对于B中，根据回归直线的概念，可得线性回归方程必过样本点的中心，所以B正确；
对于C中，由随机变量服从正态分布，正态分布曲线关于对称，
因为，所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，则，
所以切线方程为，即，所以D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，可判定A不正确；根据回归直线方程的特征，可判定B正确，根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确，根据导数的几何意义，可判定D正确.
34．【答案】C
【解析】【解答】解：∵随机变量，
∴，，
∴，
解得：或者（舍）
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解.
35．【答案】D
【解析】【解答】由题意可知： 随机变量 的分布列为
X 0 1
P
对于A：可得随机变量 的期望，故A错误；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意可得随机变量 的分布列，对于A：根据期望的公式运算求解；对于BCD：根据期望的性质运算求解.
36．【答案】D
【解析】【解答】随机变量，∴， 解得，
∴，则.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出p的值，进而得出随机变量Y服从二项分布，再结合二项分布求方差公式得出随机变量Y的方差。
37．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为X+2Y=1，所以X=1-2Y，
所以，
故选：A.
【分析】先根据二项分布的均值与方差的公式，求得E(Y)、D(Y)，然后利用X和Y的关系，及离散型随机变量的均值和方差的性质，求得E(X)、D(X)即可.
38．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对于A，若，则，，所以A对；
对于B，若，则，所以B对；
对于C，若，则，，所以C对；
对于D，若，则则，所以D错.
故答案为：ABC.
【分析】利用二项分布的期望和方差公式判断出选项A；由超几何分布的期望公式判断出选项B；由正态分布的期望和方差公式判断出选项C；由正态分布的性质和正态密度曲线的对称性，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
39．【答案】A,B
【解析】【解答】解：根据图表可知，，，
所以点一定在回归方程上，
所以A选项正确，
代入回归方程得：，
所以，
所以B选项正确，
因为 变量和之间呈正相关，所以相关系数，
所以C选项错误，
当时，，
所以预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，
所以D选项错误，
故答案为：AB.
【分析】首先求出的平均数，得到的点坐标一定在经验回归直线上，代入平均数，求得；再根据回归方程的表达式，可知相关系数大于0；将代入到方程，求出该款商品第6个月的预计销售量.
40．【答案】（1）解：，
，又，的方差为，
所以，
，故，当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．
（2）解：零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
，
因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【解析】【分析】（1）先求出平均数，再利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩 ；
（2）先零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，根据题意计算出，进而由的独立性检验得出答案.
41．【答案】（1）解：，
则，
所以，
所以；
（2）解：当时，，
所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次；
（3）解：可取，
，，
，，
，
所以分布列为
所以.
【解析】【分析】（1）根据题中数据先求，再利用最小二乘法求出，即可得关于的经验回归方程；
（2）将代入（1）的回归方程即可得解；
（3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，最后根据期望公式求期望即可.
42．【答案】（1）解：解：根据题意，补全列联表如下表：
球队胜 球队负 总计
上场 22 30
未上场 12 20
总计 30 20 50
所以，，，
所以，没有的把握认为球队胜利与球员有关
（2）解：①根据题意，记球员参加比赛时，球队某场比赛赢球为事件，
，
所以，球员参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率为.
②记球员担当守门员为事件，则，
所以，当球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员担当守门员的概率为，
因为.
所以，球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员担当守门员的概率为
③由②知，球队赢了比赛的条件下球员担当守门员的概率为，
由题知的可能取值为，且
所以；；
；；
.
所以，的分布列如下表，
所以，
【解析】【分析】
（1）根据列联表中的数据补全，再根据独立性检验即可判断；
（2）①根据独立事件的乘法公式求解即可；
②根据条件概率计算求解即可；
③由题知，进而根据二项分布求解即可.
43．【答案】（1）解：，
所以有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）解：记事件A：张无忌周一选择A平台买菜，事件B：张无忌周二选择B平台买菜，
则，，，
由全概率公式可得.
因此，张无忌周二选择B平台买菜的概率为.
（3）解：利用样本分布的频率估算总体分布的概率，可得M社区的市民喜欢网上买菜的概率为，
则，
所以.
设.
若，则，；
若，则，.
所以时，最大，
故使取得最大值的k值为12.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合统计表中的数据，再结合独立性检验的方法判断出有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式、条件概型求概率公式和全概率公式，进而得出张无忌周二选择B平台买菜的概率.
（3）利用样本分布的频率估算总体分布的概率结合频数除以样本容量等于频率公式，进而得出M社区的市民喜欢网上买菜的概率，再利用二项分布得出随机变量的分布列，设进而得出t与k的解析式，再结合函数的单调性得出函数的最值，进而得出的最大值和此时的k值.
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概率及线性关系专题复习
一、随机事件（概率）
1．连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件“第一次朝上的点数为奇数”，事件“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件与事件互斥
C． D．事件与事件相互独立
2．抛掷一枚质地均匀的股子，记“点数为，其中，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ）
A． B．为互斥事件
C． D．为对立事件
3．今年“五一”假期，各大商业综合体 超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ）
A．小王和小张都中奖的概率为0.08
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
4．甲 乙 丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中.
（1）若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；
（2）当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率.
二、条件概率
5．一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
6．甲 乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，则在这个问题已被正确解答的条件下，甲 乙两位同学都能正确解答该问题的概率为（ ）
A． ‘ B． C． D．
7．若随机事件，则（ ）
A． B． C． D．
8．抛掷甲.乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲.乙两骰子的点数之和大于7”，则下列概率正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲 乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲 乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
（1）甲 乙任选1个独立竞猜，求甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）甲 乙各任选2个独立竞猜，设甲 乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.
三、全概率
10．已知某地市场上供应的洗衣机中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有7名选手，其中5名男生，2名女生；乙组有7名选手，其中4名男生，3名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则下列结论错误的是（ ）
A．，是对立事件 B．
C． D．
12．有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
13．某市教育局组织各学校举行教师团体羽毛球比赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两个学校的教师团队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为，（注：比赛结果没有平局）．以下说法正确的是（ ）
A．甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是
B．甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是
C．甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率是
D．若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，则甲队明星队员M上场的概率是
14．为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植、、三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后，会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.
（1）在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；
（2）在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望.
四、两点分布
15．某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为，则射击一次，击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率，乙胜的概率为．则（ ）
A．当采用“三局两胜”制，甲胜的概率为
B．当采用“三局两胜”制，乙胜的概率为
C．当采用“五局三胜”制，甲胜的概率为
D．当采用“五局三胜”制，乙胜的概率为
18．下列说法正确的有（ ）
A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，
B．假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，两个孩子都是女孩的概率是
C．份不同的礼物分配给甲乙丙三人，每人至少分得一份，共有种不同分法
D．个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法
19．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个红球的概率是
B．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为
五、二项分布
20．若随机变量，则（ ）
A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6
21． 设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（ ）
A． B． C． D．
23．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3：2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制的比赛中，甲队打完4局才胜的概率为（ ）
A． B．
C． D．
24．西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
（1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
（2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
六、超几何分布
25．从一副不含大小王的52张扑克牌（即 不同花色的各4张）中任意抽出5张，恰有3张A的概率是（ ）
A． B． C． D．
26．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 等于（ ）
A． B． C． D．
27．从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分．按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为（ ）
A． B．3 C． D．
28．下列关于随机变量的说法正确的是（ ）
A．若服从正态分布，则
B．已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则
C．若服从超几何分布，则期望
D．若服从二项分布，则方差
29．某厂生产的产品每件包装成一箱，每箱含，，件次品的概率分别为，，在出厂前需要对每箱产品进行检测，质检员甲拟定了一种检测方案：开箱随机检测该箱中的件产品，若无次品，则认定该箱产品合格，否则认定该箱产品不合格．
（1）在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，求该箱产品不含次品的概率；
（2）若质检员甲随机检测一箱中的件产品，抽到次品的件数为，求的分布列及期望．
七、正态分布
30．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
31．某学校共1200人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为（ ）
A．240人 B．210人 C．180人 D．150人
32．某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759
33．下列命题中正确是（ ）
A．命题的否定
B．线性回归直线必过样本点的中心
C．若随机变量服从正态分布，，则；
D．函数在处的切线方程为
八、期望及方差关系
34．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
35．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
37．随机变量满足，且，则与的值分别为（ ）
A． B．3，4 C．4，3 D．
38．是随机变量，（ ）
A．若，则，
B．若，则
C．若，则，
D．若，则
九、线性回归方程
39．某商店的某款商品近5个月的月销售量（单位：千瓶）如下表：
第个月 1 2 3 4 5
月销售量 2.5 3.2 4 4.8 5.5
若变量和之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．点一定在经验回归直线上
B．
C．相关系数
D．预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶
40．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绕（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号 1 2 3 4 5
学习时间 30 40 50 60 70
数学成绩 65 78 85 99 108
（1）请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附：，．．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
41．某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
（1）求关于的经验回归方程；
（2）该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；
（3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
十、2*2联与独立检验
42．为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：
球队胜 球队负 总计
上场 22
未上场 12 20
总计 50
（1）求的值，据此能否有的把握认为球队胜利与球员有关；
（2）根据以往的数据统计，球员能够胜任前锋 中锋 后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：，当出任前锋 中锋 后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为：，则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；
②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求球员担当守门员的概率；
③在2022年的4场联赛中，用X表示“球队赢了比赛的条件下球员担当守门员”的比赛场次数，求的分布列及期望．
附表及公式：
．
43．近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机
抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）是否存99.9\%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关
（2）M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A，B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜，如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为；如果周一选择B平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为，求张无忌周二选择B平台买菜的概率：
（3）用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X，事件“”的概率为P(X=k)，使得P(X=k)取得最大值k的值
参考公式.其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
答案解析部分
1．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：连续投掷一个骰子两次， 每次骰子朝上的点数包含的基本事件共有36种情况：
A、因为事件包含18种情况，所以，故A正确；
B、事件和同时发生，例如：事件“第一次朝上的点数为3，第二次朝上的点数为2”，
所以事件和不是互斥事件，故B错误；
C、事件包含18种情况，事件也包含18种情况，其中第一次点数为奇数且点数和能被2整除，包括9种情况，
所以，故C正确；
D、由，，且，所以，即事件和相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可判断A；根据互斥事件的定义，举例说明，即可判断B；根据事件的关系，结合古典概型的概率计算即可判断C；根据独立事件的判定方法即可判断D.
2．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、抛掷一枚骰子基本事件包括：，则，故A正确；
B、因为表示点数为2是偶数，而表示奇数，所以，为互斥事件，故B正确；
C、因为表示点数为1，表示奇数，所以，故C错误；
D、因为，所以为对立事件，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意，逐项判断即可.
3．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：由 小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2 可知：
A、小王和小张都中奖的概率为，故A正确；
B、小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误；
C、小王和小张中只有一个人中奖的概率为，故C正确；
D、小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率公式求解即可.
4．【答案】（1）解：因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率.
（2）解：这三人都没答对该试题的概率，
当且仅当时，等号成立，
此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，
这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，三人至少有两人答对该试题的概率.
【解析】【分析】（1）根据题意分甲答对，乙答对，丙答对种情况，分别求出相应的概率，从而求解即可；
（2）由题意可知当三人都没答对该试题的概率，从而求出，再从反面求出三人中恰有一人答对该试题的概率，即可求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，事件AB为“第1次拿出的是白球，第2次拿出的是白球”，，
.
故答案为：D.
【分析】由题意先求出事件事件A和事件AB的概率，结合全概率公式求 .
6．【答案】D
【解析】【解答】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，又因为甲 乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，则
故
所以在这个问题已被正确解答的条件下，甲 乙两位同学都能正确解答该问题的概率为：
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，再结合独立事件求概率公式得出在这个问题已被正确解答的条件下，甲 乙两位同学都能正确解答该问题的概率。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据条件概率公式直接求解.
8．【答案】C,D
【解析】【解答】B、根据抛掷骰子的情况，根据种方法，如图所示
其中，，故B错误；
A、，故A错误；
C、 ，故C正确；
D、 ，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】分别列出各种情况，求出两事件的概率，再根据概率公式计算.
9．【答案】（1）解：设“甲猜对一个灯谜”，“乙消对一个灯谜”，
则
因为甲 乙恰有一人猜对的事件为，
所以
所以，甲 乙恰有一人猜对的概率为.
（2）解：设“甲猜对两道题”，“甲中奖”，
则
所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.
（3）解：由（1）知.
易知甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为.
则
所以的分布列为
0 1 2 3 4
因此，的数学期望
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件、独立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）由（1）知事件A和事件B的概率，再利用已知条件得出甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值，再利用独立事件求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：从该地市场上购买一台洗衣机，记“买到的洗衣机是甲厂产品”为事件，“买到的洗衣机是乙厂产品”为事件，“买到的洗衣机是合格产品”为事件B.
所以则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是.
故答案为：D.
【分析】根据全概率公式进行计算就可求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】解： A、根据对立事件的概念可得，A1，A2是对立事件，结论正确，A不符合题意；
B、根据题意，，结论正确，B不符合题意；
C、当A1发生时，乙组有5名男生，3名女生，其中抽取的不是1名女生的情况有5种，故，结论错误，C符合题意；
D、，结论正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据对立事件的概念判断A，根据全概率公式判断B，根据条件概率公式判断C、D.
12．【答案】B,C
【解析】【解答】
解：记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”
则，，
A、即，故A错误；
B、
，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC
【分析】运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.
13．【答案】B,C
【解析】【解答】解：若甲队明星队员M不出场，且甲乙两队比赛4局， 则甲队按3：1获胜，即前3局，甲队输1局，
所以甲队获胜的概率为，故A错误，B正确；
甲队3局获胜的事件记为A，前3局比赛，甲队明星队员M出场的事件记为B，
则，，
所以 甲队最终获胜的概率是 ，故C正确；
甲队明星队员M上场的概率是：
，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对AB：根据独立重复事件概率运算求解；对C：利用全概率公式运算求解；对D：利用条件概率公式运算求解.
14．【答案】（1）解：设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3.
在第一次种植的情况下，第三次种植的概率为
；
（2）解：由已知条件，在第1次种植的前提下：
，，，
，，，
因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，
，
，
所以的分布列为：
1 2
.
【解析】【分析】 (1) 设，，表示第次种植作物，，的事件，根据独立事件概率公式运算求解；
(2) 由题意可知：随机变量的可能取值为1，2，结合全概率公式运算求解，进而可得分布列和期望.
15．【答案】B
【解析】【解答】设该运动员射击一次，击中目标的概率为，
若该运动员三次射击中，至少有一次击中目标的概率为，解得.
故答案为：B.
【分析】设该运动员射击一次，击中目标的概率为，则得出三次都击不中目标的概率是(1-p)3，从而可得出，然后解出p的值即可得答案.
16．【答案】C
【解析】【解答】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，
则，
，则.
故答案为：C
【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，根据独立重复试验的概率公式，分给求得和，结合条件概率的计算公式，即可求解.
17．【答案】B,C
【解析】【解答】因为每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，
若比赛采用三局两胜制，甲胜的情况为连胜两局结束比赛或前两局胜一局第三局获胜，其概率为：，乙胜的概率为
A不符合题意，B符合题意；
若采用五局三胜制，则甲胜的情况为连续三局获胜结束比赛，或前三局有一局负，第四局胜，或前四局有两局获胜，第五局获胜.
其概率为：，乙胜的概率为
C符合题意，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】 根据独立事件的概率，依次计算三局两胜制和五局三胜制甲获胜的概率，即可得答案.
18．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对于A，若离散型随机变量X的数学期望为E(X)=5，方差为D(X)=2，
则E(2X-1)= 2E(X)-1=9，D(2X-1)= 2 D(X)=8，A正确；
对于B，假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，设两个孩子为甲和乙，则两个孩子的性别可能为：①甲为男孩，乙为男孩，②甲为男孩，乙为女孩，③甲为女孩，乙为男孩，④甲为女孩，乙为女孩，共4种情况，两个孩子都是女孩只占其中1种情况，故两个孩子都是女孩的概率是，B正确；
对于C，4份不同的礼物分成3组的方式只有1，1，2，所以只有=6种情况，再分配给三人，有=6种方式，
最后根据分步乘法计数原理可知，共有6x6=36种不同分法，C错误；
对于D，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，采用挡板法可知，共有种不同分法，D正确.故选ABD.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查了离散型随机变量分布列的期望，考查了逻辑推理和运算能力.由题意，利用均值方差的性质即可得到判断选项A；利用列举法即可判断选项B；利用先分组，再排列即可判断选项C；采用隔板法即可判断选项D.
19．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A选项，从中任取球，恰有一个红球的概率是，A对；
对于B选项，从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，
则次取球中恰好有两个白球的概率为，B不符合题意；
对于C选项，从中不放回的取球2次，每次任取球，
记事件第一次取到红球，记事件第二次取到红球，
则，C不符合题意；
对于D选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率，D对.
故答案为：AD.
【分析】由古典概率概率计算公式可判断A，由独立重复事件概率计算可判断B，由条件概率计算公式可判断C，由间接法，求得3球都是红球的概率即可判断D.
20．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据二项分布的可得，再结合方差的性质运算求解.
21．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知，二项式，
因为，
可得且，
A、若选项A成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，故A错误；
B、若选项B成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，故B错误；
C、若选项C成立，则， 解得，
代入上式验证成立，C正确；
D、若选项D成立，则， 解得，显然不成，所以D错误.
故答案为：C.
【分析】利用二项式的展开式和题设条件，得到且，结合选项和二项分布的期望与方程的公式，逐项判定，即可求解.
22．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知，每次摸球中中奖的概率，则，
因此 ξ的 期望为.
故选：A.
【分析】计算出每次摸球中中奖的概率，可知，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.
23．【答案】A
【解析】【解答】依题意可知，甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 ，若甲队打完4局才胜，则甲队在前3局中胜两场，而第4局必胜．故
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和二项分布求概率公式，进而得出在5局3胜制的比赛中，甲队打完4局才胜的概率。
24．【答案】（1）解：设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，
则；
因此从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为.
（2）解：由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，
由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则
，，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
P
.
【解析】【分析】(1)使用组合数的相关知识并结合古典概型公式，即可求得概率；
(2)根据二项分布模型计算出分布列，即可求得期望.
25．【答案】C
【解析】【解答】设X为抽出的5张牌中含A的张数，可知X服从超几何分布，其中 ，
则 .
故答案为：C.
【分析】设X为抽出的5张牌中含A的张数，可知X服从超几何分布，其中 ，进而求出 即可.
26．【答案】D
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据超几何分布的概率公式计算出各种可能的概率然后结合题意得出结果即可。
27．【答案】A
【解析】【解答】解：设得分为，根据题意可以取2，3，4
则，
，
.
则分布列为：
2 3 4
所以得分期望为.
【分析】利用取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.
28．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解： A、由于X~N(1，2)，所以D(X)=2，根据方差的性质，D(2X+2) =22D(X) =8，A正确；
B、X服从二项分布B(2，p)，∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=2p-p2=，解得p=，∴P(Y<0) =，根据正态分布的对称性可得，P(2
D、X服从二项分布B(4，)，根据二项分布方差公式得，D(X)=np(1-p)==，D正确；
故答案为：ACD．
【分析】A选项，先得到D(X)=2，进而根据方差的性质求解；B选项，根据二项分布求出概率，得到方程，求出p=，再根据正态分布的对称性求出概率；C选项，根据超几何分布的期望公式求解；D选项，由二项分布方差公式求解.
29．【答案】（1）解：记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件，“该箱产品不含次品”为事件，
则，
，
由条件概率公式得，
所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为．
（2）解：由题意可得可以取，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以．
【解析】【分析】(1)利用全概率公式先求出，再利用条件概率公式即可求解.
(2)利用组合知识分别求取X=0，1，2的概率，再利用离散型随机变量的期望公式.
30．【答案】B
【解析】【解答】解：因为可知正态曲线的对称轴为，
则由对称性可知，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
31．【答案】C
【解析】【解答】解：由 成绩近似服从正态分布，若，
可得，所以 估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为人.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布曲线的对称性，求得，进而求得成绩不及格的学生人数，得到答案.
32．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
∴
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的对称性及所提供的数据运算即可.
33．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：对于A中，命题的否定为，所以A不正确；
对于B中，根据回归直线的概念，可得线性回归方程必过样本点的中心，所以B正确；
对于C中，由随机变量服从正态分布，正态分布曲线关于对称，
因为，所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，则，
所以切线方程为，即，所以D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，可判定A不正确；根据回归直线方程的特征，可判定B正确，根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确，根据导数的几何意义，可判定D正确.
34．【答案】C
【解析】【解答】解：∵随机变量，
∴，，
∴，
解得：或者（舍）
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解.
35．【答案】D
【解析】【解答】由题意可知： 随机变量 的分布列为
X 0 1
P
对于A：可得随机变量 的期望，故A错误；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意可得随机变量 的分布列，对于A：根据期望的公式运算求解；对于BCD：根据期望的性质运算求解.
36．【答案】D
【解析】【解答】随机变量，∴， 解得，
∴，则.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出p的值，进而得出随机变量Y服从二项分布，再结合二项分布求方差公式得出随机变量Y的方差。
37．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为X+2Y=1，所以X=1-2Y，
所以，
故选：A.
【分析】先根据二项分布的均值与方差的公式，求得E(Y)、D(Y)，然后利用X和Y的关系，及离散型随机变量的均值和方差的性质，求得E(X)、D(X)即可.
38．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对于A，若，则，，所以A对；
对于B，若，则，所以B对；
对于C，若，则，，所以C对；
对于D，若，则则，所以D错.
故答案为：ABC.
【分析】利用二项分布的期望和方差公式判断出选项A；由超几何分布的期望公式判断出选项B；由正态分布的期望和方差公式判断出选项C；由正态分布的性质和正态密度曲线的对称性，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
39．【答案】A,B
【解析】【解答】解：根据图表可知，，，
所以点一定在回归方程上，
所以A选项正确，
代入回归方程得：，
所以，
所以B选项正确，
因为 变量和之间呈正相关，所以相关系数，
所以C选项错误，
当时，，
所以预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，
所以D选项错误，
故答案为：AB.
【分析】首先求出的平均数，得到的点坐标一定在经验回归直线上，代入平均数，求得；再根据回归方程的表达式，可知相关系数大于0；将代入到方程，求出该款商品第6个月的预计销售量.
40．【答案】（1）解：，
，又，的方差为，
所以，
，故，当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．
（2）解：零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
，
因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【解析】【分析】（1）先求出平均数，再利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩 ；
（2）先零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，根据题意计算出，进而由的独立性检验得出答案.
41．【答案】（1）解：，
则，
所以，
所以；
（2）解：当时，，
所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次；
（3）解：可取，
，，
，，
，
所以分布列为
所以.
【解析】【分析】（1）根据题中数据先求，再利用最小二乘法求出，即可得关于的经验回归方程；
（2）将代入（1）的回归方程即可得解；
（3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，最后根据期望公式求期望即可.
42．【答案】（1）解：解：根据题意，补全列联表如下表：
球队胜 球队负 总计
上场 22 30
未上场 12 20
总计 30 20 50
所以，，，
所以，没有的把握认为球队胜利与球员有关
（2）解：①根据题意，记球员参加比赛时，球队某场比赛赢球为事件，
，
所以，球员参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率为.
②记球员担当守门员为事件，则，
所以，当球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员担当守门员的概率为，
因为.
所以，球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员担当守门员的概率为
③由②知，球队赢了比赛的条件下球员担当守门员的概率为，
由题知的可能取值为，且
所以；；
；；
.
所以，的分布列如下表，
所以，
【解析】【分析】
（1）根据列联表中的数据补全，再根据独立性检验即可判断；
（2）①根据独立事件的乘法公式求解即可；
②根据条件概率计算求解即可；
③由题知，进而根据二项分布求解即可.
43．【答案】（1）解：，
所以有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）解：记事件A：张无忌周一选择A平台买菜，事件B：张无忌周二选择B平台买菜，
则，，，
由全概率公式可得.
因此，张无忌周二选择B平台买菜的概率为.
（3）解：利用样本分布的频率估算总体分布的概率，可得M社区的市民喜欢网上买菜的概率为，
则，
所以.
设.
若，则，；
若，则，.
所以时，最大，
故使取得最大值的k值为12.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合统计表中的数据，再结合独立性检验的方法判断出有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式、条件概型求概率公式和全概率公式，进而得出张无忌周二选择B平台买菜的概率.
（3）利用样本分布的频率估算总体分布的概率结合频数除以样本容量等于频率公式，进而得出M社区的市民喜欢网上买菜的概率，再利用二项分布得出随机变量的分布列，设进而得出t与k的解析式，再结合函数的单调性得出函数的最值，进而得出的最大值和此时的k值.
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