递推数列的能项公式归类(四川省成都市新津县)

递推数列的通项归类(2009年5月16日)
常见递推数列有两类：①一阶递推数列,即{an} 中an ＝f(an-1) (n=1,2,3……)
②二阶递推数列an ＝f(an-1，an-2) (n=3,4,5……)。
1、an+1= an+f(n) 方法：叠加法：an=a1+f(i)
例1：数列{an}满足a1=1，an=an-1+，求an 。（答案：an＝）。
例2：数列{an}满足a1=1，nan+1=(n+1)an+1求an 。
解析：，令
或由
数列是常数数列（答案：an＝2n-1）
2、an+1= anf(n) 方法：叠代法（或叠乘法）an=a1+f(i)
例3：数列{an}满足a1=2，且an=an-1（n≥2）求an 。（答案：an＝）。
3、an+1= pan+q,其中p，q为常数且p≠0，q≠0。
方法：待定系数法，今an+1+λ=p(an+λ)，其中(p－1)λ=q，从而
是一个公比为p的等比数列。
例4：数列{an}满足a1=1， an+1=an+1，求an。 （答案：an＝2）。
例5：数列{an}满足a1=1，，求an 。
解析：> 0 +3＝10，
今bn＝ ，下略
例6：已知sin(2α+β)=3sinβ,设tanα= x，tanβ= y记y = f(x)
①求f(x)的表达式。②定义正数数列{an}，， 求an 。
解析：①
② ＝
说明：对形如：求通项，一般用取倒数的方法化为类型3
4、an+1= pan+f(n),其中p，q为常数，p≠1，且p≠0。
方法：i，如果f(n)是关于n的方幂结构，则两边同除以得到
，从而转化成类型1，也可以用待定系数法。
ii，如果f(n)是关于n的一次式结构，也可构造成等比数列：，
，然后求出待定系数。
iii，如果f(n)是关于n的二次式结构，可参照ii用待定系数法处理。
例7：数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+(2n－2) 求an 。
解析：，叠加后再错位相减(复杂解法) 。
解析2：(简单解法) 设
是等比数列
例8：数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+n2 求an 。
解析：可设an+1+A(n+1)2+B(n+1)+C＝3(an+An2+Bn+C)，易求出A＝B＝C＝
例9：数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+2n，求an 。
解析：设an+1+2n+1＝3(an+2n) =1 是等比数列an=3n－2n。
5、
方法Ⅰ：常数消去法：设平移替换an＝cn+p，则有
再令b+(a－d)p－cp2＝0，高p0为其根，则有，两边取倒数得：
类型4
常用方法Ⅱ：不动点法，设，，令
………………………………………………………………①
定理1：若方程①有两相异实根，x1，x2，则是以为首项，公比为
的等比数列；
定理2：若方程①只有一个实根x0，则数列是以为首项，为公差的等差数列。
定理1的证明：………………②
………………………………③
②÷③得。
例10：数列{an}满足a1＝2，（n＝1,2,3……）求通项公式
解析：令得：x1=3,x2=－2，…①…②
由①÷②得 。
例11：(07年全国卷Ⅰ)已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．
解析：（Ⅰ）由题设：
， ．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，即的通项公式为，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当时，因，，所以，结论成立．
（ⅱ）假设当时，结论成立，即，也即．
当时，，
又，所以
．也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
另解：第（Ⅱ）问不用数学归纳法也可以证明
i）证明。作差得，显然
……类推得
ii）证明≤()可以用不动点法进行操作。
令 ， ，
，而，
易知
∴，．当时取“＝”
6、an+1＝pan + qan-1 (n≥2)
方法：特征根法，令an+1＝x2，an=x，an-1＝1得x2－px－q＝0 ①，方程①的根为x1,x2,
若x1＝x2,则，其中A+B＝a1且(A+2B)x1＝a2。
若x1≠x2,则有，其中且。
例12：(成都三诊)已知数列{an}满足a1＝14，a2＝－2，且an+2＝2an+1+15an (n∈N*)，
若数列是等比数列，
(Ⅰ)求实数的值； (Ⅱ)求数列{an}的通项。
解析：(Ⅰ) x2＝2x+15 x1＝5，x2＝－3
(Ⅱ)
例13：数列{an}满足a1＝a2＝1，且an+2＝an+1+an+2 ，求an 。
解析：(an+2+)＝(an+1+) + ( an+) ＝2，下略
例14：{an}，{bn}满足an+1＝－an－2bn ，bn+1＝6an+6bn，且a1＝2，b2＝4，求{an}，{bn}。
解析：消an，由题意知：an＝bn+1－bn，an+1＝bn+2－bn+1，代入①式得
bn+2＝5bn+1－6bn 。
例15：已知数列{an}满足a1＝1，且nan+1＝(n+2)an+n,，求an 。
解析： ① ， ② (消常数法)
(n＝2,3,4 ……)
，令：bn+1＝2bn－bn－1
bn＝n an＝n2
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