沪科版八年级（上）册一次函数解析式23招经典解法

第五、六课时 一次函数表达式的方法解法（23招）
安徽省池州市贵池区梅龙初级中学 黄老师（QQ：495014580）
四、求一次函数的表达式
基本解法
1、待定系数法
（1）图象过原点：函数为正比例函数，可设表达式为y=kx，再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式，即可求出k.
（2）图象不过原点：函数为一般的一次函数，可设表达式为y=kx+b ，再找图象上的两个点的坐标代入表达式，即可求出k，b。
例：（中考常州）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数且）的图象经过点A（0，－2）和点B（1，0），则k=______，b= ______.
答案：k=2，b=-2
例：（中考重庆）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则这个正比例函数的表达式为______
答案：y=-2x
常见解法：
1、定义式
例，已知函数是一次函数，求其解析式。
解析：该函数是一次函数
解得，m=±3,
又m≠3
∴m=-3
故解析式为：y=-6x+3
2、点斜式
要点：如何求k？
（1）公式：
（2）图象（比值）：||= (两直角边的比）
（3）增量：V（速度）、P（电功率）
（4）每每（美美题）：
（5）平移变换：k值相等
（6）垂直变换：
（7）对称变换：|k|、|b|不变
（8）相似比：(略)
（9）正切值：tanα（斜率）
（10）旋转变换：（略）
例，已知一次函数y=kx-3的图象过点（2，-1），求这个函数解析式。
解析：方法一：（代入法）将点（2,-1）代入y=kx-3得，
-1=2k-3，解得，k=1
故解析式为：y=x-3
方法二：（一点式）
解析：一次函数y=kx-3的图象过点（2，-1）
可令y=k(x-2)-1=kx-2k-1
-2k-1=-3,解得，k=1
这个函数解析式为y=x-3
3、两点式
例，一次函数经过（-2，0)、(0，4),求此函数的解析式。
解析：方法一：（构建方程组）
令解析式为y=kx+b,过（-2,0)、(0,4)，则
解得，k=2，b=4
故解析为y=2x+4
方法二：由点斜式得： =2
再一点式得：y=2(x+2)+0=2x+4
方法三：由斜截式得，y=2x+4
方法四：由数形结合得，y=2x+4(k=直角边的比）
方法五：（纯一点式）y=k(x+2)=k(x+0)+4 k=2
4、一点式：
例，过（2,5）的一次函数解析式为_____。
解析：y=k(x-2)+5＝kx-2k+5
例，若a,b为定值，关于x的方程,无论k为何值，解总是x=1,则2a+3b=_____。
解析：化简得，（4x+b)k=12-2a+x b=-4,2a=13 2a+3b=1
5、图象式：
例，如图，则函数解析式为______.
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：方法一：易知，b=2（截距）,k=-2(两直角边的比）,
则y=-2x+2
方法二：两点式：（略）
方法三：一点式：y=k(x-1)+0=k(x+0)+2 k=-2
6、平移式：
例，直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且截距为2,则直线解析式为____。
解析：易知，k=-2,b=2,解析式为y=-2x+2
技巧：
上下平移：K值不变，上加下减；
左右平移：K值不变，左加右减；
如：y=kx+b向左平移m个单位，则平移后的解析式为____________.
解：y=k(x+m)+b
实质：上下平移横坐标不变；纵坐标上加下减。
左右平移纵坐标不变；横坐标左减右加。
例，将y=2x+3向下平移2个单位，则y=_______；再向左平移2个单位，则y=_____.
解析：方法一：结论归纳法
由上加下减得，y=2x+1;
由左加右减得，y=2(x+2)+1=2x+5
方法二：数形结合法（点值法）
详细过程：（1）求出y=2x+1与x轴的交点坐标（,0）;
（2）求出平移后的点坐标（,0）
（3）求平移后的解析式y=2(x+)+0（一点式）=2x+5。
方法三：逆向思维法
具体过程：设平移后的点坐标为P（x,y）
由逆向思维得，原来该点的坐标为P'（x+2,y+2）在y=2x+3上，
y+2=2(x+2)+3,y=2x+5
[练习]
1、将y=-2x-3向上平移2个单位，则y=_______；（y=-2x-1）
再向右平移2个单位，则y=_______。(y=-2(x-2)-1=-2x+3)
2、将y=-x+1向下平移2个单位，则y=_____;再向左平移个单位，则y=_______。
7、斜截式
例，将y=2x+b向左平移2个单位后，与y轴的交点坐标为（0，3），则b=___。
解析：由题意知，平移后的解析为y=2(x+2)+b=2x+3 b=-1
具体过程：（1）由平移得，y=2(x+2)+b（左加右减）；
（2）由斜截式得，k=2,b=3,即y=2x+3
（3）联立得，2(x+2)+b＝2x+3 b=-1
8、应用式：
要点：k表示：速度、单位量、斜率、比值、每每、增量的比……
b表示：起始位置
例1，某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分）的函数关系式为______。
解析：当t=0时，Q=20,即b=20;
又流速为0.2升/分，即k=-0.2（放油）
故解析式为Q=-0.2t+20（0≤t≤100）
例2，已知A、B两地相距30km，B、C ( http: / / www.21cnjy.com )两地相距48km。某人骑自行车以每小时12km的速度从A地出发，经过B地到达C地。设此人骑车的时间为x（h），离B地的距离为y（km）。
（1）当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。
（2）当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。
解析：（1）当x=0时，y=30,即b=30
又速度为12km/h,则k=-12(y随x增大而减小）
故解析式为：y=-12x+30（0≤x≤(5/2)）
（2）由速度为12km/h，则k=12(y随x增大而增大）
可令解析式为：y=12x+b
又当x=时，y=0,解得，b=-30
故解析式为：y=12x-30
方法二：（点斜式）y=12(x-)=12x-30
例3，在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是 ( http: / / www.21cnjy.com )所挂物体的质量x（kg）的一次函数，当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长10cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长为12cm。写出y与x之间的函数关系式______。
解析：增加量为(12-10/3-1)=1，即k=1
当x=0时，y=9，即b=9
故解析式为y=x+9
方法二：令解析式为y=kx+b，过点（1，10）（3，12）
解二元一次方程组也可求出此解析式。
9、面积式
例，y=kx+b是由y=2x平移得到的，且与坐标轴围成的面积为4，求此函数的解析式_____.
解析：如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
y=kx+b是由y=2x平移得到的
k=2
由图可知，A（-(b/2),0）,B(0,b)
又S△AOB=4,即AOBO=4,|-| |b|=4
解得，b=±4
故，解析式为y=2x+4或y=2x-4
[巩固]y=kx+3的图象与坐标轴围成的面积为9，求此函数的解析式_____。
解析：如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
由图可知，A（,0）,B(0,3)
又S△AOB=9,即AOBO=4,=9
解得，k=±
故，解析式为y=x+3或y=-x+3
10、列表式：k：增量
11、规律式：k：增量
12、开放式：
例，请写出一次函数的解析式。要求：
（1）过（3,1）；
（2）y随x增大而减小；
（3）当x=2时，y<2，则：_______
解析：由过（3,1）知，可令y=k(x-3)+1=kx-3k+1
又当x=2时，y<2，得，-k+1<2,k>-1
又y随x增大而减小，得，k<0
所以，-1当k=-时,y=- x+2
13、值域式
例，已知一次函数的自变量的取值范围是2≤x≤6,函数值的
范围是5≤y≤9,求这个一次函数的解析式。
解析：令一次函数的解析式为y=kx+b
（1）当k>0时，x=2,则y=5;x=6,则y=9.
2k+b=5
6k+b=9 解得，k=1,b=3
故，解析式为y=x+3
（2）当k<0时，x=2，则y=9;x=6,则y=5.
2k+b=9
6k+b=5 解得，k=-1,b=11
故，解析式为y=-x+11
14、动点式（略）
15、待定系数式（略）
16、分类讨论式（略）
17、成比例式
例，y-1与x+3成正比例，当x=2时，y=6，求y关于x的函数解析式。
解析：令y-1=k(x+3),得
　　　6-1=k(2+3),解得，k=1
　　　故，解析式为y=x+4
18、对称式：
例：y=kx+b
1）关于x轴对称：P（x,y）→P'(x,-y):-y=kx+b,即y=-kx-b（全变）；
2）关于y轴对称：P（x,y）→P'(-x,y):y=-kx+b,即y=-kx-b（k变b不变）；
3）关于原点对称：P（x,y）→P'(-x,-y):-y=-kx+b,即y=kx-b（b变k不变）；
例，y=2x+1的图象
(1)关于x轴对称的解析式为_____;
(2)关于y轴对称的解析式为_____;
(3)关于原点对称或关于某一点对称（了解）
归纳：（1）对称|k|不变，|b|不变；
（2）关于x轴对称：k、b都变号；
　　关于y轴对称：k变号，b不变号。
实质：（1）直线的对称其本质是点的对称。
（2）再对称后的直线上任取一点P(x,y)
则关于x轴对称P'(x,-y):-y=2x+1 y=-2x-1
关于y轴对称P'(-x,y):y=-2x+1
关于原点对称P'(-x,-y):-y=-2x+1 y=2x-1
19、垂直式
例，y=2x+1与y=-x+2在位置上的关系是_____.
由此你得出的结论是＿＿＿＿。（=-1)
20、旋转式（关于某一直线对称）
例，将直线y=2x+1关于y=x对称，求对称后的解析式______。
总结:
有关一次函数的解法：
1、定义式；2、两点式；3、待定系数式；4、直线方程式；
5、点斜式；6、一点式；7、斜截式；8、图象式；9、比例式；
10、平移变换式；11、对称变换式；12、垂直变换式；
14、旋转变换式；15、面积式；16、列表式；17、规律式；
18、开放式；19、值域式；20、成比例式；21、分类讨论式；
22、应用式；23、动点式。
[练习]
1、y与x成正比例，且当x=1时，y=2，那么当x=3时，y=___。
2、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式_____
（1）y随着x的增大而增大；
（2）图象经过点（0，－3）。
3、直线y=3x-3向左平移4个单位后，则直线解析式为___。
4、某一次函数的图象与y=-x+1平行，且过点（8，2），
则一次函数解析式为_____。
5、一次函数y=kx+b的图象如图。
（1）写出A、B的坐标；
（2）求出k，b的值。
( http: / / www.21cnjy.com )
6、一次函数的图象过M（3，2），（－1，－6）两点，求函数的解析式。
7、直线y=2x+1.
（1）求直线与y轴交点A的坐标；
（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k与b的值。
8、已知直线y=kx+b经过点（,0），且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的表达式。