6.3.2二项式系数的性质 课件（共35张ppt）2023-2024学年数学人教A版（2019）选择性必修第三册

(共35张PPT)
第 六 章 计数原理
6.3.2 二项式系数的性质
1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；
2.理解二项式系数的性质并会灵活运用．
教学目标
难点:会用“赋值法”求展开式系数的和.
重点:能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题.
温故知新

1.二项式定理.
Tk＋1=
2.二项展开式的通项
3.二项式系数
概念讲解
探究1 ：用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.
(a＋b)1
(a＋b)2
(a＋b)3
(a＋b)4
(a＋b)5
(a＋b)6
n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1
2
3
4
5
6
杨辉三角形
二项式系数的性质
概念讲解
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式:
观察上图，你还能发现哪些规律
①在同一行中 , 每行两端都是1 , 与这两个1等距离的项的系数相等 . 即：
②在相邻的两行中, 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 . 即：
杨辉三角形
概念讲解
对于确定的n，我们还可以画出它的图像．
Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是：
例如，当n=6 时，f(r)=Cnr (r∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是右图中的7个离散点．
f(r)
r
6
3
O
6
15
20
1
10
对于(a+b)n展开式的二项式系数：
还可以从函数角度来分析它们.
概念讲解
性质1. 对称性
由此我们可得二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴为
概念讲解
性质2.增减性与最大值
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
概念讲解
探究2：已知 =
令x=1 得=
所以，的展开式的各二项式系数之和为2n
赋值法
性质3： 各二项式系数的和
各二项式系数的和
结论:
思考
例题剖析
例1.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
性质3： 各二项式系数的和
例题剖析
例1.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明:在展开式
=中，
令a=1,b=-1，得
即因此
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即
概念辨析
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.( )
×
（2）二项展开式的二项式系数和为 .( )
×
（3）在 的展开式中，当 为偶数时，二项展开式中中间一项的系数最大.( )
×
（4）在 的展开式中，二项式系数具有对称性，所以 .( )
×
导学案29页
2．(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是(　　)
A．0 B．－1
C．－32 D．32
D
课本34页练习
一·填空题
1024
新知运用
例2 （多选题）（2023·重庆高二月考）若 的展开式共有8项，则下列有关该
二项展开式的说法正确的是( ) .
BC
A. B.各二项式系数的和为128
C.二项式系数最大的项有2项 D.第4项与第5项的系数相等且最大
[解析] 由题意可知，因为 的展开式共有8项，所以 ，所以A错误；
根据二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为 ，所以B正确；
根据二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4项和第5项的二项式系
数最大，所以C正确；
因为 的展开式的第4项为 ，第5项为
，所以展开式中第4项与第5项的系数不相等，所以D错误.
故选 .
&2& 1.二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对 中的 进行讨论：
（1）当 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
（2）当 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数
的正、负变化情况进行分析.如求 的展开式中系数最大的项，一般
采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为 ， ， ， ， ，且第 项
最大，应用 解出 ，即可得出系数最大的项.
例题剖析
例2.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解得5≤k≤6.
∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).
∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
在 的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项.
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？
（3）求系数最大的项与系数最小的项.
[解析]
（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，故 .
（2）设第 项系数的绝对值最大，
则 即 整理得 所以 或 .
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
（3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第
7项的系数为正.
故系数最大的项为 ,
系数最小的项为 .
二项展开式中系数和的求法：
（1）对形如 ， 的式子求其展开
式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 即可；对形如
的式子求其展开式各项系数之和，只需令 即可.
（2）一般地，若 ，则 展开式中各项系
数之和为 ，奇数项系数之和为 ，偶数项系数之和为
.
探究3 赋值法
新知运用
例3 设 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
方法指导 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法进行求解.
[解析] （1）令 ，得 .
（2）令 ，得 ，
结合（1）得 ，
.
（3） ，
， ，
.
固学案13页
1.若 ，且 ，则实
数 的值为( ) .
A
A.1或 B.1或3 C. D.1
[解析] 因为 ，所以令 ，得
，所以 或 ，解得
或 .故选A.
2.设 ，则 的
值为( ) .
A
A.1 B. C.0 D.2
[解析] .故选A.
&4& 二项式定理中的“赋值”问题在高考中的应用
例4 （1）（2022年北京卷）若 ，则
( ) .
A.40 B.41 C. D.
（2）（2022年浙江卷）已知多项式
，则 ___，
_ ___.
B
8

导学案33页
[解析] （1）依题意，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
以上两式相加可得 ,所以 ，故选B.
（2）含 的项为 ，故
.
令 ，得 ，令 ，得 ，
.
例题剖析
整除问题
课本35页
9.用二项式证明：
即可证明
&4& 二项式定理中的
反思感悟
归纳总结
固学案10页
五、课堂小结
性质1：对称性
性质2：增减性与最大值
性质3： 各二项式系数的和
性质4：
5.赋值法求二项展开式中系数的和
(1)[2022·广东潮州高二期末]若x2＋(x＋1)7＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a7(x＋2)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．0　　　B．－1　　　C．1　　　D．129
答案：C
解析：令x＝－1，得(－1)2＝1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7.故选C.
当堂检测
(2)[2022·湖北襄阳高二期末](多选)已知(1＋x)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，则下列说法正确的有(　　)
A．a0＝64
B．a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝18
C．a0＋a2＋a4＋a6＝365
D．a0＋2a1＋4a2＋8a3＋16a4＋32a5＋64a6＝212
答案：ACD
解析：对于A，令x＝1可得a0＝26＝64，A正确；
对于B，对(1＋x)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6两边求导得6(1＋x)5＝a1＋2a2(x－1)＋…＋6a6(x－1)5，
令x＝2，可得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝6×35≠18，B错误；
对于C，令x＝0，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝1，令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36＝729，
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝730，则a0＋a2＋a4＋a6＝365，C正确；
对于D，令x＝3可得a0＋2a1＋4a2＋8a3＋16a4＋32a5＋64a6＝46＝212，D正确．故选ACD.