铜梁二中高2026级高一下学期第一次质量检测
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.
详解：由诱导公式可得，，，故选A.
点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.
2. 的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据终边相同的角判断即可.
【详解】且角是第二象限角，
角的终边在第二象限.
故选：B
3. 已知圆心角为2的扇形面积为2，则该扇形的半径为（ ）
A. 1 B. C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，扇形面积为，可得，解得．
故选：B.
4. 若，且为第三象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数基本关系式求解.
【详解】解：因为，且为第三象限角，
所以，
故，
故选：B
5. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长与弧长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设扇形的弧长为，半径为，求出弦长，应用弧长公式即可求解
【详解】设扇形的弧长为，半径为，如图，取的中点
圆心角为，则
所以弦
又弧长
所以弦长与弧长之比为
故选：C
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系和充分不必要条件的判定即可.
【详解】若，则，则．
若，则．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
7. 已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合分段函数单调性的判定方法，以及正弦函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在区间上单调递增，
则满足，解得，即实数的取值为．
故选：B.
8. 已知，则最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由于，得出和的对应关系，再设定和为，得到基本不等式形式：“和模型”，求解即可.
【详解】由于，得，
所以设，，且，
则，
其中（等号成立时，即时成立）.
故选：C.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 与的终边相同
B. 化成弧度是
C. 经过4小时时针转了
D 若角与终边关于轴对称，则，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据终边相同角的定义判断A；根据弧度制和角度制的转化判断B，根据角的定义判断C；根据终边关于轴对称的角的关系判断D.
【详解】对于A选项，，所以与的终边相同，故A正确；
对于B选项，，故B错误；
对于C选项，经过4小时时针转了，故C错误；
对于D选项，若角与终边关于轴对称，则，，故D错误，
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 是奇函数
C. 的图象关于直线轴对称 D. 的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由正弦型函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；
对于B中，由，所以不是奇函数，所以B错误；
对于C中，由不是函数的最值，所以的图象不关于轴对称，所以C错误；
对于D中，由，可得，所以函数的值域为，所以D正确.
故选：AD.
11. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为偶函数；③最小正周期为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数奇偶性以及单调性，周期性直接判断即可.
【详解】选项A：为偶函数，且在上是增函数，且最小正周期为，故A正确；
选项B：为偶函数，且在上是增函数，但没有周期，故B不正确；
选项C：为偶函数，但在上是减函数，故C不正确；
选项D：为偶函数，且在上是增函数，且最小正周期为，故D正确.
故选：AD
12. 已知为偶函数，（，与中相同），则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若的最小正周期为，则
C. 若在区间上单调递减，则的取值范围为
D. 若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由为偶函数，得，解得，利用正余弦型函数的周期，单调性与最值等性质求解即可.
【详解】由为偶函数，得，解得：，因为，所以，故A正确；
对于B，由于的最小正周期为，所以，得，故B不正确；
对于C，由A可得，令，解得，
所以的单调减区间为：，，因为在区间上单调递减，
所以，解得：，由于，所以，的取值范围为，故C正确；
对于D，当时，，若在区间上有且仅有3个最值点，
则可以取到， ，，所以，解得，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的最小正周期是________．
【答案】
【解析】
【分析】由正切函数周期的定义直接计算即可.
【详解】的最小正周期为.
故答案为：
14. 已知为锐角，且，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.
【详解】因为为锐角，且，所以，
所以，
故答案为: .
15. 已知，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
.
故答案为：
16. 已知函数，当时，关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】讨论余弦函数的单调性，求得当且时函数的值域，讨论取值情况即可求出与直线有2个交点时的范围.
【详解】，
由，得，
设，则当时，函数单调递增，此时，
当时，函数单调递减，此时，
得，要使方程在上有2个实根，
则函数图象与直线在上有2个交点，
当且，即时，函数图象与直线有2个交点，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数的值域为集合A，集合，全集．
（1）若，求．
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出函数的值域，再把代入，利用交集的定义求解即得.
（2）利用（1）的信息，利用集合的包含关系列式求解即得.
【小问1详解】
函数，，因此，
当时，，而，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，而，
由，得或，解得或，
所以a的取值范围是或.
18. 已知，是方程的两个实数解．
（1）求m的值；
（2）若为第二象限角，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可确定的范围，再结合根与系数的关系以及同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）根据角所在象限，确定的正负，平方后结合同角的三角函数关系，化简求值，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知是方程的两个实数根，
故；
且，
因为，故，
解得，满足，
故；
【小问2详解】
因为为第二象限角，所以，则，
由（1）知，
所以，
则.
19. 给出下列三个条件：①角的终边经过点；②；③．
请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：
（1）若为第四象限角，求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）-2 （2）6
【解析】
【分析】（1）选①应用任意角三角函数定义计算三角函数值可得；选②③根据齐次式求正切，再联立方程组求解；
（2）先根据诱导公式化简，再根据三角函数值代入计算即可.
【小问1详解】
选①，
方法一：角的终边经过点，因为为第四象限角，故m＞0，
点P到原点的距离为，
所以，，故．
方法二：角的终边经过点，所以，
所以，解得，
又为第四象限角，所以，，
故．
选②，由得，所以，
解得，又为第四象限角，所以，，
故．
选③，由得，
因为，，所以，故，所以，
解得，又为第四象限角，所以，，
故．
【小问2详解】
方法一：由（1）得：，
所以．
方法二：（*），
由（1）得：，所以为第二或第四象限角，
①若为第二象限角，则，，
所以，*式．
②若为第四象限角，则，，
所以，*式．
20. 已知函数．
（1）求函数的最小值，并求出函数取得最小值的x的集合．
（2）求函数在上的单调递增区间．
【答案】（1）；
（2）和
【解析】
【分析】（1）直接利用正弦函数的性质求最小值及取最小值时的集合；
（2）先通过求出的范围，再根据正弦函数的性质求解单调增区间.
【小问1详解】
对于函数，
当时，即时，函数取得最小值；
【小问2详解】
，，
由和可得
函数的单调增区间为和.
21. 已知函数，，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求函数在区间上单调时的取值范围．
【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的解析式，再利用二次函数的性质求出最值.
（2）利用二次函数单调性列出不等式，再利用正切函数单调性解不等式即得.
【小问1详解】
当时，函数，而，
则当时，，当时，，
所以函数的最大值和最小值分别为和.
【小问2详解】
函数图象的对称轴为，
依题意，或，解得或，
又，解得或，
所以的取值范围是.
22. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于，两点.
（1）若，求的周长；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合，解出，再找到边长与三角函数关系，计算即可；
（2）根据与三角函数的关系得到方程，解出，再结合同角三角函数的关系和的范围即可求出三角函数值，再得到面积与三角函数值之间的关系，最后计算即可.
【小问1详解】
因为直线与圆相切，所以.
在直角三角形中，，所以.
在直角三角形中，，所以.
因为，且，所以，
又因为为锐角，所以，
所以的周长为.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，所以.
因为，所以，
所以的面积.铜梁二中高2026级高一下学期第一次质量检测
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
A. B. C. D.
2. 的终边在（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知圆心角为2的扇形面积为2，则该扇形的半径为（ ）
A. 1 B. C. 4 D. 2
4. 若，且为第三象限角，则（ ）
A. B. C. D.
5. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长与弧长之比为（ ）
A. B. C. D.
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则最小值为（ ）
A 6 B. 8 C. 9 D. 10
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 与的终边相同
B. 化成弧度是
C. 经过4小时时针转了
D. 若角与终边关于轴对称，则，
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 是奇函数
C. 的图象关于直线轴对称 D. 的值域为
11. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为偶函数；③最小正周期为的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知为偶函数，（，与中相同），则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若的最小正周期为，则
C. 若在区间上单调递减，则的取值范围为
D. 若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的最小正周期是________．
14. 已知为锐角，且，则的值为__________.
15 已知，且，则________．
16. 已知函数，当时，关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数值域为集合A，集合，全集．
（1）若，求．
（2）若，求a的取值范围．
18. 已知，是方程的两个实数解．
（1）求m的值；
（2）若为第二象限角，求的值．
19. 给出下列三个条件：①角的终边经过点；②；③．
请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：
（1）若为第四象限角，求的值；
（2）求的值．
20. 已知函数．
（1）求函数的最小值，并求出函数取得最小值的x的集合．
（2）求函数在上的单调递增区间．
21. 已知函数，，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求函数在区间上单调时的取值范围．
22. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于，两点.
（1）若，求的周长；
（2）若，求的面积.
