函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
【考点梳理】
一、函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
3、可逆性：是偶函数；奇函数；
4、等价性：；；
5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征
1.一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称，即点（x,y）→（-x,-y）
偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于y轴对称，即点（x,y）→（-x,y）
2.函数的奇偶性与单调性的差异
例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数对称区间上的单调性相反
例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
四、关于函数奇偶性的简单应用
1、函数的对称性
如果函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线?______对称．
一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的对称轴方程是?______.
两个函数与 的图象关于直线对称.
五、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数奇偶性的方法：
1.利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：
1)若定义域不对称，则为非奇非偶函数；
若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系怎样成立？
若成立，则为偶函数；若成立，则为奇函数；
若成立，则为既是奇函数也是偶函数；
若都不成立，则为非奇非偶函数。
2)讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．
3)由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其对称区间上的性质．
4)注意函数性质的逆向应用．
2.图像法：
f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称，点（x,y）→（-x,-y）
f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称，点（x,y）→（-x,y）
3.特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。
4.函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： www.21-cn-jy.com
1)若f(x)与g(x)都是奇函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)都是奇函数，f(x)·g(x)与为偶函数．
2)若f(x)与g(x)都是偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，都是偶函数．
3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；
4)若f(x)与g(x)中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，f(x)·g(x)，都为奇函数．
5）对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数
若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数
若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数
5．若y＝f(x)为奇函数，且y＝f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
6.奇偶函数的性质
1）偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。
2）偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 21*cnjy*com
考点一、判断函数的奇偶性
【例题分析】
例1． 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝；
【解析】( (1)∵由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，
不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
【变式训练】
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x3； (2) f (x) = – x2；
(3) h (x) = x3 +1； (4) k (x) =，x[–1，2]；
(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x) = x (x + 1)；
(7) h (x) = x +； (8) k (x) =.
【适应训练】
下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
A．1 B．2 C．3 D．4
下列说法正确的是( )
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数
【解析】：奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如y＝x＋1．由此可判断A、C项错误，B项正确．奇函数若在原点处有定义，则f(0)＝0，反之不一定成立，如y＝x2，因此D项错误．故选B．答案：B2-1-c-n-j-y
考点二、分段函数的奇偶性
【例题分析】
例1、判断下列函数的奇偶性：
① f(x)＝
②
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
【解析】
（1）函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，
则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
（2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．
例2、判断函数f(x)＝的奇偶性．
分析：分x＞0或x＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．
【解析】函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1
＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
点拨：分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定．
【变式训练】
如果函数f(x)＝，其奇偶性怎样？
【解析】当x＞0时，f(x)＝x3－3x2＋1，－x＜0，
f(－x)＝－(－x)3－3(－x)2＋1＝x3－3x2＋1＝f(x)．
当x＜0时，f(x)＝－x3－3x2＋1.－x＞0，
f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝f(x)．
综上可得f(－x)＝f(x)；∴f(x)为偶函数．
已知函数f(x)＝是奇函数，则m＝__________．
【解析】∵当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x．
∴f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx．∴m＝2．
答案：2
若函数f(x)＝是奇函数，求实数a的值．
【解析】∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝a(－x)2＋(－x)＝ax2－x，
∴－f(x)＝ax2－x，即f(x)＝－ax2＋x．
又∵x＞0时，f(x)＝－x2＋x，∴－ax2＋x＝－x2＋x．∴a＝1．
4．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
考点三、利用奇偶函数图像的对称性质
由偶函数的定义可得：
偶函数的图像关于y轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
由奇函数的定义可得：
奇函数的图像关于原点对称，反过来， 若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数
【例题分析】
例1、设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是
例2．如图，给出了奇函数y = f (x)的局总图象，求f (– 4).
例3．如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
例4、判断下列函数的奇偶性．
【解析】对于(1)，函数图象不关于原点成中心对称，也不关于y轴对称，故此函数不具有奇偶性．
对于(2)，函数图象关于y轴对称，此函数为偶函数．
对于(3)，函数图象关于原点成中心对称，此函数为奇函数．
对于(4)，函数图象关于y轴对称，此函数为偶函数．
【变式训练】
奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f())
【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a时，函数值为－f(a)，
故图象必过点(－a，－f(a))．
答案：C
若函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
【解析】
∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的两个交点关于y轴对称，若一根为x1，则另一根必为－x1，故f(x)＝0的所有实根之和为0.21世纪教育网版权所有
答案：C
已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( ) 21*cnjy*com
A．－2 B．2 C．－98 D．98
【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，∴f(7)＝－2，故选A.
答案：A
考点四、根据奇偶性求函数解析式
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．当函数f(x)具有奇偶性时，已知函数f(x)
在y轴一侧的解析式，就可得到在y轴另一侧的解析式，具体做法如下：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；
(2)要利用已知区间的解析式进行代入；
(3)利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)；
(4)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0．
若做选择题或填空题还可以采用如下办法：
直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的x和y分别换成“－x”和“－y”；若图象关于y轴对称，只需把原函数中的x变为“－x”即可．
特殊点对称法：在函数y＝f(x)的图象上找若干个(个数视y＝f(x)的形式而定)特殊点(a，f(a))，(b，f(b))，…，若y＝f(x)为奇函数，则(－a，－f(a))，(－b，－f(b))，…一定在另一半图象上；【版权所有：21教育】
若y＝f(x)是偶函数，则(－a，f(a))， (－b，f(b))，…也一定在另一半图象上．设出其解析式，利用待定系数法求解．21教育名师原创作品
【例题分析】
例1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式．
分析：由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数．
【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵当x<0时，－x>0，∴f(x)＝－f(－x)＝－2x2＋3x＋1.
又∵奇函数f(x)在原点的定义，f(0)＝0.
∴f(x)＝
【变式训练】
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法．
f(1)＝－f(－1)＝－[2(－1)2－(－1)]＝－3；故选A.
2.已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，
求当x∈(－∞，0)时f(x)的解析式．
【解析】设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)．
由已知得f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)．
∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－)．
即f(x)＝x(1－)，∴当x∈(－∞，0)时，
f(x)的解析式为f(x)＝x(1－)．
考点五、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围
函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质．奇偶函数的定义域关于原点对称，解析式上则有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，利用上述两式的恒成立，可以求得解析式中所含参数的值．
【例题分析】
例1、已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：
（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）
求的取值范围.
【解析】 ，则,
【变式训练】
设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)分析：利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f”，转化为关于m的不等式(组)．【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】∵f(x)在[－2,2]上为奇函数，且在[0,2]上单调递减，故f(x)在[－2,2]上为减函数，又f(1－m)∴ 即解得－1≤m<.
例2、已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，求实数a的值．
【解析】由奇函数的定义得f(－x)＝－f(x)，即a(－x)2＋2(－x)＝－(ax2＋2x)，
整理得ax2－2x＝－ax2－2x，即2ax2＝0．故a＝0．
【变式训练】
1、若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，
则a＝______，b＝________．
【解析】∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝－2a，解得．
∴f(x)＝＋bx＋b＋1为二次函数．
∵函数f(x)为偶函数，
∴对称轴x＝＝0，即b＝0．答案： 0
2、如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，
那么f(x)在x∈[3,5]上是( )
A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4
C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4
【解析】作一个符合条件的函数的简图．观察图形，可知f(x)在[3,5]上是增函数，且最小值为4.答案：B【来源：21·世纪·教育·网】
【变式训练】
1、已知奇函数在R上单调递增，且 则的取值范围为
A. B. C. D.
2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R
C．y＝x，x∈R D．y＝x，x∈R
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝______.
设定义在区间[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)＜g(m)成立，求m的取值范围．21·世纪*教育网
【解析】∵g(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，且在区间[0,2]上单调递减，
∴g(x)在区间[－2,0]上单调递增．
又∵g(1－m)＜g(m)，∴解得－1≤m＜．
考点六、函数奇偶性的证明、奇偶函数的单调性
【例题分析】
例1、已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.?
（1）试判断f(x)的奇偶性；?
（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),?
此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,?
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.?
（2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,?
∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，?
从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1.?
当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,?
∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的
最小值为f(a)=a2+1.?
综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2+1.
例2、已知f(x)＝是奇函数．
(1)求a、b的值；
【解析】(1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即－＝0恒成立，
则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立．∴a＝b＝0.
考点七、函数奇偶性的简单应用
【例题分析】
例1、若f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f(x)在(－∞，0)上的最小值．21教育网
分析：注意到g(x)＝x5＋ax3＋bx是奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0.
【解析】当x>0时，f(x)≤8，则当x<0时，－x>0，f(－x)≤8，设x∈(－∞，0)，则
f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3
＝－[(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＋3]＋6
＝－f(－x)＋6≥－8＋6＝－2.
所以f(x)在(－∞，0)上的最小值是－2.
【变式训练】
已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B. C. D．－
【解析】由已知，f(－x)＝f(x)，所以ax2－bx＝ax2＋bx，即bx＝0对定义域内一切x均成立，故b＝0.21cnjy.com
已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，
且F(－2)＝5，则F(2)＝ 1 ；
【解析】(1)因为f(x)与g(x)都是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋3＋a[－f(x)]＋b[－g(x)]＋3＝6，
所以F(x)＝6－F(－x)，
所以F(2)＝6－F(－2)＝6－5＝1.
3.设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x＝对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=2·1·c·n·j·y
4.设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰有6个不同的实数根，则这6个实数根的和为 www-2-1-cnjy-com
5.设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数y=f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为
7.若函数f(x)在(4，＋∞)上是减函数，且对任意x∈R，有f(4＋x)＝f(4－x)，
则( )
A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)
【解析】由已知，y＝f(x)的图象的对称轴为x＝4，又y＝f(x)在(4，＋∞)上递减，所以f(3)＝f(5)>f(6)，故选D.
8.函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），则f（x）是（ ）
A．奇函数但非偶函数 B．偶函数但非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
考点八、抽象函数奇偶性的判断
【例题分析】
例1、已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．
求证：f(x)为奇函数．
证明：设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
例2、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：
f(ab)＝af(b)＋bf(a)，
(1)求f(0)、f(1)的值．(2)证明f(x)为奇函数．
解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)证明：∵a，b∈R，∴可赋a、b为某些特殊值．
令a＝b＝－1，则f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0，
∴f(x)为奇函数．
【变式训练】
1、已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
分析：判定函数的奇偶性应凑f(－x)的形式，令y＝－x即可．
证明：（1）由题意知，f(x)的定义域是R，它关于原点对称．在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)；令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得
f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
（2）解：由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇函数，
得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.
例3、已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).?
（1）求证：f(x)是奇函数；?
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.?
证明：
（1）∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.?
∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,?
∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),?
∴f(x)为奇函数.?
（2）解：方法一 设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），?
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.?∵x∈R+，f（x）＜0,?
∴f(x+y)-f(x)＜0,?∴f(x+y)＜f(x).?
∵x+y＞x,?∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，?
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.?
∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.?
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.?
方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R.?
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).?
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.?
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，?
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.?
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.?
考点八、函数性质的综合应用
【例题分析】
例1、定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x、y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)且f(0)≠0.
(1)求证：f(0)＝1；
(2)判断y＝f(x)的奇偶性；
(3)若存在正常数C，使f()＝0.
①求证：对任意x∈R，有f(x＋C)＝－f(x)成立；
②试问函数f(x)是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由．
分析：(1)用赋值法；(2)依题设构造f(－x)与f(x)的关系；(3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．【出处：21教育名师】
【解析】(1)证明：令x＝y＝0，则2f(0)＝2f2(0)．
又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
(2)令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，
所以f(y)＝f(－y)，即f(x)＝f(－x)，
又x∈R，所以f(x)为偶函数．
(3)①证明：用x＋，(C>0)替换x，y，
则f(x＋＋)＋f(x＋－)＝2f(x＋)·f()．
又f()＝0，所以f(x＋C)＋f(x)＝0，即f(x＋C)＝－f(x)；
②由①的结论知f(x＋2C)＝－f(x＋C)＝f(x)(C>0)，
所以f(x)是周期函数，2C就是它的一个周期．
【变式训练】
1、设f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝g(2－x)，
且当x∈[2,3]时，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)3.
(1)求f(x)的表达式；
【解析】(1)当x∈[－1,0]时，2－x∈[2,3]，
f(x)＝g(2－x)＝2a(－x)－4(－x)3＝4x3－2ax，
因为y＝f(x)在[－1,1]是偶函数，
所以当x∈[0,1]时，f(x)＝f(－x)＝－4x3＋2ax.
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
【考点梳理】
一、函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
3、可逆性：是偶函数；奇函数；
4、等价性：；；
5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 2·1·c·n·j·y
三、关于奇偶函数的图像特征
1.一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 21*cnjy*com
即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称，即点（x,y）→（-x,-y）
偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于y轴对称，即点（x,y）→（-x,y）
2.函数的奇偶性与单调性的差异
例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数对称区间上的单调性相反
例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在上是增函数，且有最小值－M.【来源：21cnj*y.co*m】
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
四、关于函数奇偶性的简单应用
1、函数的对称性
如果函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线?______对称．【出处：21教育名师】
一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的对称轴方程是?______.
两个函数与 的图象关于直线对称.
五、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数奇偶性的方法：
1.利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：
1)若定义域不对称，则为非奇非偶函数；
若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系怎样成立？
若成立，则为偶函数；若成立，则为奇函数；
若成立，则为既是奇函数也是偶函数；
若都不成立，则为非奇非偶函数。
2)讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．
3)由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其对称区间上的性质．【版权所有：21教育】
4)注意函数性质的逆向应用．
2.图像法：
f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称，点（x,y）→（-x,-y）
f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称，点（x,y）→（-x,y）
3.特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。 21教育名师原创作品
4.函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 21*cnjy*com
1)若f(x)与g(x)都是奇函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)都是奇函数，f(x)·g(x)与为偶函数．
2)若f(x)与g(x)都是偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，
f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，都是偶函数．
3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；
4)若f(x)与g(x)中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，f(x)·g(x)，都为奇函数．
5）对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数
若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数
若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数
5．若y＝f(x)为奇函数，且y＝f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
6.奇偶函数的性质
1）偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。
2）偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
考点一、判断函数的奇偶性
【例题分析】
例1． 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝；
【变式训练】
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x3； (2) f (x) = – x2；
(3) h (x) = x3 +1； (4) k (x) =，x[–1，2]；
(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x) = x (x + 1)；
(7) h (x) = x +； (8) k (x) =.
【适应训练】
下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
A．1 B．2 C．3 D．4
下列说法正确的是( )
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数
考点二、分段函数的奇偶性
【例题分析】
例1、判断下列函数的奇偶性：
① f(x)＝ ②
例2、判断函数f(x)＝的奇偶性．
分析：分x＞0或x＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．
【变式训练】
如果函数f(x)＝，其奇偶性怎样？
已知函数f(x)＝是奇函数，则m＝__________．
若函数f(x)＝是奇函数，求实数a的值．
4．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
考点三、利用奇偶函数图像的对称性质
由偶函数的定义可得：
偶函数的图像关于y轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
由奇函数的定义可得：
奇函数的图像关于原点对称，反过来， 若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数
【例题分析】
例1、设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是
例2．如图，给出了奇函数y = f (x)的局总图象，求f (– 4).
例3．如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
例4、判断下列函数的奇偶性．
【变式训练】
奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f())
若函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )21世纪教育网版权所有
A．－2 B．2 C．－98 D．98
考点四、根据奇偶性求函数解析式
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．当函数f(x)具有奇偶性时，已知函数f(x)
在y轴一侧的解析式，就可得到在y轴另一侧的解析式，具体做法如下：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；
(2)要利用已知区间的解析式进行代入；
(3)利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)；
(4)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0．
若做选择题或填空题还可以采用如下办法：
直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的x和y分别换成“－x”和“－y”；若图象关于y轴对称，只需把原函数中的x变为“－x”即可．
特殊点对称法：在函数y＝f(x)的图象上找若干个(个数视y＝f(x)的形式而定)特殊点(a，f(a))，(b，f(b))，…，若y＝f(x)为奇函数，则(－a，－f(a))，(－b，－f(b))，…一定在另一半图象上；21教育网
若y＝f(x)是偶函数，则(－a，f(a))， (－b，f(b))，…也一定在另一半图象上．设出其解析式，利用待定系数法求解．21·cn·jy·com
【例题分析】
例1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋3x－1，
求f(x)的解析式．
【变式训练】
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
2.已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，
求当x∈(－∞，0)时f(x)的解析式．
考点五、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围
函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质．奇偶函数的定义域关于原点对称，解析式上则有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，利用上述两式的恒成立，可以求得解析式中所含参数的值．
【例题分析】
例1、已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：
（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）
求的取值范围.
【变式训练】
设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)例2、已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，求实数a的值．
【变式训练】
1、若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，
则a＝______，b＝________．
2、如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，
那么f(x)在x∈[3,5]上是( )
A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4
C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4
【适应训练】
1、已知奇函数在R上单调递增，且 则的取值范围为
A. B. C. D.
2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R
C．y＝x，x∈R D．y＝x，x∈R
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝______.
设定义在区间[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，
若g(1－m)＜g(m)成立，求m的取值范围．
考点六、函数奇偶性的证明、奇偶函数的单调性
【例题分析】
例1、已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.?
（1）试判断f(x)的奇偶性；?
（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
例2、已知f(x)＝是奇函数．
(1)求a、b的值；
考点七、函数奇偶性的简单应用
【例题分析】
例1、若f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f(x)在(－∞，0)上的最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
【变式训练】
已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B. C. D．－
已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，
且F(－2)＝5，则F(2)＝ 1 ；
3.设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x＝对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=21·世纪*教育网
4.设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰有6个不同的实数根，则这6个实数根的和为 www-2-1-cnjy-com
5.设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数y=f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为 2-1-c-n-j-y
7.若函数f(x)在(4，＋∞)上是减函数，且对任意x∈R，有f(4＋x)＝f(4－x)，
则( )
A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)
8.函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），则f（x）是（ ）
A．奇函数但非偶函数 B．偶函数但非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
考点八、抽象函数奇偶性的判断
【例题分析】
例1、已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．
求证：f(x)为奇函数．
例2、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：
f(ab)＝af(b)＋bf(a)，
(1)求f(0)、f(1)的值．(2)证明f(x)为奇函数．
【变式训练】
1、已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
例3、已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).?
（1）求证：f(x)是奇函数；?
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.?
考点八、函数性质的综合应用
【例题分析】
例1、定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x、y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)且f(0)≠0.21cnjy.com
(1)求证：f(0)＝1；
(2)判断y＝f(x)的奇偶性；
(3)若存在正常数C，使f()＝0.
①求证：对任意x∈R，有f(x＋C)＝－f(x)成立；
②试问函数f(x)是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由．
【变式训练】
1、设f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝g(2－x)，
且当x∈[2,3]时，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)3.
(1)求f(x)的表达式；
