(共22张PPT)
第二章 圆周运动
一、主干知识成体系
二、迁移交汇辨析清
三类平面上的圆周运动问题
类型(一) 水平面上的圆周运动
[典例1] [多选]如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为r、r、2r，与转台间的动摩擦因数相同(假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转台旋转时，下列说法中正确的是 ( )
A．若三个物体均未滑动，C物体的向心加速度最大
B．若三个物体均未滑动，B物体受到的摩擦力最大
C．转速增加，A物体比B物体先滑动
D．转速增加，C物体先滑动
解析：三个物体均未滑动时，做圆周运动的角速度相同，均为ω，根据a＝ω2r知，半径最大的向心加速度最大，A正确。三个物体均未滑动时，静摩擦力提供向心力fA＝2mω2r，fB＝mω2r，fC＝2mω2r，B物体受到的摩擦力最小，B错误。转速增加时，角速度增加，当三个物体分别刚要滑动时，对A有2μmg＝2mωA2r，对B有μmg＝mωB2r，对C有μmg＝2mωC2r，所以ωA＝ωB>ωC，即C物体的静摩擦力提供向心力首先达到不足，C物体先滑动，A与B一起滑动，C错误，D正确。
答案：AD
解析：物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mrω2，解得ω＝1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误。
答案：C
三、模型构建探本质
(一)圆锥摆模型
1．物理模型
细线下面悬挂一个小球，设法使小球在某个水平面内做匀速圆周运动，形成一个圆锥摆，如图所示。
2．向心力的来源
细线拉力FT与小球所受重力mg的合力提供向心力，或者说是细线拉力在水平面内指向圆心的分力提供向心力。
[针对训练]
1．[多选] 如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是 ( )
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速率越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
2. 如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线连接，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的 ( )
A．运动周期相同
B．运动的线速度相同
C．运动的角速度不同
D．向心加速度相同
(二)圆周运动中的连接体问题
圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题。这类问题的一般解题思路是：分别隔离物体，准确受力分析，正确画出受力示意图，确定轨道平面和半径，注意约束关系。在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系。常见实例如下：
情景示例 情景图示 情景说明
情景1 A、B两小球固定在轻杆上，随杆一起绕杆的端点O做圆周运动。注意：计算杆OA段的拉力时，应以小球A为研究对象，而不能以A、B整体为研究对象
情景2 A、B两物块用细绳相连沿半径方向放在转盘上，随转盘一起转动，当转盘转速逐渐增大时，物块A先达到其最大静摩擦力，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到其最大值后两物块开始滑动(设A、B两物块与转盘间的动摩擦因数相等)
情景3 A、B两物块叠放在一起随转盘一起转动，当求转盘对物块B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先发生离心运动时，注意比较两接触面间的动摩擦因数大小
续表
情景4 A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上，随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等，角速度相同，圆周运动的轨道半径与小球质量成反比
续表
[针对训练]
4．[多选]如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等均为m的两个物体A和B(A、B可以看作质点)，它们与盘面间的动摩擦因数均为μ，A、B之间细线的长度为L，细线长度等于B到圆盘圆心的距离，下列说法正确的是 ( )(共39张PPT)
第三节 生活中的圆周运动
核心素养点击
物理观念 (1)了解生活中的各种圆周运动现象
(2)知道公路弯道、铁路弯道、拱形与凹形路面的特点
科学思维 (1)能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象
(2)会分析火车(汽车)转弯、汽车过凸形桥和凹形路面时的有关问题
科学态度与责任 通过对生活中圆周运动实例的分析，有主动将所学知识应用于日常生活的意识，体会物理学的技术应用对日常生活的影响
圆周运动
静摩擦力
外高内低
重力和支持
力的合力
(2)火车转弯。
①运动情况：相当于做 。
②弯道的内外轨一样高：由 对轮缘的弹力提供向心力，如图甲所示，这样铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。
③弯道的外轨略高于内轨：如果依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由 和 的合力提供，如图乙所示。
圆周运动
外轨
重力G
支持力FN
(3)铁路弯道的特点。
①转弯处 略高于 。
②铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道 。
③铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向轨道的 ，它提供了火车以规定速度行驶时的 。
外轨
内轨
内侧
圆心
向心力
2．判一判
(1)汽车转弯可以简化为水平面上的圆周运动。 ( )
(2)火车转弯处的轨道内轨要高于外轨。 ( )
(3)火车转弯时的向心力是由铁轨与车轮间的挤压力提供的。 ( )
(4)火车通过弯道时具有速度的限制。 ( )
3．想一想
火车静止在转弯处时，合力为零，若火车按照规定的速度转弯时，其合力也是零吗？
提示：此时火车具有向心加速度，其合力沿水平方向指向轨道的内侧。
√
×
×
√
二、汽车过拱形与凹形路面
1．填一填
mg－FN
FN－mg
结论 汽车对拱形路面的压力小于汽车所受的重力，而且汽车速度越大，对路面的压力 ____ 汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对凹形路面的压力_____
超重、
失重现象 失重状态 超重状态
2.判一判
(1)汽车在拱形路面上行驶，速度较小时，对路面的压力大于车的重力。( )
(2)汽车在水平路面上加速行驶时对水平路面的压力大于车的重力。 ( )
(3)汽车过凹形路面底部时，对路面的压力大于车的重力。 ( )
续表
越小
越大
×
×
√
探究(一) 火车转弯问题
[问题驱动]
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：
(1)火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？
提示：火车转弯处的外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，
火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车在行驶的过程中，中心的高度不变，故火车在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
(2)火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？
提示：火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力恰好提供向心力。
(3)火车转弯速度过大时，会对哪侧轨道有侧压力？
提示：当火车转弯速度过大时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时火车对外侧轨道有向外的侧向压力。
(4)火车转弯速度过小时，又会对哪侧轨道有侧压力？
提示：当火车转弯速度过小时，重力和支持力的合力大于所需向心力，此时火车对内侧轨道有向里的侧向压力。
[重难释解]
1．火车车轮的特点
火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图所示。
2．轨道分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一段水平圆弧。由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面；火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3．向心力分析
火车速度合适时，火车受如图所示的重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ。
某铁路转弯处的圆弧半径是300 m，铁轨的轨距是1 435 mm，火车通过这里的规定速度是72 km/h。
(1)求内外轨的高度差。
(2)保持内外轨的这个高度差，如果列车通过转弯处的速度大于或小于72 km/h，分别会发生什么现象？说明理由。
[迁移·发散]
如果该弯道的内外轨一样高，火车质量为100 t，仍以规定速度72 km/h通过该弯道，其向心力来源是什么？向心力的大小是多少？会产生什么后果？
火车转弯问题的解题策略
(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这还与火车的速度大小有关。
[素养训练]
1．[多选]在铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了 ( )
A．增加火车轮子对外轨的挤压
B．增加火车轮子对内轨的挤压
C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需的向心力
D．限制火车向外脱轨
解析：火车轨道建成外高内低，火车转弯时，轨道的支持力与火车的重力两者的合力指向弧形轨道的圆心，为火车转弯提供了(部分)向心力，减轻了轮缘与外轨的挤压，同时在一定程度上限制了火车转弯时发生离心运动，即限制火车向外脱轨，故C、D正确。
答案：CD
2．[多选] 如图所示，铁路转弯处外轨应略高于内轨，火车必须按规
定的速度行驶，则转弯时 ( )
A．火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧
B．弯道半径越大，火车所需向心力越大
C．火车的速度若小于规定速度，火车对外侧铁轨挤压
D．火车若要提速行驶，弯道的坡度应适当增大
探究(二) 汽车过拱形与凹形路面问题
[问题驱动]
如图甲、乙所示为汽车在拱形与凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动。
(1)如图甲，汽车行驶到拱形路面的最高点时：
①什么力提供向心力？汽车对路面的压力有什么特点？
②汽车对路面的压力与车速有什么关系？汽车安全通过拱形路面最高点(不脱离路面)行驶的最大速度是多大？
(2)当汽车行驶到凹形路面的最底端时，什么力提供向心力？汽车对路面的压力有什么特点？
[重难释解]
汽车过拱形与凹形路面问题的比较
续表
如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面，两路面的圆弧半径均为60 m。如果路面承受的压力不得超过3.0×105N
(g取10 m/s2)，则汽车允许的最大速率是多少？
[迁移·发散]
在上述典例中，若以所求速率行驶，汽车对路面的最小压力是多少？
[素养训练]
1. 如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法不正确的是 ( )
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
2．如图所示，汽车在炎热的夏天沿不规整的曲面行驶，
其中最容易发生爆胎的点是(汽车运动速率不变)( )
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
3．如图所示，是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0×103 kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10 m/s；则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力大小为多大？汽车对桥面的压力是多少？(g取10 m/s2)
一、培养创新意识和创新思维
如图所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面半径等于
地球半径，试讨论：
(1)地面上有一辆汽车在行驶，地面对它的支持力与汽车的速度有何关系？驾驶员在行驶过程中处于超重状态还是失重状态？驾驶员能感受到吗？
(2)假设地球的半径R＝6 400 km，g＝10 m/s2，汽车以多大的速度行驶时，驾驶员会处于完全失重状态？
二、注重学以致用和思维建模
1．(2023·广东1月学考)如图所示，一物体从固定的光滑圆弧轨道上端由静止下滑，当物体滑到轨道最低点时，下列说法正确的是( )
A．物体处于超重状态
B．物体处于平衡状态
C．物体对轨道的压力等于物体的重力
D．物体对轨道的压力大于轨道对物体的支持力
答案：A
2．近年来，我国高铁技术迅猛发展。目前已经全线通车的沪昆高铁，穿越沪、浙、赣、湘、黔、滇六省，使得从上海到昆明的耗时减少为原来的四分之一。在沪昆高铁的怀化至贵阳段，由于山势原因，设计师根据地形设计了一半径为
3 000 m，限定时速为180 km/h(此时车轮轮缘不受力)的弯道。试参考题目信息，结合以下条件求过此弯道时的外轨超高值d为多少。(已知我国的轨距L约为1 500 mm，且角度较小时，可认为正弦跟正切相等，重力加速度g＝10 m/s2)(共42张PPT)
第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动
核心素养点击
物理观念 (1)认识圆周运动、匀速圆周运动的特点
(2)理解线速度的物理意义，知道匀速圆周运动中线速度的方向
(3)理解角速度的物理意义
(4)了解转速和周期的意义
科学思维 (1)掌握线速度和角速度的关系
(2)能在具体的情境中确定线速度和角速度
(3)理解线速度、角速度、周期、转速等各量的相互关系
科学态度与责任 会用描述匀速圆周运动的物理量分析有关问题
一、线速度
1．填一填
(1)圆周运动：运动轨迹为 或一段 的机械运动。
(2)线速度。
①定义：物体运动的 与时间Δt之比。
②定义式：v＝___。
③方向：物体做圆周运动时该点的 方向。线速度是矢量。
④物理意义：表示物体在某点运动的 。
(3)匀速圆周运动：线速度 处处相等的圆周运动。因线速度的方向在时刻变化，故匀速圆周运动是一种 运动。
圆周
圆弧
弧长Δl
切线
快慢
大小
变速
√
×
×
×
3．选一选
[多选]关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是 ( )
A．匀速圆周运动是变速运动
B．匀速圆周运动的速率不变
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．任意相等时间内通过的路程相等
解析：由匀速圆周运动的定义知，线速度的大小不变也就是速率不变，但线速度方向时刻改变，故A、B两项正确；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，D项正确、C项错误。
答案：ABD
转动
角度Δθ
弧度每秒
rad/s
不变
一周
T
圈数
2．判一判
(1)角速度是标量，它没有方向。 ( )
(2)物体做匀速圆周运动时在相等的时间内转过的角度相等。 ( )
(3)做匀速圆周运动的物体，角速度越大，周期就越大。 ( )
3．想一想
钟表上的时针和分针绕轴转动的角速度一样吗？
提示：时针12小时转一周，分针1小时转一周，故分针绕轴转动的角速度较大。
×
√
×
三、线速度、角速度和周期间的关系
1．填一填
(1)线速度和周期、半径的关系：v＝____。
(2)角速度和周期的关系：ω＝___。
(3)线速度和角速度的关系：v＝ 。
2．判一判
(1)匀速圆周运动的周期越大，则线速度越大。 ( )
(2)匀速圆周运动的周期越大，则角速度越小。 ( )
(3)匀速圆周运动的角速度越大，则线速度越大。 ( )
ωr
×
√
×
3．想一想
打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技。如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度不同。
探究(一) 描述圆周运动的各物理量的关系
[问题驱动]
如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀
螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时，a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
提示：ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？
提示：va＝vc>vb。
[重难释解]
1．描述圆周运动的各物理量间的关系
2．v、ω及r间的关系
(1)由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；ω一定时，v∝r。v与ω、r间的关系如图甲、乙所示。
“厦门海底隧道工程”是中国首条海底地铁盾构隧道施工技术应
用的成果，达到国际领先水平。如图所示是挖掘隧道使用的隧道盾
构机。盾构刀盘直径为15.01米，相当于五层楼高度。其基本工作原
理是沿隧道轴线边向前推进，通过旋转前端盾形结构利用安装在前端的刀盘对土壤进行开挖切削，挖掘出来的土碴被输送到后方。如图所示为某盾构机前端。以下说法中正确的是 ( )
A．盾构机前端转动时，各个刀片转动的角速度相同
B．盾构机前端转动时，各刀片的速度随半径的增大而减小
C．当盾构机前端转速为3 r/min时，其转动周期为0.05 s
D．当盾构机前端转速为3 r/min时，盾构机外边缘的速度约为2.4 m/s
圆周运动各物理量间关系的应用技巧
(1)分析线速度和角速度的关系，应用公式v＝ωr。
(2)分析转速和角速度的关系，应用公式ω＝2πn。
[素养训练]
1．(2023·浙江1月学考)如图所示，A、B是电风扇叶片上的两点。电风扇工作时A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB
C．vA＞vB D．vA＜vB
解析：由题图可知A、B是电风扇叶片上的两点，同轴转动，则角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝rω，rA>rB，可知vA>vB，选项C正确。
答案：C
2. 如图所示，A、B为某小区门口自动升降杆上的两点，A在杆
的顶端，B在杆的中点处。杆从水平位置匀速转至竖直位置
的过程中，A、B两点 ( )
A．角速度大小之比为2∶1
B．角速度大小之比为1∶2
C．线速度大小之比为2∶1
D．线速度大小之比为1∶2
解析：因为A、B两点是同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，故A、B错误；由v＝ωr，可知速度之比等于半径之比，故A、B两点线速度大小之比为2∶1，故C正确，D错误。
答案：C
3. (2022·珠海高一检测)甲、乙两位同学每天坚持晨跑，甲
沿着半径为2R的圆周跑道匀速率跑步，乙沿着半径为R
的圆周跑道匀速率跑步，在相同的时间内，甲、乙各自
跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2
和v1、v2，则 ( )
A．ω1＞ω2，v1＜v2 B．ω1＜ω2，v1＞v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＞v2
探究(二) 常见三种转动装置
[问题驱动]
如图为两种传动装置的模型图。
(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系。
提示：皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又v＝ωr，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小。
(2)乙图为同轴传动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系。
提示：同轴传动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝ωr，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大。
[重难释解]
续表
如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，
A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若
皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。
解析：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即
va＝vb或va∶vb＝1∶1， ①
由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2， ②
B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1， ③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2， ④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
答案：1∶2∶2 1∶1∶2
[迁移·发散]
上述典例中，若C轮的转速为n r/s，其他条件不变，则A轮边缘的线速度和角速度各为多大？
[素养训练]
1. 如图所示，风力发电机叶片上有a和b两点，在叶片转动时，
a、b的角速度分别为ωa、ωb，线速度大小为va、vb，则( )
A．ωa<ωb，va＝vb
B．ωa>ωb，va＝vb
C．ωa＝ωb，vaD．ωa＝ωb，va>vb
解析：由于a、b两点属于同轴转动，故它们的角速度相等，即ωa＝ωb，由公式v＝ωr且由题图可知，ra>rb，所以va>vb，故D正确。
答案：D
2．如图所示动力传输装置，电动机皮带轮的半径小于机器皮带轮的半径，轮边缘上有两点A、B，关于这两点的线速度v、角速度ω、周期T，下列关系正确的是 ( )
A．vA＜vB B．vA＞vB
C．TA＞TB D．ωA＞ωB
3．共享单车是目前我国规模最大的校园交通代步解决方案，为广大高校师生提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的共享单车服务。如图所示是一辆共享单车，A、B、C三点分别为单车轮胎和前、后两齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是 ( )
A．ωB＝ωC B．vC＝vA
C．2ωA＝5ωB D．vA＝2vB
解析：B轮和C轮是链条传动，链条传动的特点是两轮与链条接触点的线速度的大小与链条的线速度大小相同，故vB＝vC，根据v＝ωR，得5ωB＝2ωC，故A错误；由于A轮和C轮同轴，故两轮角速度相同，根据v＝ωR，得vA＝5vC，故B错误；因vA＝5vC，vA＝ωARA，vC＝vB＝ωBRB，故vA＝5vB,2ωA＝5ωB，故C正确，D错误。
答案：C
4. 如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比。
(2)B齿轮的转速n2。
探究(三) 匀速圆周运动的多解问题
[重难释解]
匀速圆周运动的周期性和多解性
因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)。
匀速圆周运动多解问题
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
[素养训练]
1. 如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。
2. 如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用
下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由
M点开始逆时针做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求力
F为多大时可使A、B两物体在某些时刻的速度相同。
3．如图所示，用薄纸做成的圆筒直径为D，竖直放置，绕圆筒轴线OO′以角速度ω0逆时针匀速运动。一玩具手枪发出的子弹，沿水平方向匀速飞来(不计子弹重力影响)，沿圆筒的直径方向击穿圆筒后飞出(设薄纸对子弹的运动速度无影响且认为纸筒没有发生形变)，结果在圆筒上只留下子弹的一个洞痕，求子弹的速度。
一、培养创新意识和创新思维
炎炎的夏夜，当你在日光灯下打开电风扇，你会发现随着电风扇转速的变化，电风扇叶片有时仿佛静止不动，有时倒转，有时正转。这是怎么回事呢？
解析：日光灯并不是连续发光，而是随着交流电的频率不停地闪烁，断断续续将物体照亮。目前，我国使用的交流电频率是50 Hz，日光灯发光的频率是其两倍，即每秒有100次闪烁。
由于人眼的视觉暂留性，通常情况下感觉不到这种闪烁，但对于高速转动的物体就不同了。由于日光灯每秒钟100次照亮物体，因此，当电风扇的转速达到100 r/s的整数倍时，电风扇的叶片总是在同一位置上。这样人就觉得电风扇叶片是“静止”不动的了。
二、注重学以致用和思维建模
1．一户外健身器材如图所示，当器材上轮子转动时，轮子上A、B两点的( )
A．转速nB>nA
B．周期TB>TA
C．线速度vB>vA
D．角速度ωB>ωA
解析：A、B两点为同轴转动，所以nA＝nB，TA＝TB，ωA＝ωB，而线速度v＝ωr，所以vB>vA，故C正确。
答案：C
解析：手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D正确。
答案：D
3．(2023·广东1月学考)如图所示，P、Q为固定在自行车后轮上的两个转动齿轮，与车后轮同角速度转动，通过链条与脚踏轮M连接，P轮的半径比Q轮的大。保持M以恒定角速度转动，将链条由Q轮换到P轮，则车后轮转动的( )
A．角速度不变 B．角速度变小
C．周期不变 D．周期变小
答案：B (共27张PPT)
第四节 离心现象及其应用
核心素养点击
物理观念 知道什么是离心现象，知道离心现象产生的原因
科学思维 学会通过实例分析离心运动，能解释生产、生活及科学技术中离心运动的实际问题
科学态度与责任 观察生活中的离心现象，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害
一、离心现象
1．填一填
(1)定义：做圆周运动的物体，在所受向心力 或 不足以提供维持圆周运动所需向心力的情况下，会做逐渐远离圆心的运动。
(2)条件：向心力 或合力 圆周运动所需的向心力。
2．判一判
(1)离心运动是物体惯性的表现。 ( )
(2)离心运动是物体受到了离心力的作用。 ( )
(3)离心运动是沿半径向外的运动。 ( )
突然消失
合力
突然消失
不足以提供
√
×
×
3．想一想
如图所示，是一款滚筒洗衣机及其滚筒，请思考洗衣机是如何将衣服甩干的？
提示：当滚筒高速旋转时，衣服紧贴着筒壁随圆筒高速转动，衣服上的水滴的附着力不足以提供随圆筒转动的向心力时，水滴会做离心运动从圆筒的小孔中被甩出。
二、离心现象的应用
1．填一填
(1)应用。
离心分离器、离心干燥器、脱水筒、离心水泵。
(2)危害与防止。
危害：如过荷太大时，飞行员会暂时失明，甚至昏厥。
防止：如车辆转弯时要 。
限速
2．想一想
离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，下列事例中是否属于离心现象的应用。你还能想到哪些离心现象的应用？
(1)投篮球。
(2)投掷标枪。
(3)用洗衣机脱去湿衣服中的水。
(4)旋转雨伞甩掉雨伞上的水滴。
提示：投篮球、投掷标枪不是离心现象的应用，洗衣机脱水筒、旋转雨伞属于离心现象的应用。离心现象的应用还有离心分离器、离心水泵等。
探究(一) 离心运动的理解与分析
[问题驱动]
如图甲所示，链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出；如图乙所示，下雨天旋转雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出。请思考：
(1)放手后链球沿什么方向飞出？
提示：高速旋转的链球做圆周运动，放手后链球沿对应的切线方向飞出。
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
提示：旋转雨伞时，水滴也随着运动起来，但伞面上的水滴受到的合力不足以提供其做圆周运动的向心力时，水滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体做离心运动的条件是什么？
提示：物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力。
[重难释解]
1．对离心运动的理解
(1)离心运动并非沿半径飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
(2)离心运动的本质是物体惯性的表现，并不是受到了“离心力”的作用。
2．四种运动情况的判断
如图所示，根据物体所受合外力与所需向心力的关系，可做如下判断：
[多选]如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B。当木块A以角速度ω匀速转动时，木块A恰能在转台上做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则 ( )
A．当木块A的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的a方向运动
B．当木块A的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
C．当木块A的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
D．当木块A的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的c方向运动
解析：木块A以角速度ω做匀速圆周运动时的向心力由细绳的拉力提供，大小等于木块B所受的重力，而木块B所受重力不变，所以木块A角速度增大时，木块A需要的向心力大于B所受的重力，木块A做离心运动，故B正确；木块A角速度减小时，木块A需要的向心力小于木块B所受的重力，木块A做近心运动，故D正确。
答案：BD
[素养训练]
1．(多选)在人们经常见到的以下现象中，属于离心现象的是 ( )
A．舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子会张开
B．在雨中转动一下伞柄，伞面上的雨水会很快地沿伞面运动，到达边缘后雨水将沿切线方向飞出
C．满载黄沙或石子的卡车，在急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出
D．守门员把足球踢出后，足球在空中沿着弧线运动
解析：裙子张开属于离心现象，故A正确；伞上的雨水受到的力由于不够提供向心力导致水滴做离心运动，故B项正确；黄沙或石子也是因为受到的力不够提供向心力而做离心运动，故C项正确；守门员踢出足球，足球在空中沿着弧线运动是因为足球在力的作用下做曲线运动，不是离心现象，故D项错误。
答案：ABC
2．如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是 ( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析：若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误。
答案：A
3．如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车 ( )
A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
解析：缓慢起动的公交车具有向前的加速度，但加速度较小，两只行李箱所受的静摩擦力可能小于最大静摩擦力，则行李箱可以相对公交车静止，A项错误；急刹车时，a、b行李箱由于惯性，要保持原来的运动状态，但a行李箱与底面的摩擦为滚动摩擦，比较小，故a行李箱会向前运动，b行李箱可能静止不动，也可能向前运动，，B项正确；缓慢转弯时，公交车具有指向轨迹内侧的较小的加速度，当行李箱所受的静摩擦力足以提供其向心力时，行李箱相对车子静止，C项错误；急转弯时，公交车的加速度较大，若行李箱b所受的静摩擦力不足以提供所需的向心力，则其做离心运动，即相对公交车向外侧运动，若行李箱b所受的静摩擦力足以提供所需的向心力，则其相对公交车静止，D项错误。
答案：B
探究(二) 离心运动应用分析
[问题驱动]
如图所示，汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：
(1)汽车滑出是因为受到了离心力吗？
提示：不是。是因为向心力突然消失或不足。
(2)物体做离心运动的条件是什么？
提示：物体受的合外力消失或小于圆周运动需要的向心力。
[重难释解]
几种常见离心运动的对比图示
用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中 当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
续表
如图所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23。最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g＝9.8 m/s2)
[素养训练]
1. 如图所示为洗衣机脱水筒的示意图，当脱水筒从静止开始到完
成脱水的过程中 ( )
A．衣服上的水做离心运动
B．衣服始终做匀速圆周运动
C．衣服始终做离心运动
D．衣服上的水始终做匀速圆周运动
解析：当脱水筒从静止开始到完成脱水的过程中，速度大小发生变化，故衣服不是做的匀速圆周运动，故B、D错误；衣服上的水做离心运动，故A正确，C错误。
答案：A
2．如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内
低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车
将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误。
答案：B
3．[选自鲁科版新教材“物理聊吧”](1)游乐场的旋转盘上，
开始时有的人离转轴近一些，有的人离转轴远一些(如图)。
当旋转盘加速时，哪些人更容易发生滑动？为什么？
(2)握住体温计的顶部用力甩，就能把水银甩回玻璃泡内。如何解释这个现象？医院每天要用很多支温度计，如果一支支地甩，是很费时间的。你能想到简便方法吗？
一、培养创新意识和创新思维
如图所示，是圆筒式的旋转拖把，是家庭中的常用卫生打扫的工
具，使用简单、便捷。请思考：
(1)在使用的过程中，它能够迅速给拖把脱水，你能够说出其中的原理吗？
(2)物体做离心运动的条件是什么？
解析：(1)利用的是离心运动。
(2)当需要的向心力大于提供的向心力时，物体将做离心运动。
答案：见解析
二、注重学以致用和思维建模
如图甲是滚筒洗衣机滚筒的内部结构，内筒壁上有很多光滑的突起和小孔。洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，如图乙。a、b、c、d分别为一件小衣物(可理想化为质点)随滚筒转动过程中经过的四个位置，a为最高位置，c为最低位置，b、d与滚筒圆心等高。下面说法正确的是 ( )
A．衣物在四个位置加速度大小相等
B．衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的大
C．衣物转到a位置时的脱水效果最好
D．衣物在b位置受到的摩擦力和在d位置受到的摩擦力方向相反
解析：衣物做匀速圆周运动，角速度(或线速度)大小恒定，根据向心加速度a向＝ω2r可知衣物在四个位置加速度大小相等，A正确；衣物在a位置，在向心方向，根据牛顿第二定律Na＋mg＝mω2r，同理，在c位置Nc－mg＝mω2r，可知Na＜Nc，结合牛顿第三定律可知衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的小，B错误；衣物在c位置与滚筒壁的挤压作用最大，所以衣物转到c位置时的脱水效果最好，C错误；衣物做匀速圆周运动，合外力完全提供向心力，所以衣物在b位置和d位置受到的摩擦力和重力等大反向，所以衣物在b位置受到的摩擦力和在d位置受到的摩擦力方向相同，均竖直向上，D错误。
答案：A (共52张PPT)
第二节 向心力与向心加速度
核心素养点击
物理观念 (1)理解向心力和向心加速度的概念
(2)掌握向心力和向心加速度的计算方法
(3)准确认识向心力并能找出向心力
科学思维 能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力；通过实例认识向心力的作用及来源
科学探究 在“探究影响向心力大小的因素”实验过程中，熟悉控制变量法的应用，提高科学探究的能力
科学态度与责任 有主动将所学知识应用到日常生活的意识，能在合作中坚持自己的观点；能体会物理学技术应用对日常生活的影响
一、感受向心力
1．填一填
(1)向心力。
物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的 ，这个指向
的合外力称为向心力。
(2)作用效果。
向心力只改变物体线速度的 ，不改变线速度的 ，因此向心力不做功。
(3)来源。
向心力是根据力的 来命名的。它可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是某几个力的合力，或是某个力的分力。
圆心
圆心
方向
大小
作用效果
2．判一判
(1)做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力。 ( )
(2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力。 ( )
(3)向心力可以由某种性质的力来充当，是效果力。 ( )
3．选一选
关于向心力的说法中正确的是 ( )
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变做圆周运动的物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
×
×
√
解析：力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，故A项错误；向心力只改变物体速度的方向，不改变速度的大小，故B项正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C项错误；只有匀速圆周运动中合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，故D项错误。
答案：B
二、探究影响向心力大小的因素
1．填一填
(1)实验目的：探究做圆周运动的物体所需要的 与其质量m、转动半径r和转动角速度ω之间的关系。
(2)实验器材：向心力演示器(如图)，小球等。
向心力F
(3)探究过程。
①保持m、r相同，改变角速度ω，则ω越大，向心力F就 。
②保持m、ω相同，改变半径r，则r越大，向心力F就 。
③保持ω、r相同，改变质量m，则m越大，向心力F就 。
(4)结论。
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成 ，与半径成正比，与角速度的二次方成 。
(5)公式。
越大
越大
越大
正比
正比
mω2r
2．选一选
用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。某次实验如图所示，请回答相关问题：
(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时我们主要用到了物理学中研究方法是__________。
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．演绎法
(2)图中是在研究向心力的大小F与________的关系。
A．质量m B．角速度ω C．半径r
(3)若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶9，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为__________。
A．1∶9 B．3∶1
C．1∶3 D．1∶1
解析：(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方法为控制变量法。故选C。
(2)图中两球的质量相同，转动的半径相同，则研究的是向心力与角速度的关系。故选B。
(3)根据F＝mrω2，两球的向心力之比为1∶9，半径和质量相等，则转动的角速度之比为1∶3，因为靠皮带传动，变速塔轮的线速度大小相等，根据v＝rω，知与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为3∶1。故选B。
答案：(1)C (2)B (3)B
三、向心加速度
1．填一填
(1)定义。
由向心力产生的指向 的加速度称为向心加速度。
(2)物理意义。
描述线速度 改变的快慢。
(3)大小。
圆心
方向
ω2r
2．判一判
(1)匀速圆周运动是加速度不变的运动。 ( )
(2)向心加速度描述线速度大小变化的快慢。 ( )
(3)匀速圆周运动的物体所受合外力一定指向圆心。 ( )
3．想一想
(1)在匀速圆周运动中，物体的加速度等于向心加速度吗？加速度一定指向圆心吗？
提示：在匀速圆周运动中，物体的加速度等于向心加速度，加速度一定指向圆心。
(2)在变速圆周运动中，物体的加速度等于向心加速度吗？加速度一定指向圆心吗？
提示：在变速圆周运动中，物体的加速度不一定等于向心加速度，加速度不一定指向圆心，向心加速度指向圆心。
×
×
√
探究(一) 向心力来源的分析
[问题驱动]
如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速
圆周运动。
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
提示：小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心。
(2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？
[重难释解]
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。几种常见的实例如下：
实例 向心力 示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 若线的拉力为零，球的重力提供向心力，F＝G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F＝T
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F＝F合
续表
如图所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO′匀速转
动，下列关于小球受力的说法中正确的是 ( )
A．小球受到摩擦力、重力和弹力
B．小球受到重力和弹力
C．小球受到重力、弹力、向心力
D．小球受到重力、弹力、下滑力
解析：小球套在光滑轻杆上，没有受到摩擦力的作用，小球做圆周运动，受到重力和弹力作用，两个力的合力充当做圆周运动的向心力，故B正确。
答案：B
圆周运动向心力分析的三点注意
(1)向心力可能是物体受到的某一个力或某几个力的合力，也可能是某一个力的分力。
(2)物体做匀速圆周运动时，合外力一定是向心力，方向指向圆心，只改变速度的方向。
(3)物体做变速圆周运动时，合外力沿半径方向的分力充当向心力，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力改变速度的大小。
[素养训练]
1．物体做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 ( )
A．物体必须受到恒力的作用
B．物体所受合力必须等于零
C．物体所受合力的大小可能变化
D．物体所受合力的大小不变，方向不断改变
解析：物体做匀速圆周运动时，由合外力提供向心力，向心力的方向始终指向圆心，时刻改变，大小不变，故A、B、C错误，D正确。
答案：D
2．(2022·珠海学考检测)如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心
O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它
随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说
法中正确的是 ( )
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析：由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，由于没有发生相对滑动，所以其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。C正确。
答案：C
探究(二) 探究向心力大小的表达式
[重难释解]
1．实验仪器
2．实验原理及探究方法
(1)实验原理。
匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套筒里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。
(2)探究方法——控制变量法。
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与质量m的关系
3.实验步骤
(1)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样。探究向心力的大小与角速度的关系。
(2)保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与轨道半径的关系。
(3)换成质量不同的小球，分别使两小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
(4)重复几次以上实验。
4．数据处理
(1)m、r一定。
(2)m、ω一定。
序号 1 2 3 4 5 6
F向
ω
ω2
序号 1 2 3 4 5 6
F向
r
(3)r、ω一定。
(4)分别作出F向ω2、F向r、F向m的图像。
5．实验结论
(1)在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。
(3)在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
序号 1 2 3 4 5 6
F向
m
用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)图示情景正在探究的是________。
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(2)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
解析：(1)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力的大小与质量之间的关系，所以D选项是正确的。
(2)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以C选项是正确的。
答案：(1)D (2)C
[素养训练]
1．如图所示，图甲为“用向心力演示器探究向心力公式”的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。a、b两轮在皮带的带动下匀速转动。
(1)两槽转动的角速度ωA__________ωB。(选填“>”“＝”或“<”)。
(2)现有两质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。则钢球①、②的线速度之比为________；受到的向心力之比为________。
解析： (1)因两轮a、b转动的角速度相同，而两槽的角速度与两轮角速度相同，则两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。
(2)钢球①、②的角速度相同，运动轨道半径之比为2∶1，则根据v＝ωr可知，线速度之比为2∶1；根据F＝mω2r可知，受到的向心力之比为2∶1。
答案：(1)＝ (2)2∶1 2∶1
2．在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图甲所示。图乙是演示器部分原理示意图：皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.5倍，轮③的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的1.5倍，轮④的半径是轮⑥的2倍；两转臂上黑白格的长度相等；A、B、C为三根固定在转臂上的挡板，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力。图甲中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。可供选择的实验球有：质量均为2m的球1和球2，质量为m的球3。
(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，我们主要用到了物理学中的________。
A．等效替代法 B．控制变量法
C．理想实验法 D．转化法
(2)实验时将球1、球2分别放在挡板A、C位置，将皮带与轮②和轮⑤连接，转动手柄观察左右两个标尺，此过程是验证向心力的大小与________的关系。
(3)实验时将皮带与轮③和轮⑥相连，将球2、3分别放在挡板B、C位置，转动手柄，则标尺1和标尺2显示的向心力之比为________。
答案：(1)B (2)角速度 (3)1∶4
探究(三) 向心加速度的理解及应用
[问题驱动]
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向。
提示：地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
提示：由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
提示：由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
[重难释解]
1．对向心加速度的理解
(1)向心加速度是矢量，方向总指向圆心，始终与线速度方向垂直，故向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。向心加速度的大小表示线速度方向改变的快慢。
(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算。要注意的是，变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某一时刻的向心加速度，此时必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算。
(3)向心加速度公式中的物理量v和r，严格地说，v是相对于圆心的速度，r是物体运动轨迹的曲率半径。
“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为 ( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100π rad/s，由向心加速度a＝ω2r≈
1 000 m/s2，C正确。
答案：C
如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则 ( )
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
[素养训练]
1. (2022·广东1月学考)如图所示，a、b是伞面上的两颗相同的雨滴。当以伞柄为轴旋转雨伞时，下列说法正确的是 ( )
A．a更容易移动，因为a所需的向心加速度更小
B．a更容易移动，因为a所需的向心加速度更大
C．b更容易移动，因为b所需的向心加速度更小
D．b更容易移动，因为b所需的向心加速度更大
解析：因为当雨滴随雨伞一起绕伞柄转动时，需要的向心加速度为an＝ω2r，可以看出半径越大，所需向心加速度越大，更容易发生移动，因为b的半径大于a的半径，故b更容易移动，D正确。
答案：D
2. [多选]如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点) ( )
A．线速度大小之比为5∶4
B．周期之比为5∶4
C．向心加速度大小之比为4∶5
D．受到的合力大小之比为15∶14
一、培养创新意识和创新思维
1．[多选]如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆动过程中 ( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P点的角速度等于Q点的角速度
C．P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D．P、Q两点的线速度方向相反
解析：根据同轴转动角速度相等知P、Q两点的角速度大小相同，故B正确；根据v＝ωr知P点半径大，线速度较大，故A错误；根据a＝ω2r知P点半径大，向心加速度较大，故C错误；P、Q两点的线速度均与杆垂直，方向相反，选项D正确。
答案：BD
2．某创新小组在“验证向心力的表达式”实验中，设计了如图甲所示的实验装置。图乙为该装置的结构示意图，其顶端为力的传感器，横杆可绕支点自由转动，支点处的刻度值为0。横杆右侧的挡光条经过光电门时，光电门可记录挡光时间。
(1)下列做法能更有效提高实验精度的是________；
A．小物块的材质密度应适当大些
B．挡光条的宽度应适当小些
C．转动横杆的滑槽应当尽可能光滑
D．应调节挡光条与小物块的左端刻度相互对称
(2)若已知小物块质量为m，挡光条宽度为D，其所在的刻度值为L，光电门记录时间为Δt，力传感器显示的示数为F。试利用上述物理量写出探究小组需要验证的表达式为F＝________；
(3)该小组验证(2)中的表达式时，经多次实验，发现示数F的测量值总是略小于其理论值，经分析检查，仪器正常，操作和读数均没有问题。则造成这一结果可能的原因是______________________________________________________________
___________________________________________________(至少写出一个原因)。
(3)经多次实验，发现示数F的测量值总是略小于其理论值，经分析检查，仪器正常，操作和读数均没有问题。则造成这一结果可能的原因是滑槽和滑轮存在摩擦力；把小物块看成质点，小物块到支点距离偏小。
二、注重学以致用和思维建模
1．(2023·广东1月学考)如图所示，静止在圆盘上的小物块随圆盘在水平面内一起做匀速转动。则物块所受摩擦力( )
A．大小与转速无关
B．大小与其距转轴的距离无关
C．大小等于物块所需的向心力
D．方向沿圆盘半径向外
解析：物块所受的摩擦力提供小物块做圆周运动的向心力，方向指向圆心，根据向心力公式F＝mω2r＝m(2πn)2r，其中n是转速，r是距转轴的距离；可知摩擦力的大小与转速的平方成正比，与距转轴的距离成正比。故选C。
答案：C
2．“辽宁舰”质量约为m＝6×107 kg，如图是“辽宁舰”在海上转弯时的照片，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动，速度大小为20 m/s，圆周运动的半径为1 000 m，下列说法中正确的是 ( )
A．在A点时水对舰的合力指向圆心
B．在A点时水对舰的合力大小约为F＝6.0×108 N
C．在A点时水对舰的合力大小约为F＝2.4×106 N
D．在A点时水对舰的合力大小为0(共25张PPT)
习题课一 圆周运动的两种模型和临界问题
综合提能(一) 竖直平面内圆周运动的两种模型
[知识贯通]
1．模型建立
在竖直平面内做圆周运动的物体，根据其受力特点可分为两类：
(1)“轻绳模型”(无支撑)。
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻绳模型”。
(2)“轻杆模型”(有支撑)。
小球在轻杆作用下在竖直平面内做圆周运动，如图丙所示；小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图丁所示，都称为“轻杆模型”。
2．两种模型对比
续表
[典例1] 一根长为0.8 m的绳子，当受到7.84 N的拉力时被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小(取g＝9.8 m/s2)。
(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是由沿半径方向指向圆心的合力提供向心力。
(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。
[典例2]长L＝0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量m＝
2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用力：(取g＝10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s。
(2)A的速率为4 m/s。
解答竖直平面内物体的圆周运动问题的两个关键
(1)确定是属于“轻绳模型”，还是“轻杆模型”；
(2)注意区分两者在最高点的最小速度的要求，区分绳与杆的施力特点。
2．如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为 ( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
3．[多选]如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是 ( )
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下
B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上
D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力
综合提能(二) 圆周运动的临界问题
[知识贯通]
圆周运动的临界问题，主要涉及临界速度与临界力的问题，常常与绳的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关。在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度等，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。常见情况有以下几种：
(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题。
①绳子断与不断的临界条件：绳中张力等于它所能承受的最大张力；
②绳子松弛的临界条件：绳子的张力F＝0。
(2)因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题。
相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
(3)与接触面有关的圆周运动临界问题。
接触与脱离的临界条件：弹力FN＝0。
[典例3] 如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？(g取10 m/s2)
解析：两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。
(1)BC恰好拉直，但拉力T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有Fx＝T1sin 30°＝mω12Lsin 30°，
Fy＝T1cos 30°－mg＝0，联立解得ω1≈2.40 rad/s。
(2)AC由拉紧变为恰好拉直，则T1为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx＝T2sin 45°＝mω22Lsin 30°，
Fy＝T2cos 45°－mg＝0，
联立解得ω2≈3.16 rad/s，
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
答案：2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
[典例4] 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
[典例5]如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
2．一质量为2．0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的
径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道
时，下列判断正确的是 ( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时，所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时，汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
3. 如图所示，内壁光滑的竖直圆桶绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则 ( )
A．绳的拉力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力一定增大
D．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力仍保持不变
解析：由于桶的内壁光滑，所以桶不能提供给物块竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于零，故A错误。绳子沿竖直方向的分力与物块重力大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力为零，故B错误。由题图可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，所以绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大，故C错误，D正确。
答案：D
