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2023-2024学年七年级数学下学期第一次月考卷02
能力提升培优测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列计算中，①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知与是邻补角，是的邻补角，那么与的关系是（ ）
A．对顶角 B．相等但不是对顶角
C．邻补角 D．互补但不是邻补角
4．如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条a，b、c在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
5．若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．用图中所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类、C类卡片的张数分别是（ ）
A．5、6、2 B．6、7、3 C．6、7、2 D．5、7、3
7．若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（ ）
A．等于 B．大于而小于
C．不大于 D．小于
8．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A．，-7 B．，7 C．2，-7 D．2，7
9．下列命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；
④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知与互为邻补角，且．平分，射线使，当时，则的度数为（本题中所有角都是指大于且小于的角）（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
11．多项式加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，则满足条件的单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（），已知1纳秒秒，该计算机完成16次基本运算需要时间是（用科学记数法表示） ．
14．已知，，则的值为 ．
15．将一条两边互相平行的纸带折叠（如图），若，则 度．
16．如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是 （填序号）．
17．如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
18．将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为和．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．当长度不变而变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，与的差总保持不变，则a，b满足的关系是 ．
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算：
(1)
(2)（用整式乘法公式计算）
20．先化简，再求值：其中．．
21．（1）已知，，m，n为正整数，求的值．
（2）已知，求的值．
22．如图，已知，．
(1)与平行吗？请说明理由．
(2)若平分，于点A，，求的度数．
23．如图，直线与相交于点O，是的平分线，于点O，于点O．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
24．（1）如图，请你根据图中的信息，把小船ABCD通过平移后到的位置，画出平移后小船的位置．
（2）尺规作图（保留作图痕迹，不写做法）如图，C是∠AOB的边OB上一点．
①过C点作直线EF∥OA；
②请说明EF∥OA的依据．
25．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：；
【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
(1)用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
(2)由(1)可得到一个关于、、的等量关系式是 ；
(3)若，，则 ；
【知识迁移】
(4)如图，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是 ．
26．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空： ；
(2)如图2，
①若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯A射线到达之前，设灯A转动t秒，则 ， ；（用含t的式子表示）
②若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒，当，求t的值．
(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
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能力提升培优测
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B A C B C C A B A C B
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13． 14．5 15．
16．①③/③① 17．/68度 18．
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
21．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，
∴．
22．
【详解】（1）与平行，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
23．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
24．
【详解】（1） 如图所示：
；
（2） ①如图所示，直线EF即为所求．
②由作图知可根据SSS证明全等，而得到∠ECB=∠O，
∴EF∥OA（同位角相等，两直线平行）．
25．
【详解】（1）解：方法1：，方法2：，
（2）解：，
（3）解：∵，，
∴ ，
故答案为：．
（4）解：阴影部分面积等于
，
，，
∴，
∴阴影部分面积等于．
故答案为：4．
26．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：①设灯A转动t秒，
则， ，
②当时，如图，
若，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上所述：当或时，亮灯的光束平行；
（3）解：如图3：
不发生变化，，理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵，
∴，
又∵，
∴，而，
∴，
∴，
即．
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2023-2024学年七年级数学下学期第一次月考卷02
能力提升培优测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．下列计算中，①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：，①错误；
，②正确；
，③错误；
，④错误．
故选A．
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平方差公式：，根据平方差公式逐项分析即可．
【详解】A. ，故能够用平方差公式计算；
B. 不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算；
C.，故能够用平方差公式计算；
D. ，故能够用平方差公式计算；
故选B．
3．已知与是邻补角，是的邻补角，那么与的关系是（ ）
A．对顶角 B．相等但不是对顶角 C．邻补角 D．互补但不是邻补角
【答案】A
【分析】根据对顶角、邻补角的概念进行判断即可．
【详解】解：∵∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，
∴∠1与∠3是对顶角，
故选：A．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握概念是解题的关键．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
4．如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条a，b、c在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定，利用平行线的判定定理进行分析即可，解题的关键是熟记平行线的判定定理．
【详解】解：∵与属于同位角，
∴当时，，
∴．
故选：C．
5．若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数的大小比较，平方差公式，积的乘方，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
故选：B．
6．用图中所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类、C类卡片的张数分别是（ ）
A．5、6、2 B．6、7、3 C．6、7、2 D．5、7、3
【答案】C
【分析】本题考查多项式的乘法的应用．根据长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵ 长方形长为，宽为，
∴长方形的面积：，
∴需要A类，B类、C类卡片的张数分别是6、7、2张．
故选：C．
7．若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（ ）
A．等于 B．大于而小于
C．不大于 D．小于
【答案】C
【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长．
【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线L的距离不能超过的长．
故选：C．
8．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A．， B．，7 C．2， D．2，7
【答案】A
【分析】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
9．下列命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；
④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；
④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是真命题；
⑤垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，
故选：B．
10．已知与互为邻补角，且．平分，射线使，当时，则的度数为（本题中所有角都是指大于且小于的角）（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了角度之间的和差关系，解题的关键是掌握角平分线的定义，邻补角的定义．
先根据题意得出，则，再进行分类讨论：①当再内部时，②当再外部时．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵与互为邻补角，
∴，
①当再内部时，
∵，，
∴，
解得：，
∴；
②当再外部时，
∵，
∴，
∴；
综上：的度数为或，
故选：A．
11．多项式加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，则满足条件的单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．根据完全平方式的特征进行分类讨论：当和1为首项和尾项时，当为中间项时，当1为中间项时，即可解答．
【详解】解：设满足条件的单项式为a，
当和1为首项和尾项时：，均为完全平方式，
∴；
当为中间项时，是完全平方式，
∴；
当1为中间项时，，
∴，不是整式，不符合题意，舍去，
综上：满足条件的单项式有3个，
故选：C．
12．下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质；①过点作直线 ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图，先根据三角形外角的性质得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图，过点作直线 ，由平行线的性质可得出，即得；④如图，根据平行线的性质得出，，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图，过点作直线，
，
，
，，
，
，
故①错误；
②如图，
是的外角，
，
，
，
即，
故②正确；
③如图，过点作直线，
，
，
，，
，
即，
故③错误；
④如图，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上结论正确的个数为，
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（），已知1纳秒秒，该计算机完成16次基本运算需要时间是（用科学记数法表示） ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；根据题意列式计算，并用科学记数法表示即可．
【详解】，
故答案为：．
14．已知，，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：5．
15．将一条两边互相平行的纸带折叠（如图），若，则 度．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，现根据对顶角得到，然后利用平行线得到，然后根据折叠得到，最后利用平角的定义得到的度数即可解题．
【详解】∵将一条两边互相平行的纸带折叠（如图），
∴，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
16．如图，是直线上一动点，，是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是 （填序号）．
【答案】①③/③①
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
【详解】解：∵直线，
∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确；
∵，的长随点P的移动而变化，
∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误；
∵点到直线的距离不变，的长度不变，
∴③的面积不会随点的移动而变化；
综上，不会随点的移动而变化的是①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．
17．如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
【答案】/68度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为和．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．当长度不变而变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，与的差总保持不变，则a，b满足的关系是 ．
【答案】
【分析】此题考查了整式的乘法运算的应用，弄清题意是解本题的关键．设的长为x，则宽为，的长为y，则宽为，表示与，求出它们的差，根据它们的差与与无关即可求出a与b的关系式．
【详解】解：设的长为x，则宽为，的长为y，则宽为，
则，，，
∵，
∴，
与的差，
∵与的差总保持不变，
∴，
即．
故答案为：．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)（用整式乘法公式计算）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，积的乘方的逆运算计算各项，再进行加法运算即可得到答案；
（2）可以化为，利用平方差公式进行运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
20．先化简，再求值：其中．．
【答案】，
【分析】题目主要考查整式的乘法运算及化简求值，利用平方差公式及整式的乘法先化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
21．（1）已知，，m，n为正整数，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）（2）1
【分析】本题考查了幂的运算，根据已知，选择适当的公式及其公式的逆运算是解题的关键．
（1）根据幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算解答即可．
（2）根据，结合，计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，
∴．
22．如图，已知，．
(1)与平行吗？请说明理由．
(2)若平分，于点A，，求的度数．
【答案】(1)与平行，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，两直线垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由可得，进一步可推得；
（2）由角平分线的定义可得，结合（1）的结论可推得，根据两直线垂直的定义可得，由此即得答案．
【详解】（1）与平行，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
23．如图，直线与相交于点O，是的平分线，于点O，于点O．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由垂线的定义得到，再由对顶角相等得到，则；
（2）设，则，由垂线的定义得到，则，同理得，则，进而得到，解方程求出，再由角平分线的定义即可得到．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．（1）如图，请你根据图中的信息，把小船ABCD通过平移后到的位置，画出平移后小船的位置．
（2）尺规作图（保留作图痕迹，不写做法）如图，C是∠AOB的边OB上一点．
①过C点作直线EF∥OA；
②请说明EF∥OA的依据．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】根据小旗的位置可得图形应向上平移1个单位，再向左平移9个单位，由此找出A、B、C、D四点平移后的位置，再连接即可．
①以点C为顶点，作一个角等于∠O，据此可得；
②根据同位角相等两直线平行可得．
【详解】（1） 如图所示：
；
（2） ①如图所示，直线EF即为所求．
②由作图知可根据SSS证明全等，而得到∠ECB=∠O，
∴EF∥OA（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图和平行线的判定．
25．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：；
【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
(1)用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ；
(2)由(1)可得到一个关于、、的等量关系式是 ；
(3)若，，则 ；
【知识迁移】
(4)如图，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；
（2）根据两种方法得到的面积相等列出等式；
（3）根据完全平方公式变形求值即可求解．
（4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】（1）解：方法1：，方法2：，
（2）解：，
（3）解：∵，，
∴ ，
故答案为：．
（4）解：阴影部分面积等于
，
，，
∴，
∴阴影部分面积等于．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
26．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空： ；
(2)如图2，
①若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯A射线到达之前，设灯A转动t秒，则 ， ；（用含t的式子表示）
②若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒，当，求t的值．
(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，；②或；
(3)不发生变化，，详见解析
【分析】（1）根据邻补角的性质，结合的条件求出度数即可；
（2）第一小空根据图形求出度数，第二小空根据平行线的性质即可得出答案；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，求出两角之间的关系即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：①设灯A转动t秒，
则， ，
②当时，如图，
若，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上所述：当或时，亮灯的光束平行；
（3）解：如图3：
不发生变化，，理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵，
∴，
又∵，
∴，而，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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