7.4 宇宙航行（多星问题及拉格朗日点）导学案 高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

第七单元第4节宇宙航行：多星问题及拉格朗日点
双星系统问题
宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星
双星系统特点
1．两颗星都做匀速圆周运动，且与旋转中心总在同一直线上
2．F向、ω、T均相等
轨道半径之和等于双星间距离
3．半径之比等于质量反比，即质量大的半径小
4．注意：引力距离与轨道半径的区别
三星系统问题
1．三星系统——“二绕一”
三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，则：ω、T均相等
2．三星系统——“三角形”
三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同，设每个星体质量均为m
其中
题型五：四星系统问题
1．正方形：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
2．三角形：有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动
题型六：拉格朗日点
一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止
【例1】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
【例2】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互作用的万有引力作用下绕二者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为（　　）
A． B．
C． D．
【例3】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者的连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．
【例4】如图所示，科学家设想在拉格朗日点L建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，拉格朗日点L位于地球和月球连线上，处在该点的空间站在地球和月亮引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．以v1、ω1、a1分别表示近地卫星的线速度、角速度、向心加速度的大小，以v2、ω2，a2分别表示该空间站的线速度、角速度、向心加速度的大小，以v3、ω3、a3分别表示月亮的线速度、角速度、向心加速度的大小．则正确的是（　　）
A．v1＞v3＞v2 B．ω1＞ω2＝ω3
C．a1＞a2＞a3 D．a1＞a3＞a2
1．2017年10月16日晚，全球天文学界联合发布一项重大发现：人类首次直接探测到了双中子星并合产生的引力波及其伴随的电磁信号。从此在浩淼的宇宙面前，人类终于耳聪目明了。如图所示为某双中子星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径小于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动角速度为ω。则（　　）
A．A星的质量一定大于B星的质量
B．双星总质量M一定时，L越大，ω越大
C．A星运转所需的向心力大于B星所需的向心力
D．A星运转的线速度大小等于B星运转的线速度大小
2．2019年1月3日.“嫦娥四号”探测器成功降落在月球背面，为了给“嫦娥四号”探测器着陆月球背面提供通信支持，发射“鹊桥”号卫星位于地月系统的一个拉格朗日点上，如图所示，若“鹊桥”号卫星和月球以相同角速绕地球匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．“鹊桥”号卫星的向心加速度大于月球的向心加速度
B．“鹊桥”号卫星的线速度小于月球的线速度
C．“鹊桥”号卫星受到的地球和月球引力的合力提供其做圆周运动的向心力
D．若“鹊桥”号卫星点火加速，则可以降落到月球表面
3．两星球a和b的质量之比约为1：60，若a和b可视为双星系统，它们都围绕两星球连线上某点O做匀速圆周运动，则可知a与b绕O点运动的线速度大小之比约为（　　）
A．1：3600 B．1：60 C．60：1 D．3600：1
4．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的OA点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：1，则可知（　　）
A．m1对m2的万有引力大于m2对m1的万有引力
B．m2做圆周运动的半径为
C．m1、m2做圆周运动的角速度之比为1：1
D．m1、m2做圆周运动的线速度之比为1：3
5．宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，这双星系统中两颗恒星的质量关系正确的是（　　）
A．这两颗恒星的质量必定相等
B．这两颗恒星的质量之和为
C．这两颗恒星的质量之比为m1：m2＝R2：R1
D．其中必有一颗恒星的质量为
6．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（　　）
A．环绕星运动的线速度为
B．环绕星运动的线速度为
C．环绕星运动的周期为
D．环绕星运动的周期为
7．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G．关于四星系统，下列说法正确的是（　　）
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为G
D．四颗星的周期均为
8．如图，地球与月球可以看作双星系统，它们均绕连线上的C点转动在该系统的转动，平面内有两个拉格朗日点L2、L4（位于这两个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C点做匀速圆周运动，并保持与地球月球相对位置不变），L2点在地月连线的延长线上，L4点与地球球心、月球球心的连线构成一个等边三角形。我国已发射的“鹊桥”中继卫星位于L2点附近，它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。假设L4点有一颗监测卫星，“鹊桥”中继卫星视为在L2点。已知地球的质量为月球的81倍，则（　　）
A．地球和月球对监测卫星的引力之比为81：1
B．地球球心和月球球心到C点的距离之比为1：9
C．监测卫星绕C点运行的加速度比月球的大
D．监测卫星绕C点运行的周期比“鹊桥”中继卫星的大
9．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星，若已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为L，引力常量为G，则由以上条件一定可以得出的物理量有（　　）
A．两颗恒星运行的轨道半径
B．两颗恒星绕该固定点做圆周运动的角速度
C．两颗恒星运行的线速度大小
D．两颗恒星各自的质量
10．宇宙中两颗靠得比较近的星球，只受到彼此之间的万有引力作用绕两球心连线上某点绕转，称之为双星系统。设某双星系统中A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动。若A、B的质量分别为M、m，则（　　）
A．星球A与星球B的轨道半径之比为M：m
B．星球A与星球B的线速度大小之比为m：M
C．星球A与星球B的周期大小之比为m：M
D．若两星球间距离减小，则星球A做匀速圆周运动的周期变大