2023-2024学年江苏省苏州市星海实验初中九年级（下）期初数学调研试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市星海实验初中九年级（下）调研试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据：，，，，，这组数据的中位数和众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是
( )
A. B.
C. D.
3.在直角坐标系中，点的坐标是，圆的半径为，下列说法正确的是
( )
A. 与轴、轴都有两个公共点
B. 与轴、轴都没有公共点
C. 与轴有一个公共点，与轴有两个公共点
D. 与轴有两个公共点，与轴有一个公共点
4.已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
5.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )
A. B. C. D.
6.若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为
( )
A. B. C. D.
7.如图，过外一点引的两条切线、，切点分别是、，交于点，点是优弧上不与点、点重合的一个动点，连接、，若，则的度数为
( )
A. B. C. D.
8.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；当时，随的增大而增大；一元二次方程的两根分别为，；若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知，则的值为 ．
10.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有 个．
11.在中，，，则 ．
12.已知一组数据的方差，则的值为 ．
13.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
14.若线段，点是线段的一个黄金分割点，则的长为 结果保留根号．
15.函数在有最小值，则实数的值是 ．
16.在正方形中，，点是边上一动点不与点、重合，连接，过点作，垂足为，点在线段上，且满足，连接，则的最小值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.解方程：
18.计算：．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
写出的外心坐标 ；
将绕原点顺时针方向旋转得到，画出；
在的基础上，求旋转路径的长度及扫过的区域面积．
20.本小题分
某校在课后服务中，成立了以下社团：计算机，围棋，篮球，书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中所占扇形的圆心角为．
请结合图中所给信息解答下列问题：
这次被调查的学生共有 人；
请你将条形统计图补充完整；
若该校共有学生加入了社团，请你估计这名学生中有 名学生参加了篮球社团；
在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
21.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
若等腰三角形的三边长分别为，，，其中，并且，恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
22.本小题分
如图，已知抛物线经过点．
求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
当时，的取值范围是 ．
23.本小题分
如图，图，是一款家用的垃圾桶，踏板与地面平行或绕定点固定在垃圾桶底部的某一位置上下转动转动过程中始终保持，通过向下踩踏点到与地面接触点使点上升到点，与此同时传动杆运动到的位置，点绕固定点旋转为旋转半径至点，从而使桶盖打开一个张角如图，桶盖打开后，传动杆所在的直线分别与水平直线、垂直，垂足为点、，设测得，，，要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少？结果精确到参考数据：．
24.本小题分
为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：当每平方米种植株番茄时，平均单株产量为千克；在每平方米种植的株数不超过的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加株，平均单株产量减少千克．
求平均单株产量千克与每平方米种植的株数为整数，且之间的函数关系式；
已知学校劳动基地共有平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
25.本小题分
如图，在矩形中，，、分别为、边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点落在上，交于点，连接交于点．
求证：；
连接，若，，求的长．
26.本小题分
如图，点是直径延长线上的点，点在圆上，且，，延长至点，使，过点作于点，交于点．
求证：与相切；
求的值．
27.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．
抛物线解析式为 ；
若点为轴下方抛物线上一动点，轴交于点，当点运动到某一位置时，线段的长度最大，求此时点的坐标及线段的长度；
如图，以为圆心、为半径的与轴交于、两点在右侧，若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使、、三点为逆时针顺序，连接，求长度的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、、，
所以这组数据的中位数为，众数为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到的解析式为：，
再向上平移个单位长度，得到的解析式为：，
故所得抛物线相应的函数表达式是：．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，圆的半径为，
以为圆心，以为半径的圆与轴的位置关系是相交，与轴的位置关系是相切，
该圆与轴的交点有个，与轴的交点有个．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
对称轴是直线，
即二次函数的开口向上，对称轴是直线，
即在对称轴的右侧随的增大而增大，
点关于直线的对称点是，点关于直线的对称点是，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
根据题意，画出示意图，易得：∽，进而可得；即，代入数据可得答案．
【解答】
解：根据题意得：
树高为，且，，，
，
，
∽，
，
即，
，，
，
；
故选B
6.【答案】
【解析】解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
所以必有一根为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解；如图，连接、．
、是的切线，
由四边形的内角和定理，得
，
，，，
．
，故选：．
8.【答案】
【解析】解：抛物线与轴交于点，其对称轴为直线
抛物线与轴交于点和，且
由图象知：，，
，故结论正确；
抛物线与轴交于点
，
，故结论正确；
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论错误；
，
抛物线与轴交于点和
的两根是和
，
即为：，解得，；，故结论正确；
抛物线与轴交于点和，
，为方程的两个根
，为方程的两个根
，为函数与直线的两个交点的横坐标结合图象得：且，故结论错误；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：设，则，，
所以，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，总的可能有：，，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：设为，则，
由勾股定理得，，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：由题意知，这组数据为，，，，，其平均数为，
则，
，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：根据黄金分割点的概念和，得：．
故本题答案为：．
15.【答案】或
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得；
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得不合题意，舍去；
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得，舍去，
综上，实数的值是或，
故答案为：或．
16.【答案】
【解析】解：作的外接，连接、、、，在优弧上取点，连接、，过作，与的延长线交于点，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当、、三点依次在同一直线上时，的值最小，
故AF的最小值为：，
故答案为：．
17.【答案】解：
，

【解析】见答案
18.【答案】
．

【解析】见答案
19.【答案】【小题】
【小题】
如图，即为所求．
【小题】
，
点旋转路径的长度为．
扫过的区域面积

【解析】
解：如图，分别作线段、、的垂直平分线，相交于点，
可得点的坐标为．
的外心坐标为．
见答案
见答案
20.【答案】【小题】
【小题】
组人数为：人，
故补充条形统计图如图：
【小题】
【小题】
设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
．

【解析】
解：所占扇形的圆心角为，
这次被调查的学生共有：人；
故答案为：．
见答案

人，
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
见答案
21.【答案】【小题】
证明：，
，即，
无论取任何实数，方程总有实数根；
【小题】
解：当时，，方程为，
解得：，
此时三边长为，，，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，，
此时三边长为，，，不能组成三角形，
综上所述，的周长为．

【解析】 见答案
见答案
22.【答案】【小题】
解：把代入得：
，
解得，
，
抛物线的顶点坐标为；
【小题】
或

【解析】 见答案

，
抛物线开口向下，有最大值，
当时，，，
当时，的取值范围是或．
23.【答案】解：过点作，垂足为点，如图，在中，若，
则，
，
由题意得：，
．
，，
∽，
，
．
桶盖张开的角度不小于，
．
的最小值为，
即踏板离地面的高度至少等于；
故答案为：；

【解析】见答案
24.【答案】【小题】
解：每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克，
，
关于的函数表达式为，，且为整数；
【小题】
设每平方米番茄产量为千克，
根据题意得：，
，为整数，
当时，取最大值，最大值为，
千克，
答：每平方米种植株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为千克．

【解析】 见答案
见答案
25.【答案】【小题】
证明：过作于，如图所示：
则，四边形是矩形，
，，
由题知得：，
，
，
四边形是矩形，
，，
∽，
，
；
【小题】
解：过作，交的延长线于，如图所示：
由折叠的性质得：，，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或舍去，
，，
，
，
．


【解析】 见答案
见答案
26.【答案】【小题】
证明：连接
且
∽
则：与相切；
【小题】
作交的延长线于，如图所示：
，
，
，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，
设，则，，，
由题知，
，
，
∽，
设，则，，，

【解析】 见答案
见答案
27.【答案】【小题】
【小题】
当时，解得：，，
，
直线的解析式为：，
设，则为，
，
当运动到时，线段的长度最大为；
【小题】
，，
，
将点绕点顺时针旋转到，连接，，，
，，
，
，，
≌，
，
，
，
在以为圆心，为半径的圆上运动，
，，
；
，
，
，
的最大值为，的最小值为，
．

【解析】
解：直线：，
时，，
，时，解得：，
，
抛物线经过，两点，
，解得：
抛物线解析式为，
故答案为：；
见答案
见答案
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