上海市杨浦区08-09学年第二学期4月高三学科测试—数学（文）(请选择....)

上海市杨浦区2008-2009学年度第二学期高三学科测试
数学文科试卷　2009.4
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意：
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．
1．直线的倾斜角为 ．
2．已知全集，集合，，则= ．
3．若复数满足(其中是虚数单位)，则= ．
4．二项式展开式中系数的值是 ．
5．高三（1）班班委会由3名男生和2名女生组成，现从中任选
2人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女
生的概率是 ．
6．如果某音叉发出的声波可以用函数
描述，那么音叉声波的频率是 赫兹．
7．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，
则实数的值是 ．
8．方程的解是 ．
9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第
3项的值是 ．
10. 若经过点P（－1，0）的直线与圆
相切，则此直线的方程是 .
11．计算：= .
12．在△中，，，是边的中点，则的值是 .
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．
13．线性方程组的增广矩阵是………………………………………………（ ）．
A． B． C． D．
14．在直角坐标系中，已知△的顶点和，顶点在椭圆
上，则的值是…………………………………………………………………（ ）．
A． B． C．2 D．4
15．以依次表示方程的根，则的大小顺
序为…………………………………………………………………………………………（ ）．
A． B． C． D．
16．如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同，
而另一个不同的两个几何体是……………………………………………………………（ ）．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（4）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.
17．(本题满分12分)
动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
已知某圆锥的体积是cm3，底面半径等于3cm．
（1）求该圆锥的高；
（2）求该圆锥的侧面积．
19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知等差数列和等比数列的通项公式分别为、，（其中）．
（1）求数列前项的和；
（2）求数列各项的和；
（3）设数列满足，求数列前项的和．
20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.
已知为实数，函数，（）．
（1）若，试求的取值范围；
（2）若，求函数的最小值．
21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.
已知是抛物线上的相异两点．
（1）设过点且斜率为(1的直线，与过点且斜率1的直线相交于点P(4，4)，求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线(，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线相交于圆锥曲线(上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）线段AB（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点．若，试用 表示线段AB中点的横坐标．
上海市杨浦区2008学年度第二学期高三学科测试
数学文理科试卷参考答案与评分标准2009.4
说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.
4. 给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
1．； 2．； 3．； 4．； 5．（理）元；（文）0.7；
6．（理）； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4．
8．（理）； （文）
9．； 10．（理）； （文）方程为．
11．（理）； （文）； 12．12．
13——16：A； C ； C； 理B文A
17．设熊猫居室的总面积为平方米，由题意得：．… 6分
解法1：，因为，而当时，取得最大值75． 10分
所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分
解法2：=75，当且仅当，即时，取得最大值75． …… 10分
所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分
18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、． ……2分
设平面的法向量为，则，．
因为，， ……3分
，，
所以解得，取，得平面一个法向量，且． ……5分
（1）在平面取一点，可得，于是顶点到平面的距离，所以顶点到平面的距离为， ……8分
（2）因为平面的一个法向量为，设与的夹角为(，则
， ……12分
结合图形可判断得二面角是一个锐角，它的大小为．……14分

文：（1）圆锥底面积为 cm2， ……1分
设圆锥高为cm，由体积， ……5分
由cm3得cm； ……8分
（2）母线长cm， ……9分
设底面周长为，则该圆锥的侧面积=， ……12分
所以该圆锥的侧面积=cm2． ……14分
19．（理）（1）； ……3分
（2）当时，（）
， ……6分
所以，（）． ……8分
（3）与（2）同理可求得：， ……10分
设=，
则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得
，所以
． ……14分
（文）（1）设数列前项和为，则． ……3分
（2）公比，所以由无穷等比数列各项的和公式得：
数列各项的和为=1． ……7分
（3）设数列的前项和为，当为奇数时，=
； ……11分
当为偶数时，=． ……14分
即． ……15分
20．（1）即，又，2分
所以，从而的取值范围是． ……5分
（2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，8分
由解得，所以当时，函数的最小值是； ……11分
下面求当时，函数的最小值．
当时，，函数在上为减函数．所以函数的最小值为．
[当时，函数在上为减函数的证明：任取，，因为，，所以，，由单调性的定义函数在上为减函数．]
于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值． ……15分
21．（1）由解得；由解得．
由点斜式写出两条直线的方程，，
所以直线AB的斜率为． ……4分
（2）推广的评分要求分三层
一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）
例：1．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为(1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率；
2．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为(k 1的直线，与过点且斜率为k的直线相交于抛物线上的一点P（4，4），求直线AB的斜率；
3．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为(1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率； AB的斜率的值．
二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）
例：4．已知点(是抛物线上的定点．过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）
例如：5.已知抛物线上有一定点P，过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
过点P（），斜率互为相反数的直线可设为，，其中。
由得，所以
同理，把上式中换成得，所以
当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为。
（3）（理）点，设，则．
设线段的中点是，斜率为，则=．12分
所以线段的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，于是． ……13分
(斜率，则--------------------------------13分)
线段所在直线的方程为， ……14分
代入，整理得 ……15分
，。设线段长为，则
=
……16分
因为，所以 ……18分
即：．（）
（文）设，则． ……13分
设线段的中点是，斜率为，则=，……15分
线段的垂直平分线的方程为， ……17分
又点在直线上，所以，
而，于是．故线段AB中点的横坐标为． ……18分