来凤中学高2025届2023-2024学年下学期第一次月考
一、单选题
1. 一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A. 3种 B. 504种 C. 24种 D. 12种
【答案】C
【解析】
【分析】由分类加法计数原理即可求解.
【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种.
故选：C
2. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义可直接得到答案.
【详解】因为函数在处的导数为1，
根据导数的定义可知，
故选：A.
3. 函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为，所以，所以切点为，又，
由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，
故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．
故选：B
4. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案.
【详解】由函数的图象可知为单调递增函数，
故函数在每一处的导数值，即得，
设，则连线的斜率为，
由于曲线是上升的，故，
作出曲线在处的切线，设为，连线为，
结合图象可得的斜率满足，
即，
故选：B
5. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A. 60 B. 48 C. 54 D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，需分成两步完成，第一步安排甲，第二步安排乙和丙，运用分步乘法计数原理计算即得.
【详解】因甲不选景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在三个景点中任选一个，有3种选法；
第二步，再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法.
由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种.
故选：B.
6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A. B. C. e D.
【答案】A
【解析】
【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案.
【详解】由题意得在上恒成立，
，故，
即，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，
故，故a的最小值为.
故选：A
7. 若都有成立，则a的最大值为（ ）
A. B. 1 C. e D. 2e
【答案】B
【解析】
【分析】原不等式可转化为，令，利用导数可得在上单调递增，又由题意可得函数在上单调递增，从而即可得的最大值.
【详解】解：原不等式可转化为，令，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.
由于都有，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以a的最大值为1.
故选：B.
8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】将题干不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解.
【详解】由题意得，，即，
令，因为，，所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，则.
令，则，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，即，则的最大值为.
故选：B
二、多选题
9. 下列求导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导数的运算法则依次判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确；
对于，故C正确；
对于，故D正确.
故选：BCD.
10. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
【答案】AC
【解析】
【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.
【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
11. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有2 个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案.
【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，即方程有两个根，
即：，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又在处的切线方程为，如图，
由图可知，要使方程有两个根，则或．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题有关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有2个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，
12. 要从甲、乙、丙3名工人中选出两名分别上日班和晚班，有______种不同的选法．
【答案】
【解析】
【分析】直接选排序即可.
【详解】从甲、乙、丙3名工人中选出两名分别上日班和晚班,
有种不同的选法.
故答案为：.
13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则=___________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】，
因此曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线的方程为，
因为曲线在点处的切线与曲线相切，
所以有一个实数解，
即，
当时，显然该方程不成立，
当时，，舍去，
故答案：
14. 已知不等式恒成立，则实数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】将不等式转化为，构造函数，研究函数单调性，将问题转化为恒成立，再运用分离参数法求最值即可.
【详解】因为，所以，.
即.
令，易知在上单调递增，
又，
所以恒成立，即恒成立.
所以.
令，，则，，
由，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，
故实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】同构法的三种基本模式：
①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；
②比商型，如可以同构成，进而构造函数；
③和差型，如，同构后可以构造函数或.
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略：
（1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（2）恒成立；恒成立；
能成立；能成立.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
15. 求下列各函数的导数：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】根据导数运算法则及复合函数求导的知识直接求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求的值；
（2）求的单调区间及极值.
【答案】（1）
（2）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可；
（2）由（1）可得函数解析式，再利用导数求出函数的单调区间与极值.
【小问1详解】
因为，所以，
由题意，解得，经检验符合题意；
【小问2详解】
由（1）得，则，
令，解得或，
令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极大值，在处取得极小值，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.
17. 已知函数，．
（1）若不单调，求实数a的取值范围；
（2）若的最小值为，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性，即可求解；
（2）由（1）知函数的单调性，求出函数的最小值即可求解.
【小问1详解】
，
当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
又∵在上不单调，∴；
【小问2详解】
由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，不符合题意，
当时，，
所以实数a的取值范围为.
18. 已知，
（1）若，求过点原点且与相切的切线方程；
（2）若函数存在两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设切点，求导，得切线斜率，由点斜式求切线方程，将原点代入求出切点横坐标，进而求出切线方程.
（2）问题化为与有两个交点，利用导数研究的单调性，即可求极值；进而确定参数范围．
【小问1详解】
且，则
设切点坐标，则切线斜率，
故切线方程为，又直线过原点，则，
整理得，解得，故切线方程为：.
【小问2详解】
由题设，有两个根，即与有两个交点，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，无极小值．
在上，在上，且当趋向正无穷时趋向于0，
综上，只需，即．
19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
（1）求实数，的值；
（2）求证：；
（3）求不等式的解集，其中．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出，，，，依题意可得，，即可得到方程组，解得即可；
（2）由（1）知，即证，令，即证时，记，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；
（3）分析可得，即或，先考虑，该不等式等价于，结合（2）的结论即可，再考虑，该不等式等价于，利用导数证明，，即可得到，，再分类讨论即可判断.
【小问1详解】
因为，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以，解得，.
【小问2详解】
由（1）知，即证，
令，则且，
即证时，
记，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，即，即成立，
当时，即，即成立，
综上可得时，
所以成立，即成立.
【小问3详解】
由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有，即或，
首先考虑，该不等式等价于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范围是，
再考虑，该不等式等价于，
记，，
则，所以当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，，
所以，，
当时由，可知成立，
当时由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范围是，
综上可得不等式解集为.
【点睛】关键点点睛：第三问，首先确定或，分别求、对应解集，进一步转化为求、的解集，构造中间函数研究不等式成立的x取值.来凤中学高2025届2023-2024学年下学期第一次月考
一、单选题
1. 一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A. 3种 B. 504种 C. 24种 D. 12种
2. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. 1 B. C. D.
3. 函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A 60 B. 48 C. 54 D. 64
6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A. B. C. e D.
7. 若都有成立，则a最大值为（ ）
A. B. 1 C. e D. 2e
8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
二、多选题
9. 下列求导数运算正确是（ ）
A B.
C. D.
10. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
11. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ）
A. 1 B. C. D.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，
12. 要从甲、乙、丙3名工人中选出两名分别上日班和晚班，有______种不同的选法．
13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则=___________.
14. 已知不等式恒成立，则实数的最大值为___________.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
15. 求下列各函数的导数：
（1）；（2）；（3）．
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求值；
（2）求的单调区间及极值.
17. 已知函数，．
（1）若不单调，求实数a的取值范围；
（2）若的最小值为，求实数a的取值范围．
18. 已知，
（1）若，求过点原点且与相切的切线方程；
（2）若函数存在两个零点，求的取值范围．
19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
（1）求实数，的值；
（2）求证：；
（3）求不等式的解集，其中．
