2022-2023学年山西省晋城二中高二（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省晋城二中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两条直线：和：相互垂直，则( )
A. B. C. D.
2.数列满足，，则数列的前项的乘积为( )
A. B. C. D.
3.若函数在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
4.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知点为抛物线：的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
6.若，为圆：上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
9.已知椭圆：，若在椭圆上，，是椭圆的左，右焦点，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 面积的最大值为
C. 的最大值为
D. 满足是直角三角形的点有个
10.已知正方体的棱长为，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有( )
A. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
B. 若与平面所成的角为，则的轨迹为圆
C. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
D. 若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
11.已知数列满足，其中，下列说法正确的是( )
A. 当时，数列是等比数列
B. 当时，数列是等差数列
C. 当时，数列是常数列
D. 数列总存在最大项
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
13.已知点为双曲线：的左焦点，过点作倾斜角为的直线，直线与双曲线有唯一交点，且，则双曲线的方程为______．
14.若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数的取值范围为______．
15.若数列满足，则 ______， ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设是公比为正的等比数列，为数列的前项和，且和是一元二次方程的两根．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知圆：和直线：．
证明：不论为何实数，直线都与圆相交；
当直线被圆截得的弦长最小时，求直线的方程；
已知点在圆上，求的最大值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且满足．
求角的大小；
若，为边上的一点，，且是的平分线，求的面积．
19.本小题分
已知函数
当时，求函数在上的最大值和最小值；
若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，．
求证：平面；
若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为．
求椭圆的方程；
已知过点与椭圆相切的直线分别为，，直线：与椭圆相交于，两点，与，分别交于点，，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为两条直线：和：相互垂直，
所以，
则．
故选：．
由已知结合两直线垂直的条件建立关于的方程，可求．
本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：数列满足，，则，
，，，，
以此类推可知，对任意的，，且，
又因为，
因此，数列的前项的乘积为
．
故选：．
推导出，对任意的，，计算出数列前五项的值，结合数列的周期性可求得数列的前项的乘积．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查导数的基本概念，属于基础题．
利用导数的定义直接解答即可．
【解答】解：因为
．
4.【答案】
【解析】解：由，可得，整理可得，其中，
所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：
当直线与曲线相切时，由图可知，，
且有，解得，
当直线过点时，则有，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点．
故选：．
曲线表示圆的下半圆，作出图形，求出当直线与曲线相切以及直线过点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系，数形结合的思想，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意知的方程为，代入的方程，得，
设，，则；
因为，且，
所以，整理得，
所以，结合，解得．
故选：．
通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，，根据根与系数关系即可得出，与的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：如图，，为两切线，为直线上一个点，
所以当，为两切线是取等号；
又，故只需求，，
又，，
，
．
故选：．
由图上易知，当不动时，，为两切线角最大，再将的最值问题转化为的最值问题可求．
本题主要考查直线和圆位置关系的应用，根据条件转化为求的最大值是解决本题的关键，注意利用数形结合比较和理解．
7.【答案】
【解析】解：因为，表示点到点，的距离之和，
又因为，
所以上述式子表示直线上的点到点，点的距离之和的最小值．
设关于直线的对称点为，
则有，解得，
所以，
所以直线上的点到点，点的距离之和的最小值为．
故选：．
将原式化简为，表示直线上的点到点，点的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，再由两点间的距离公式求出的长度即得答案．
本题考查了代数式的几何意义、转化思想、数形结合思想，难点是将代数式转化为几何意义，作出图象是关键，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：．，A错误；
B.，B正确；
C.，C错误；
D.，D正确．
故选：．
根据基本初等函数、商的导数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数、商的导数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：在椭圆中，，且，
对于选项，当时，则，
由余弦定理可得，
因为，所以，，对；
对于选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，
所以，面积的最大值为，对；
对于选项，因为，即，
所以，对；
对于选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，
当为直角顶点时，设点，则，
，
所以，，此时，满足条件的点有个，
综上所述，满足是直角三角形的点有个，错．
故选：．
利用余弦定理可判断选项；利用三角形的面积公式可判断选项；利用椭圆的定义可判断选项；利用平面向量的数量积可判断选项．
本题考查了椭圆的定义和性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：中，记中点为，中点为，连接，易知，且，如图，若，则，则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，面积，故A不正确；
中，若与平面所成的角为，是以为母线的圆锥，则的轨迹为圆，故B正确；
中，点到直线的距离为，所以点到定点和直线的距离相等，由抛物线定义可知，的轨迹是抛物线，故C正确；
中，过点向作垂线，垂足为，易知，所以，所以，在平面中，以、所在直线分别为轴、轴，则，整理得，故D正确．

故选：．
记中点为，中点为，连接，计算出可知的轨迹为圆，然后可判断；
根据判断轨迹是圆锥的一部分，可判断；
根据抛物线定义可判断；
以、所在直线分别为轴、轴，将条件坐标化可判断．
本题考查了正方体中点的轨迹方程，将立体几何与圆锥曲线结合，也考查了学生的推理能力及计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】由等比数列的定义判断；由等差数列的定义判断；由数列的单调性判断．
本题考查命题真假的判断，考查等比数列、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：数列满足，其中，
对于，当时，，，
数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确；
对于，当时，，，
，
数列是等差数列，数列不是等差数列，故B错误；
时，，，
是等差数列，又，，
从而是常数，故C正确；
由以上讨论知时，最大值是，
时，，，
时，，数列最大值为，
时，，，
即，，有最大项，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：对函数求导得，所求切线斜率为，
当时，，切点坐标为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
直线交轴于点，交轴于点，
所以，曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
故答案为：．
利用导数求的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点，结合三角形的面积公式可求得结果．
本题考查利用导数求切线问题，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为点为双曲线的左焦点，过点作倾斜角为的直线，直线与双曲线有唯一交点，
所以直线与渐近线平行，
所以，即，
所以双曲线为，
因为，
所以，即，
代入双曲线方程可得，解得，或舍去，
所以，
所以双曲线的方程为，
故答案为：．
根据题意得，由，得，代入方程解决即可．
本题考查了双曲线的方程和性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，设切点坐标为，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
，解得或，
即的取值范围是，
故答案为：．
设切点坐标为，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由即可求出的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：数列满足，
，
，解得，
又，解得，
又，解得；
．
故答案为：．
依题意可得，再将赋值即可求得，由直接计算即可得出答案．
本题考查数列的综合运用，解决问题的关键是根据已知条件得到，考查化简变形能力及运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：一元二次方程的两根为和，而是公比，
若，则，与矛盾，
，，
，解得或舍去，
；
，
，
，
得，，
．
【解析】先求出，，再利用等比数列的前项和公式求出，进而得到数列的通项公式；
利用错位相减法求解．
本题主要考查了等比数列的前项和公式，考查了错位相减法求和，属于中档题．
17.【答案】解：证明：直线：，
，
令，解得，
直线过定点，
而，
则点在圆内部，
直线与圆相交；
如图所示，过圆心作于点，
设所过定点为，
由图可知，圆心到直线的距离，且，，
又直线被圆截得的弦长为，
当取最大值时，弦长最小，
当，即直线时，直线被圆截得的弦长最小，
又圆心，
，
直线的斜率，
直线的方程为，即；
，表示圆上的点到的距离的平方，
圆心到原点的距离，
，
的最大值为．
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及点到圆上点的最值问题，属于中档题．
把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，判断定点在圆内，可证直线与圆恒交于两点；
根据直线与圆相交，则弦长公式为，由此可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线与垂直时，即可求得直线方程；
表示圆上的点到的距离的平方，求其最值即转化为点与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求．
18.【答案】解：
，
在中，，，，
，
由正弦定理得，则，
又，解得；
平分，，，
，
化简得，
在中，由余弦定理可得，
又，
，
联立
解得或舍去，
．
【解析】本题主要考查三角形面积公式，以及正、余弦定理的综合应用，属于中档题．
根据已知条件，结合正弦定理、三角函数的恒等变换公式，角的取值范围，即可求解；
根据已知条件，结合三角形的面积公式，以及余弦定理，即可求解．
19.【答案】解：当时，则函数，，
令，解得或，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，函数在上单调递增，
在时取得极小值为，且，
故在上的最大值为，最小值为．
，则，
当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；
当时，令，得或，
在，上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
；
当时，令，得或，
在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，
，解得．
综上所述：实数的取值范围是．
【解析】求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；
求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和求极值、最值的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20.【答案】证明：四边形为正方形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，
，，
，，又，，平面，
平面．
解：过作于，作交于，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
由知：，，
，
，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设，
则，
，
直线与直线所成的角为，
，解得：，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，；
设平面与平面夹角为，
，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】根据面面垂直性质可证得平面，则，利用勾股定理可证得，结合，由线面垂直的判定可得结论；
作，垂足为，作，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据线线角的向量求法可构造方程求得，利用面面角的向量求法可求得结果．
本题考查了线面垂直的证明以及两平面夹角的计算，属于中档题．
21.【答案】解：由题意知，的周长为，
解得，
又，解得
，
椭圆的方程为；
设过点的直线方程为，
联立方程，化简得，
当时，解得，
直线，的方程分别为，，
，
线段与线段的中点重合，
，
由，化简得，
，
当时，解得，
又由，可得，
又由，可得，
，
，
解得．
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题．
由题意知，的周长为，又由，可求得，，再由，，的关系求得，进而得到椭圆的方程；
设过点的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由求得直线，的方程，由得，结合根与系数的关系即可得到答案．
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