2022-2023学年湖北省咸宁市崇阳县众望中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省咸宁市崇阳县众望中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为( )
A. B. C. D.
3.“”是“数列为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.设等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列首项为，且，则( )
A. B. C. D.
6.等比数列中，公比，用表示它的前项之积，则，，，中最大的是( )
A. B. C. D.
7.过原点的直线，与分别与曲线，相切，则直线，斜率的乘积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.等比数列的公比为，前项和为，且，以下结论正确的是( )
A. 是等比数列
B. 数列，，成等比数列
C. 若，则是递增数列
D. 若，则是递增数列
11.已知数列的前项和为且满足，，下列命题中正确的是( )
A. 是等差数列 B.
C. D. 是等比数列
12.已知数列的前项和为，若首项，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知是公比为的等比数列，则的值为______．
14.已知函数的导函数为，且满足，则 ______．
15.已知数列的前项和为，若，则 ______．
16.已知直线是曲线与的公切线，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列函数的导数：
；
；
18.本小题分
已知函数，求解集；
设曲线在点处的切线与直线垂直，求的值．
19.本小题分
已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为．
求数列的通项公式；
若，求数列前项和．
20.本小题分
定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．
设，求在上的“新驻点”；
如果函数与的“新驻点”分别为、，试比较和的大小．
21.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若恒成立．求实数的最大值．
22.本小题分
已知数列满足，，．
判断数列是否是等比数列，并求的通项公式；
若，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据递推关系，求解即可得出答案．
本题考查数列递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数，求导得：，
依题意，，解得，
即有，，
所以函数的图象在点处的切线为：，即．
故选：．
求出函数的导数，借助导数的几何意义求出值，进而求出切线方程作答．
本题考查导数的运用：求切线方程，以及两直线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有，
反之成立，不一定有数列是等差数列，
所以“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件．
故选：．
根据等差数列的性质，结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
由题意可得，，
即，
则，
解得．
故选：．
利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件求解即可．
本题考查等差数列的求和公式，考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，，，，
由累加法得，
又，则，
故选：．
根据数列的递推式，利用累加法和等比数列的前项和公式，求解即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，则当为奇数时，，当为偶数时，，
当或时，，
当或时，，
由题意可得：，
令，解得，
若取到最大，则，，即中最大的是．
故选：．
根据题意分析，的符号，结合前项之积的性质运算求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，的切点分别为，
由题意可得，，
所以在处的切线为，在处的切线为，
又因为两条切线过原点，所以，解得，
所以直线，斜率的乘积为．
故选：．
设，的切点分别为，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过原点解出，即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据导数的定义即可得到结论．
本题主要考查导数的定义，比较基础．
9.【答案】
【解析】解：，，，．
故选：．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：等比数列的公比为，前项和为，且，
则，，
对于选项，，所以是首项为，公比为的等比数列，故A选项正确；
对于选项，因为，，，
，，它们成等比数列，故B选项正确；
对于选项，若，，则，为递减数列，故C选项错误；
对于选项，，
若，，则，，是递减数列，故D选项错误．
故选：．
先将的通项公式写出，再按照有关定义逐项分析．
本题考查了等比数列的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，又，
所以数列是以为首项，为为差的等差数列，故A正确；
则，所以，故B正确；
由，可得，
所以，故C错误；
，则，
所以是公比为的等比数列，故D正确．
故选：．
由，可得，从而可得数列是等差数列，即可判断选项A；由等差数列的通项公式求出，从而可得，即可判断选项B；由已知等式即可求得时的表达式，从而可得，即可判断选项C；求出，由等比数列的定义即可判断选项D．
本题主要考查数列递推式，等差数列的通项公式，等比数列的定义，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：首项，且满足，
可得是首项为，公比为的等比数列，故A正确；
由不为常数，故不是等比数列，故B错误；
由，可得是首项和公比均为的等比数列，
则，即，故C正确；
由，可得，故D正确．
故选：．
由等比数列的定义可判断、；由等比数列的定义和通项公式，可判断；由数列的分组求和与等比数列的求和公式，计算可得所求和，可判断．
本题考查数列的通项与求和，以及等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：是公比为的等比数列，
故答案为：
由已知中是公比为的等比数列，及等差数列的性质，我们可以根据等比数列的通项公式，将表示为只含首项与公比的形式，化简后，即可得到答案．
本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式将表示为只含首项与公比的形式，是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：求导得：，
把代入得：，
解得：，
故答案为：
利用求导法则求出的导函数，把代入导函数中得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
本题要求学生掌握求导法则．学生在求的导函数时注意是一个常数，这是本题的易错点．
15.【答案】
【解析】解：对任意的，，
，
，
，
所以，，
且，，，
因此，．
故答案为：．
对任意的，计算出，，，的值，即可求得的值．
本题考查数列的并项求和，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设切点，，
由题意得，，切线方程分别可以表示为：
，
，
，得，则，．
则．
故答案为：．
设切点，，分别表示出在这两点处的斜率和切线，找到对应关系即可．
本题考查公切线的相关知识点，利用函数导数解决问题即可，属于基础题．
17.【答案】解：；
；
．
【解析】根据幂函数的求导公式求导即可；
根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可；
根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数、复合函数、积的导数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由题可得，
由可得或，
又因为，
故不等式的解集为；
由题可得，
依题意：，
所以．
【解析】由题可得，然后解不等式即得；
根据复合函数的导数可得，然后根据导数的几何意义及直线的位置关系即得．
本题考查一元二次不等式的求解，导数的几何意义的应用，属基础题．
19.【答案】解：关于的不等式的解集为，
可得，是方程的两根，
则，，
解得，，
则；
，
数列前项和，
，
上面两式相减可得
，
化简可得．
【解析】由题意可得，是方程的两根，运用韦达定理可得数列的首项和公差，进而得到所求通项公式；
求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
本题等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意，，其导数，
若，即，则有，
又由，则，
即在上的“新驻点”为．
函数，其导数，
若，即，
函数的“新驻点”为，则有，
，则，
若，即，
的“新驻点”分别为，则有，
设函数，则函数在定义域上为增函数，
，，
，由零点存在定理可知，，
．
【解析】根据“新驻点”的定义求得，结合可得出结果；
求出的值，利用零点存在定理判断所在的区间，进而可得出与的大小关系．
本题考查函数导数的应用，单调性的判断，新定义的应用，是中档题．
21.【答案】解：依题意，，当时，，解得，
当时，，，两式相减得，
因此，则，
则是以为首项，为公比的等比数列，有，显然满足上式，
所以数列的通项公式为．
由可知，，因，整理得：，
令，则，
显然，当时，，即，因此当时，数列是递增的，
于是得，依题意，恒成立，即有，
所以实数的最大值为．
【解析】根据给定条件，利用“当时，”探求数列相邻两项的关系，再构造数列求解作答．
由已知结合的结论分离参数，再构造新数列，借助单调性求解作答．
本题主要考查数列与不等式的综合，数列的递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由于，
故数列不是等比数列．
，
，
同理，
迭代得，即，
所以．
，
所以．
【解析】由已知可得，可知该数列不是等比数列，利用递推关系即可求出；
利用裂项相消法即可求和．
本题考查数列递推关系以及裂项相消法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
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