2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第三次调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第三次调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知为实数，，则( )
A. B. C. ． D.
3.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
4.中数量积已知向量，，，满足，，且，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱柱的高与底面边长均为，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
6.如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处救援，则的值等于( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，且其中为常数，则下列说法正确的是( )
A. 数列一定是等比数列 B. 数列可能是等差数列
C. 数列可能是等比数列 D. 数列可能是等差数列
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于
C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则
D. 若双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为
11.如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点不含端点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成的角可能是
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.若直线被圆截得的弦长为，则 ______．
13.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______
14.已知点在圆：内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为，则______．
15.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，为坐标原点，点在抛物线上，平面上一点满足，则直线斜率的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列的前项和为
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调递减区间；
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求的取值范围．
18.本小题分
已知圆：，点，从圆外一点向该圆引一条切线，记切点为．
若过点的直线与圆交于，两点且，求直线的方程；
若满足，求使取得最小值时点的坐标．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，底面，为棱上的一点．
证明：；
若二面角的余弦值为，求的值．
20.本小题分
已知曲线上任意一点到点的距离比它到轴的距离大，过点的直线与曲线交于，两点．
求曲线的方程；
若曲线在，处的切线交于点，求面积的最小值．
21.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在上的值域；
若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．
先分别求出集合、，从而求出，由此能求出．
【解答】
解：全集，集合，
，
，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：，
所以时；
故选：．
化简复数的左侧部分为的形式，虚部为，求出实部满足不等式的的值即可．
本题考查复数的基本概念，实数能够比较大小，注意虚部为时，实部的数值与的比较．
3.【答案】
【解析】解：，，
即，
又为锐角，，
，
即，
．
故选：．
根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值．
本题考查了三角恒等变换及同角的三角函数关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由所给的方程组解得，
，，
．
故选B．
求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可．
本题中的方程组是关于向量的方程，这与一般的关于实数的方程在解法上没有本质区别，方法与实数的方程组的解法相似．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查多面体外接球表面积的求法，属于中档题．
由已知求出正三棱柱底面内切圆的半径，再求出其外接球的半径，分别代入球的表面积公式，作比得答案．
【解答】
解：正三棱柱的高与底面边长均为，
边长为的等边三角形的内切圆的半径为，
正三棱柱内半径最大的球的半径为；
边长为的等边三角形的外接圆的半径为，
则正三棱柱外接球的半径为．
正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：根据题目条件可作图如图：
在中，，，，由余弦定理有
，
，再由正弦定理得，
，
．
所以
．
故选：．
先根据题意做出图象，在中，利用余弦定理求得，然后根据正弦定理求得，则可得，进而利用根据正弦函数的两角和公式解决．
本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．
7.【答案】
【解析】解：设，
，
，
，
，
．
故选：．
利用指数函数、三角函数的性质直接求解．
本题考查指数函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由上一点，可得，
则双曲线的方程为，即为，
则，抛物线的方程为，准线方程为，
设，，，，
则的导数为，
所以处的切线的方程为，
所以，即，
将代入可得，
同理可得，
则直线的方程为，
联立抛物线的方程，可得，
所以，，
则．
故选：．
将的坐标代入双曲线的方程，可得，求得双曲线的方程和准线方程，由导数的几何意义可得，处的切线的斜率，求得切点弦的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可．
本题考查抛物线和双曲线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
当时可得，，
两式相减可得，，，
又时，可得，，
若时，数列不是等比数列，而是等差数列，其各项都为，和也为等差数列
当时，数列是等比数列，不是等差数列，而非常数性等比数列的前项和不是等比，
故选：．
结合已知可得，，然后结合是否为可进行判定是否满足等差或等比．
本题主要考查了利用递推公式求解数列的通项公式，体现了分类讨论思想的应用．
10.【答案】
【解析】解：对于，由，得，
联立，解得，
则直线恒过定点，故A错误；
对于，圆的圆心到直线：的距离，
且圆的半径为，则圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于，故B正确；
对于，曲线：与曲线：恰有三条公切线，
则两圆外切，圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，
，解得，故C正确；
对于，若双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，
即圆心到直线的距离，可得，
即，故D正确．
故选：．
由直线系方程求出直线所过定点坐标判断；由点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系判断；由两圆圆心距与半径的关系判断；求出双曲线的离心率判断．
本题考查直线系方程的应用，考查双曲线的几何性质及直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，设，，
，，
，，，
直线与所成的角为，故A错误；
对于，正方体中，，，
，平面，
平面，平面平面，故B正确；
对于，到平面的距离，
三棱锥的体积：为定值，故C正确；
对于，当延长线交的中点时，设平面与直线交于点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，为的中点，
截面为等腰梯形的截面，故D正确；
故选：．
判断结论是否正确，需要每个选项都验证；对于选项，在该空间几何体中建立空间直角坐标系，用向量法求出异面直线所成的角即可；选项用面面垂直的判定证明平面平面；选项用换底法得出体积为定值；选项则直接观测即可判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】或
【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径过作，垂足为，
在中，，，可得，
点到直线的距离等于，
，解得或．
故答案为：或．
根据直线与圆相交的性质以及点到直线的距离公式，建立关于的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为，
由题意可得水池总造价
．
则
．
当且仅当，即时，有最小值．
此时另一边的长度为．
因此，当水池的底面周长为时，水池的总造价最低，最低总造价是元．
故答案为：．
设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为，由题意可得水池总造价，然后利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长．
本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由点在圆：内，
所以，又，解得，
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为，
又，，
所以，解得，
故答案为：．
根据点与圆的位置关系，可求得的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于的方程，求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为的焦点到准线的距离为，所以，
故抛物线的方程为，
设点，，
由抛物线知，
则，
因为，
所以，
所以，
又因为点在抛物线上，则，
于是直线的斜率，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
故答案为：．
由题意得到抛物线的方程为，设点，，由结合点在抛物线上，得到直线的斜率，利用基本不等式即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
16.【答案】解：由，得．
当时，．
适合上式，
；
，
设数列的前项和为，
则
．
【解析】由已知数列的前项和求得首项，再由求得数列通项公式；
把数列的通项公式代入，利用数列的分组求和求数列的前项和．
本题考查数列递推式，考查了等差数列的通项公式的求法，训练了数列的分组求和方法，是中档题．
17.【答案】解：由题意可得
，
令，，
得，，
故函数的单调递减区间为，．
由知，解得，
因为，所以，
由正弦定理可知，则，，
所以
因为为锐角三角形，
所以所以，
所以，所以，
故的取值范围为
【解析】利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，利用正弦函数的性质即可求解．
由及已知可得，结合范围，可得，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由可得范围，利用余弦函数的性质即可求解其范围．
本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理，正弦函数以及余弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
18.【答案】解：圆的标准方程为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．
，
圆心到直线的距离．
．
解得，
则直线的方程为．
所求直线的方程为或；
设，，
，，
化简得，
点在直线．
当取得最小值时，即取得最小值，
即为点到直线的距离，
此时直线垂直于直线，
直线的方程为，即．
由，解得，
点的坐标为
【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即由已知结合垂径定理求，则直线方程可求；
设，，由，得，可得点在直线上，当取得最小值时，即取得最小值，
即为点到直线的距离，可得直线垂直于直线，求得直线的方程，联立两直线方程得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．
19.【答案】证明：过点作，垂足为，在等腰梯形中，
因为，，所以，，
在中，，则，则，
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，所以．

解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，，
则，，，，
则，．
设平面的法向量为，则，令，得，
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，，解得，
故当二面角的余弦值为时，．
【解析】过点作，垂足为，由题意可得，进而可证平面，可证结论；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，令，利用向量法可得，求解即可．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值问题，属中档题．
20.【答案】解：设曲线上任意一点的坐标为，则有：，
当时，有；当时，有，
所以曲线的方程为或．
由题意设的方程为，，，
由，，，，
，
设切线的方程为，
由，，
切线的方程为，化简得：，
同理可得切线的方程为，
由得点的坐标为，
点到直线的距离，
，
当且仅当时等号成立，
故面积的最小值为．
【解析】设曲线上任意一点的坐标为，根据题意得到，然后分类化简；
由题意设的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得
，设切线的方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零求得，得到切线的方程为，同理写出切线的方程，解方程组求得的坐标，进而求得点到直线的距离，得到，求得其最小值．
本题主要考查切线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21.【答案】解：当时，，所以，
令，则，
单调递减 极小值 单调递增
所以，又，
所以在上的值域为．
函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，
易求，因为，所以．
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
当时，令，得，
所以在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为在上有两个零点，
所以，所以．
因为，，
令，
所以在上，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，
即当时，在上仅有两个零点．
综上，实数的取值范围是．
【解析】利用导数求得的单调区间，再求出函数在上的值域；
由，构造函数，利用导数，结合对进行分类讨论来求出的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．
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