参考答案
一、精心选一选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
D
C
A
D
C
B
二、细心填一填
11. －＜x＜－2； 12.（+1，0）；
13. 6； 14. 1.8 米.
三、解答题
15.解：设直线l的解析式为：y＝kx+b，
∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，
∴，解得：，
∴y＝﹣x+4，
∵S△AOP＝×OA×，
∴×4×＝4，
∴yp＝2，即P点的纵坐标为2，
∵点P在直线y＝﹣x+4上，∴ 2＝﹣x+4，
解得x＝2，则P（2，2），
把点P的坐标（2，2）代入y＝ax2得22×a＝2
解得a＝，
∴所求二次函数的解析式为y＝x2．
16.解：（1）把点A（1，3）代入y＝得k1＝1×3＝3，
∴过A、C两点的反比例函数解析式为y＝，
∵BC＝2，AB∥x轴，BC∥y轴，
∴B点的坐标为（3，3），C点的横坐标为3，
把x＝3代入y＝得y＝1，
∴C点坐标为（3，1）；
（2）把B（3，3）代入y＝得k2＝3×3＝9，
∴点B所在函数图象的解析式为y＝．
17.解：（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，
∴－＝1，
∴2a+b＝0；
（2）解：∵ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，
∴16a+4b﹣8＝0，
∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，
∴16a﹣8a﹣8＝0，
解得：a＝1，则b＝﹣2，
∴方程ax2+bx﹣8＝0为：x2﹣2x﹣8＝0，
则(x﹣4)(x+2)＝0，
解得：x1＝4，x2＝－2，
故方程的另一个根为：﹣2．
18.解：（1）证明：y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)＝x2﹣(2m+1)x+m2+m，
∵△＝(2m+1)2﹣4(m2+m)＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝－＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，21世纪教育网版权所有
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52﹣4（6+k）＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
19.解：（1）由题意可知： ，解得： ，
（2）由（1）可知：y与x的函数关系应该是y＝﹣30x+960
设商场每月获得的利润为W，由题意可得
W＝(x﹣16)(﹣30x+960)＝﹣30x2+1440x﹣15360．
∵﹣30＜0，
∴当x＝－＝24时，利润最大，W最大值＝1920
答：当单价定为24元时，获得的利润最大，最大的利润为1920元．
20.解：（1）E（，4），F（6，）；
（2）∵E，F两点坐标分别为（，4），（6，），
∴S△ECF＝ECCF＝(6﹣k)(4﹣k)，
∴S△EOF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△ECF
＝24﹣k﹣k﹣S△ECF
＝24﹣k﹣(6﹣k)(4﹣k)，
∵△OEF的面积为9，
∴24﹣k﹣(6﹣k)(4﹣k)＝9，
整理得，＝6，
解得：k＝12（负值舍去）．
∴反比例函数的解析式为y＝．
21.解：（1）将A点坐标代入y1＝－x2+x+c得：
－16+13+c＝0，解得：c＝3，
∴二次函数的解析式为：y1＝－x2+x+3，B点坐标为（0，3）；
（2）由图象可知：当x＜0或x＞4时，y1＜y2；
（3）存在.
把A（4，0），B（0，3）代入y2＝kx+b得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝－x+3，
∵AB的中点坐标为（2，），
∴AB的垂直平分线的解析式为y＝x－，
当x＝0时，y＝－，则P1（0，－）；
当y＝0时，x＝，则P2（，0），
故当P点的坐标为（0，－）或（，0）时，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.
22.解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y＝（x＞0）得：k＝1×8＝8，
∴k＝8；
（2）设直线AB的解析式为：y＝mx+b，
根据题意得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
设M（t，），N（t，t﹣3），则MN＝﹣t+3，
∴△BMN的面积S＝(﹣t+3)t＝﹣t2+t+4＝﹣(t﹣3)2+，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，
∵﹣＜0，∴S有最大值，
当t＝3时，△BMN的面积的最大值为；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y＝﹣2x+c，
把点A（8，1）代入得：c＝17，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣2x+17，
解方程组得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t＝．
23.解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)(x﹣5)，
把点A（0，4）代入上式得：a＝，
∴y＝(x﹣1)(x﹣5)＝x2﹣x+4＝(x﹣3)2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x＝3；
（2）P点坐标为（3，）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x＝3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，
∴y＝x﹣，
∵点P的横坐标为3，
∴y＝×3﹣＝，
∴P（3，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，
∵A（0，4）和点C（5，0），
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+4，
把x＝t代入得：y＝－t+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG＝﹣t+4﹣(t2﹣t+4)＝﹣t2+4t，
∵AD+CF＝CO＝5，
∴S△ACN＝S△ANG+S△CGN
＝AM×NG+NG×CF
＝NGOC＝×(﹣t2+4t）×5
＝﹣2t2+10t＝﹣2(t﹣)2+，
∴当t＝时，△CAN面积的最大值为，
由t＝，得：y＝t2﹣t+4＝﹣3，
∴N（，﹣3）．
2015～2016学年度九年级上册数学单元综合测试卷
（第21章 二次函数与反比例函数）
注意事项：本卷共23题，满分：150分，考试时间：120分钟.
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1﹒对于函数y＝，下列说法错误的是（ ）
A.点（，6）在这个函数图象上
B.这个函数的图象位于第一、三象限
C.这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形
D.当x＞0时，y随x的增大而增大
2﹒若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A.x＜－4或x＞2 B.－4≤x≤2 C.x≤－4或x≥2 D.－4＜x＜2
3﹒函数y＝与y＝－kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
4﹒将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A.y＝x2+4x+7 B.y＝x2－4x+7 C.y＝x2+4x+1 D.y＝x2－4x+1
5﹒若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）21世纪教育网版权所有
A.x1＝0，x2＝4 B.x1＝1，x2＝5 C.x1＝1，x2＝－5 D.x1＝－1，x2＝5
6﹒一次函数y＝－x+a－3（a为常数）与反比例y＝－的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（ ）2-1-c-n-j-y
A.0 B.－3 C.3 D.4
7﹒某烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝－t2+30t+1，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（ ） 21*cnjy*com
A.91m B.90m C.81m D.80m
8﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A.只能是x＝－1
B.可能是y轴
C.可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧
D.可能在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
9﹒如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）【出处：21教育名师】
A. B. C.3 D.4
10.二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①2a+b＞0；
②abc＜0；
③b2－4ac＞0；
④a+b+c＜0；
⑤4a－2b+c＞0，
其中正确的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是_________________.【来源：21cnj*y.co*m】
12.如图，△OAP与△ABQ均为等腰直角三角形，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为__________.【版权所有：21教育】
13.如图，P是抛物线y＝－x2+x+2在第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为___________.
14.某公园草坪的防护栏的形状是抛物线，如图所示，为了牢固起见，在护拦跨径AB之间按0.4米的间距加设了4根不锈钢支柱，已知防护栏的最高点距底部0.5米，则所需这4根不锈钢支柱总长度为__________.21教育名师原创作品
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式.21*cnjy*com
16.如图，Rt△ABC的斜边AC的两个端点在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，AB平行于x轴，BC＝2，点A的坐标为（1，3）.
（1）求点C的坐标；
（2）求点B所在函数图象的解析式.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1.
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2+bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根.
18.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数.
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖出360件，在此基础上，若涨价5元，则每月销售量将减少150件，若每月销售量y（件）与价格x（元/件）满足关系式y＝kx+b.21cnjy.com
（1）求k，b的值；
（2）问日用品单价应定为多少元？该商场每月获得利润最大，最大利润是多少？
20.在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上一点（不与B、C两点重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）图象与AC边交于点E.21·cn·jy·com
（1）请用k表示点E，F的坐标；
（2）若△OEF的面积为9，求反比例函数的解析式.
六、（本题满分12分）
21.如图，已知二次函数y1＝－x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx+b.21教育网
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.2·1·c·n·j·y
七、（本题满分12分）
22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，－3），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N.www.21-cn-jy.com
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值.
八、（本题满分14分）
23.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x 轴相交于点M.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；21·世纪*教育网
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？
若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
