2009年高考数学最后30天抢分必备热点专题突破训练（五）五解析几何

专题五（5.6） 解 析 几 何学科网
【选题理由】从近两年的高考情况看，试卷中的解析几何题目一般是两小一大，分值在22分左右，超过期望分数；要注意解析几何与向量、函数、不等式、数列等在知识网络的交汇处设计试题；直线与圆锥曲线的位置关系仍然是高考的热点问题。学科网
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。学科网
重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题　具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）（2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥. （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题　圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决; <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题<1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决；　<2>曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）学科网
【押题1】已知圆M：2x2+2y2－8x－8y－1＝0和直线l：x+y－9＝0, 过直线 上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上。⑴当A的横坐标为4时，求直线AC的方程；学科网
⑵求点A的横坐标的取值范围。学科网
【押题2】双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（ ）.学科网
A、 B、 C、 D、8学科网
【押题3】设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为学科网
(A) 6 (B) 2 (C) (D) 学科网
【押题4】F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ ）.学科网
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线学科网
【押题5】已知椭圆，AB是它的一条弦，是弦AB的中点，若以点为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点，若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足，求：（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.学科网
【押题6】设，分别是椭圆：的左，右焦点．学科网
（1）当，且，时，求椭圆C的左，右焦点、．学科网
（2）、是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知的半径是1，过动点的作切线，使得（是切点），如下图．求动点的轨迹方程．学科网
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【押题7】设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线交椭圆E于A、B两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.学科网
则＝，学科网
当，即时，面积取最大值，此时，即，学科网
所以，直线方程为，椭圆方程为.学科网
【答案】学科网
【方法与技巧】利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.学科网
【押题8】已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）求证： ()；（Ⅲ）求面积的最大值.学科网
【押题指数】★★★★★学科网
【解析】（Ⅰ）设椭圆W的方程为，由题意可知学科网
，所以，.又因为学科网
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，所以． 学科网
解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的方程为学科网
，点，的坐标分别为，,学科网
则点的坐标为，，．学科网
由椭圆的第二定义可得,所以，，三点共线，即． 学科网
(Ⅲ)由题意知 学科网
【押题9】已知双曲线C：，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为P，（1）求证：；（2）若与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围.学科网
【押题指数】★★★★★学科网
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【押题10】已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且，，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA，是否总存在实数，使得？请说明理由；学科网
【押题指数】★★★★★学科网
【解析】（1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立学科网
　平面直角坐标系，则，学科网
　设椭圆方程为，不妨设C在x轴上方，学科网
　由椭圆的对称性，，学科网
【押题11】已知抛物线：的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点(在、之间)． (1)为抛物线的焦点，若，求的值； (2)如果抛物线上总存在点，使得，试求的取值范围．学科网
【押题指数】★★★★★学科网
【解析】(1)法一：由已知 设，则， 学科网
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【方法与技巧】直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.学科网
【押题12】已知抛物线 的准线方程为，与直线 在第一象限相交于点，过作的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，过作的平行线交抛物线于第一象限内的点，过作的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，依此类推，在x轴上形成一点列，,()设 的坐标为()学科网
（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）试探求 关于 的递推关系；学科网
（Ⅲ）证明: >()
【押题指数】★★★★★
【解析】（Ⅰ）由题意知，抛物线的方程为
（Ⅱ）由题意知直线的方程为与抛物线 联立得
【押题1】已知直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．（1）设=+，当a=－2时，求点P的轨迹方程；（2）是否存在常数a，对于任意m∈R，都有·=－2？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．（3）是否存在常数m，对任意a∈R+，都有·为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．?
【押题指数】★★★★★
【解】 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=+=（x1+x2，y1+y2）?由消去y，?得（m2－2）x2+2mx－1=0①依题意有解得m2＞1且m2≠2，即m＜－1或m【押题2】．已知椭圆，AB是它的一条弦，是弦AB的中点，若以点为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点，若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足，求：（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.
当时，双曲线方程为：，不合题意，舍去；
当时，双曲线方程为：，即为所求
【押题3】已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线。 ⑴求椭圆C的方程； ⑵若点P为椭圆上C的点，△PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离；(此问在原题基础上添加的)⑶若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时求点P的取值范围。(此问也可改成求∠F1PF2的最大值)
【押题4】如图，已知，P是圆为圆心上一动点，线段的垂直平分线交于Q点。（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）若直线与曲线C相交于A、B两点，求面积的最大值。
【押题指数】★★★★★
【答案】（1）由题意得：
【押题5】设上的两点，
满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
【押题6】椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。 （1）求椭圆的方程； （2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。
【押题7】过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
【押题指数】★★★★★
【押题8】在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足① , ②= = ③∥ （1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知∥ , ∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
【押题指数】★★★★★
又当k不存在或k = 0时S = 2综上可得 ≤ S ≤ 2， Smax = 2 ， Smin =
【押题9】设点，点A在y轴上移动，点B在x轴正半轴（包括原点）上移动，点M在AB连线上，且满足，．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设轨迹C的焦点为F，准线为l，自M引的垂线，垂足为N，设点使四边形PFMN是菱形，试求实数a；（Ⅲ）如果点A的坐标为，，其中＞，相应线段AM的垂直平分线交x轴于．设数列的前n项和为，证明：当n≥2时，为定值．
【押题指数】★★★★★
【押题10】已知一列椭圆，。若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。（Ⅰ）试证：；（Ⅱ）取，并用表示的面积，试证：且
【押题指数】★★★★★
【答案】（I）由题设及椭圆的几何性质有，故。
设，则右准线方程为．